習(xí)題及答案未

［3-1］基本微分方程中沒有包含水的密度，為什么說它表示了質(zhì)量守恒定律?答：首先，連續(xù)性方程：-［雪+冬+當(dāng)］-△y△"=觸n瓜△y△/表達(dá)了滲流區(qū)內(nèi)任何一個(gè)“局部”所必須滿足的質(zhì)量守恒定律，且各種研究地下水運(yùn)動(dòng)的微分方程都是根據(jù)連續(xù)性方程和反映動(dòng)量守恒定律的方程（如Darcy定律）建立起來的。其次，在基本微分方程，如承壓水運(yùn)動(dòng)微分方程中：ayIah

ayI它表明單位時(shí)間內(nèi)流入、流出單位體積含水層的水量差等于同一時(shí)間內(nèi)單位體積含水層彈性釋放（或彈性貯存）的水量。它還通過應(yīng)用Darcy定律反映了地下水運(yùn)動(dòng)中的能量守恒與轉(zhuǎn)化關(guān)系?？梢?，基本微分方程表達(dá)了滲流區(qū)中任何一個(gè)“局部”都必須滿足質(zhì)量守恒和能量守恒定律。這一結(jié)論也適用于半承壓水運(yùn)動(dòng)和潛水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程。最后，由：R=—dVb+dV=apg+nppg=pgQ+n0），所以在各基本微分方程當(dāng)中，水的密度的影響是通過貯水率心來表達(dá)的。［3-2］推導(dǎo)滲流的連續(xù)性方程、承壓水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程、半承壓水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程、潛水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程（選做其二）。答：（1）連續(xù)性方程：設(shè)在充滿液體的滲流區(qū)內(nèi)，以p（x，y，z）點(diǎn)為中心取一無限小的平行六面體（其各邊長度分別為△x，△y，△z，且和坐標(biāo)軸平行）作為均衡單元體（圖1）。z圖1z圖1均衡單元體如p（x…z）點(diǎn)沿坐標(biāo)軸方向的滲流速度分量為如p（x…z）點(diǎn)沿坐標(biāo)軸方向的滲流速度分量為vx、vy、vz，液體密度為通過abcd面，在△t時(shí)間內(nèi)流入的水流質(zhì)量pvx］可利用Taylor級(jí)數(shù)求得：p，那么，同理pvAyAzAt=x1pv- 3Vx'AxAyAzAtx2ax(1.1)可求出通過右側(cè)Q?C，d面流出的質(zhì)量為(1.2)1a(pv)^1pv+ AxAyAzAtx2ax因此沿l軸方向流入和流出單元體的質(zhì)量差為:AxAyAz>At=-AxAyAzAtax同理（1.3）同理可以寫出沿y軸方向和沿z軸方向流入和流出這個(gè)單元體的液體質(zhì)量差，分別為："yAAyAzAt和-'"z'AxAyAzAtay az因此在^t時(shí)間內(nèi)，流入與流出這個(gè)單元體的總質(zhì)量差為:4因此在^t時(shí)間內(nèi)，流入與流出這個(gè)單元體的總質(zhì)量差為:4v)a(pv)—+ayAxAyAzAt（1.4）在均衡單元體內(nèi)，液體所占的體積為n△x△y△z，其中n為孔隙度。相應(yīng)的，單元體內(nèi)的液體質(zhì)量為^n△x△y△z。因此，在△t時(shí)間內(nèi)，單元體內(nèi)液體質(zhì)量的變化量為:（1.5）—tpnAxAyAz1At（1.5）在連續(xù)流條件下（滲流區(qū)充滿液體等），根據(jù)質(zhì)量守恒定律，兩者應(yīng)該相等。因此，a(pva(pv)a^pv)a(pv) x-+ + z-d.xAxAyAz'—[pnAxAyAz1

