北京市西城區(qū)北京四中2022-2023學年數學高一下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設公差為－2的等差數列，如果，那么等于()A．－182 B．－78 C．－148 D．－822．點（4，0）關于直線5x＋4y＋21＝0的對稱點是（）．A．（－6，8） B．（－8，－6） C．（6，8） D．（－6，－8）3．在ΔABC中,若,則=（）A．6 B．4 C．-6 D．-44．在等差數列中，已知，數列的前5項的和為，則（）A． B． C． D．5．《張丘建算經》中女子織布問題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織5尺布，一月（按30天計）共織390尺布，則從第2天起每天比前一天多織（）尺布.A． B． C． D．6．兩數1，25的等差中項為（）A．1 B．13 C．5 D．7．已知三棱錐，若平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知的三個內角所對的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形9．某種彩票中獎的概率為，這是指A．買10000張彩票一定能中獎B．買10000張彩票只能中獎1次C．若買9999張彩票未中獎，則第10000張必中獎D．買一張彩票中獎的可能性是10．實數滿足,則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的最小值為__________．12．已知直線是函數（其中）圖象的一條對稱軸，則的值為________.13．已知數列是等差數列，若，，則________．14．已知等差數列，的前項和分別為，，若，則______.15．三棱錐中，分別為的中點，記三棱錐的體積為，的體積為，則____________16．抽樣調查某地區(qū)名教師的年齡和學歷狀況，情況如下餅圖：則估計該地區(qū)歲以下具有研究生學歷的教師百分比為_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．16種食品所含的熱量值如下：111123123164430190175236430320250280160150210123（1）求數據的中位數與平均數；（2）用這兩種數字特征中的哪一種來描述這個數據集更合適？18．已知函數(1)解關于的不等式；(2)若，令，求函數的最小值.19．在平面直角坐標系中，已知射線與射線，過點作直線l分別交兩射線于點A、B（不同于原點O）.（1）當取得最小值時，直線l的方程；（2）求的最小值；20．在中，角的對邊分別為,的面積是30,.（1）求；（2）若，求的值.21．如圖，在平面直角坐標系中，點,，銳角的終邊與單位圓O交于點P．(Ⅰ)當時，求的值；(Ⅱ)在軸上是否存在定點M，使得恒成立？若存在，求出點M坐標；若不存在，說明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據利用等差數列通項公式及性質求得答案．【詳解】∵{an}是公差為﹣2的等差數列，∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣1．故選D．【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式及性質的應用，考查了運算能力，屬基礎題．2、D【解析】試題分析：設點（4，0）關于直線5x＋4y＋21＝0的對稱點是，則點在直線5x＋4y＋21＝0上，將選項代入就可排除A,B,C,答案為D考點：點關于直線對稱，排除法的應用3、C【解析】

向量的點乘，【詳解】,選C.【點睛】向量的點乘，需要注意后面乘的是兩向量的夾角的余弦值，本題如果直接計算的話，的夾角為∠BAC的補角4、C【解析】

由，可求出，結合，可求出及.【詳解】設數列的前項和為，公差為，因為，所以，則，故.故選C.【點睛】本題考查了等差數列的前項和，考查了等差數列的通項公式，考查了計算能力，屬于基礎題.5、B【解析】由題可知每天織的布的多少構成等差數列,其中第一天為首項,一月按30天計可得,從第2天起每天比前一天多織的即為公差.又,解得.故本題選B.6、B【解析】

直接利用等差中項的公式求解.【詳解】由題得兩數1，25的等差中項為.故選：B【點睛】本題主要考查等差中項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.7、B【解析】

根據題意畫出三棱錐的圖形，將其放入一個長方體中，容易知道三棱錐的外接球半徑，利用球的表面積公式求解即可.【詳