at（1.6）式（1.6）即為滲流的連續(xù)性方程。（2）承壓水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程：假設(shè)，地下水流動(dòng)主要是沿水平面方向進(jìn)行，垂直流速可以忽略，只考慮垂向壓縮。于是，只有水的密度/、孔隙度n和單元體高度△z三個(gè)量隨壓力而變化，（1.6）式的右端可改寫成；—[pnAx—[pnAxAyAz1at=「淤z喈+pAzG-n釁+必zp喈=pQ+nP)apAxAyAzAxAy（2.1）于是連續(xù)性方程（1.6）變?yōu)?d(pv)d于是連續(xù)性方程（1.6）變?yōu)?d(pv)d(pv)d(pv) + y—+ z—AxAyAz=pQ+nP)—AxAyAzdt因?yàn)樗^H=z+'，故有:

ydpdt=pgdHpdp

dtpdt.dV將dp=-pv=ppdp式代入上式得;因?yàn)樗膲嚎s性很小，1-6k,1所以dp dH一Mpg——dt dt將（2.5）式代入（2.2）式，得:'dvdvd'dvdvdv x+ y+ z、dxdydzIdp dpv—-+v—-+v、xdx ydydpI zdzAxAyAz（2.6）二p2g(a+np)"^AxAyAzdt于是(2.6于是(2.6)式變?yōu)?同時(shí)dvxdx同時(shí)dvxdxdv dv+y+zdy dzAxAyAz=pgQ+nP)°"AxAyAzdt（2.7）根據(jù)Darcy定律在各向同性介質(zhì)中，有:（2.8）將式（2.8）代入式（2.7），得:d（2.8）將式（2.8）代入式（2.7），得:d+dy根據(jù)貯水率的定義，上式可改寫為:AxAyAz=pgQ+nP)°"AxAyAz(2.9)

dtdyIdy)AxAyAz（2.10）=-嗯整理上式，得:d.xay)d.xay)ah二hksat(2.11)上述方程就是承壓水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的基本微分方程。(3)半承壓水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程：近似地認(rèn)為水基本上是垂直地通過弱透水層，折射900后在主承壓含水層中基本上是水平地流動(dòng)的，主含水層中的水流可近似地作二維流問題來處理，水頭看作是整個(gè)含水層厚度上水頭的平均值，即：H=H(x,y,t)=—IMH(x,y,z,t)dz (3.1)M0為簡化起見，在以后敘述中略去H上方的橫杠。同時(shí)假設(shè)和主含水層釋放的水及相鄰含水層的越流量相比，弱透水層本身釋放的水量小到可以忽略不計(jì)。由圖2所示的均衡單元體，根據(jù)水均衡原理可以寫出下列形式的連續(xù)性方程fQ鼻fQ鼻學(xué)]Ixax2)Qy-率Ay\yyy))-fQ耳Ax]Ixax2)-Qy+崇三vyyy))a,( ) ah.At+卬一v)Ax,AyAt=h* AxAyAt21 at式中：v1式中：v1、v2分別為通過上部和下部弱透水層的垂直越流速率或越流強(qiáng)度，即v1vv1v2TOC\o"1-5"\h\z=—K 1=K 1(3.3)az 1m(3.3)1aH H-H=—K 2-=Kaz 2式中：m1和m2分別為厚度為M的承壓含水層上、下的弱透水層厚度，0和K2分別為承壓含水層上、下弱透水層的滲透系數(shù)。H1(x,y,t)和H2(x,y,t)分別為上含水層(圖中為潛水含水層)和下含水層(圖中為下承壓含水層)中的水頭，如以T表示主含水層的導(dǎo)水系數(shù)，Q=—Tx(3.4)ayAayAx圖2半承壓含水層中的均衡單元體ay圖2半承壓含水層中的均衡單元體2Ax~2箸卜小aH卜kaxJayIay) 1aH=u* at（3.5）把式（3.4）代入式（3.2箸卜小aH卜kaxJayIay) 1aH=u* at（3.5）這就是不考慮弱透水層彈性釋水條件下非均質(zhì)各向同性越流含水層中非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的基本微分方程。（4）潛水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程：潛水面是個(gè)自由面，相對(duì)壓強(qiáng)p=0。對(duì)整個(gè)含水層來說，可以不考慮水的壓縮性。先考慮一維問題。取平行于xoz平面的單位寬度進(jìn)行研究。在滲流場內(nèi)取一土體，它的上界面是潛水面，下界面為隔水底板，左右為二個(gè)相星叢x的垂直斷面。上斷面流入的流量aqAx aqAx為qT ,下斷面流出的流量為q+Tk，設(shè)單位時(shí)間、單位面積上垂向補(bǔ)給含水層ax2 ax2的水量為W（入滲補(bǔ)給或其它人工補(bǔ)給取正值，蒸發(fā)等取負(fù)值）。在△t時(shí)間內(nèi)，從上游流入和由下游流出的水量差，根據(jù)Dupuit假設(shè)為:aq.. a。h)..AxAt=-xAxAt(4.1)ax ax(4.1)在^t時(shí)間內(nèi)，垂直方向的補(bǔ)給量為W△x△t。因此，△t時(shí)間內(nèi)小土體中水量總的變化為：+WAxAta(vh)

x-

+WAxAt 一，一，，、小人、一一一，，…，dH 一小土體內(nèi)水量的變化必然會(huì)引起潛水面的升降。設(shè)潛水面變化的速率為況，則在△△時(shí)間內(nèi)，由于潛水面變化而引起的小土體內(nèi)水體積的增量為:R里AxAt

dt當(dāng)潛水面上升時(shí)〃為飽和差，下降時(shí)為給水度，此時(shí)忽略了水和固體骨架彈性貯存的變化。d(d(vh) 關(guān)—dx（4.2）+WAxAt=i1dHAxAtd（4.2）v=-K——xdx代入上式，得;H=H(x)W

+——=

W

+——=

K1dHK~dt（4.3）上式為有入滲補(bǔ)給的潛水含水層中地下水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的基本方程（沿x方向的一維運(yùn)動(dòng)），通常稱為Boussinesq方程。在二維運(yùn)動(dòng)情況下，可用類似方法導(dǎo)出相應(yīng)的方程為:dH)dH)W一十—二dyJK1dHK~dt(4.4)當(dāng)隔水層水平時(shí)，上式中h=H。對(duì)于非均質(zhì)含水層，Boussinesq方程有如下形式:dH

dt(4.5)d(dH

dt(4.5)+—Kh +W=1dIdJBoussinesq方程是研究潛水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程。[3-3]為什么初始時(shí)刻可以任意選定，不一定選用地下水的原始狀態(tài)?答：所謂初始條件，就是給定某一選定時(shí)刻（通常表示為=0）滲流區(qū)內(nèi)各點(diǎn)的水頭值，用于表明所研究實(shí)際問題的特定條件。所以，利用滲流區(qū)內(nèi)已知的水頭H的分布情況，即可以作為初始時(shí)刻。[3-4]為什么可以根據(jù)具體條件任意用一個(gè)區(qū)作為計(jì)算區(qū)，它的周界就作為邊界？答：邊界條件，即滲透區(qū)邊界所處的條件，用來表示水頭H（或滲流量q）在滲流區(qū)邊界上所應(yīng)滿足的條件，也就是滲流區(qū)內(nèi)水流與其周圍環(huán)境相互制約的關(guān)系。邊界條件和初始條件合稱定解條件。一個(gè)描述某實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型中，定解條件用來表明所研究實(shí)際問題的特定條件。我們用這樣的模型來再現(xiàn)一個(gè)實(shí)際水流系統(tǒng)。所以，只要其周界能夠比較好的符合邊界條件的選取要求，能夠相對(duì)簡單準(zhǔn)確的給出數(shù)學(xué)模型的定解條件，該區(qū)域就可以作為計(jì)算區(qū)[3-5]如果選用天然邊界作為計(jì)算區(qū)邊界，有什么優(yōu)越性？答：選取方便求解準(zhǔn)確[3-6]邊界上的泉一般作為什么邊界條件？如在開采過程中泉水可能被疏干，還能作為邊界嗎？答：通過實(shí)際觀測可以得到邊界上的泉單位面積（二維空間為單位寬度）上流出時(shí)的流量q時(shí)，因此泉可以作為第二類邊界或給定流量的邊界。泉水疏干后，相當(dāng)于各點(diǎn)在每一時(shí)刻的水頭都是已知的，此時(shí)這部分邊界可作為第一類邊界。[3-7]為什么一定要有識(shí)別（校正）模型這個(gè)階段？直接用野外試驗(yàn)所得的參數(shù)值和邊界條件建立模型，不經(jīng)過上述階段行不行？答：當(dāng)已建立確定性模型來描述實(shí)際地下水流后，我們對(duì)通過上述步驟建立的模型是否能確實(shí)代表所研究的地質(zhì)體還沒有把握；模型中出現(xiàn)的參數(shù)這時(shí)一般也不能確切給出。因此，必須對(duì)所建立的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，即把模型預(yù)測的結(jié)果與通過抽水試驗(yàn)或其它試驗(yàn)對(duì)含水層施加某種影響后所得到的實(shí)際觀測結(jié)果或一個(gè)地區(qū)地下水動(dòng)態(tài)長期觀測資料進(jìn)行比較，看兩者是否一致。若不一致，就要對(duì)模型進(jìn)行校正，直至滿意地?cái)M合為止。這一步驟稱為識(shí)別模型或校正模型。模擬實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型還應(yīng)滿足下列基本條件這個(gè)解對(duì)原始數(shù)據(jù)是連續(xù)依賴的（穩(wěn)定性）。這意味著當(dāng)參數(shù)或定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所引起的解的變化也是很微小的。只有有了這條保證，當(dāng)參數(shù)和定解條件的數(shù)據(jù)有某些誤差時(shí)，所求得的解才能仍然接近于真解；否則，解是不可信的，并應(yīng)該認(rèn)為此時(shí)的數(shù)學(xué)模型是有毛病的。在實(shí)際工作中，原始數(shù)據(jù)有某種誤差，在所難免，所以這個(gè)條件很重要。所以一定要有識(shí)別（校正）模型這個(gè)階段，不能直接用野外試驗(yàn)所得的參數(shù)值和邊界條件建立模型。[3-8]下圖所示為均質(zhì)、各向同性的潛含水層，地下水流為平面非穩(wěn)定流，且與河水有直接的水力聯(lián)系。已知滲流區(qū)內(nèi)的A區(qū)為稻田區(qū)，其灌溉水的補(bǔ)給強(qiáng)度W（m/d）；B區(qū)為開采區(qū)，其開采強(qiáng)度為￡（m/d），在A、B區(qū)的右側(cè)有3口分散的開采井，其開采量分別為Q1、Q2和Q3（m3/d）。區(qū)內(nèi)其它地方均沒有垂直方向的水量交換，試寫出該地區(qū)地下水運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。CC習(xí)題［3-8］圖解：邊界BCD為天然隔水邊界。地下水流與河水有直接的水力聯(lián)系。因此，邊界AE可以作第一類邊界處理。在遠(yuǎn)離開采區(qū)的、實(shí)際上不受該區(qū)抽水影響的地段人為地劃定一條邊界。以二條流線（BA和DE）作為邊界。這時(shí)計(jì)算區(qū)就由ABCDEA所圍的區(qū)域組成。根據(jù)給出的條件描述這一均質(zhì)潛水流的方程應(yīng)是有入滲補(bǔ)給的潛水含水層中地下水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的基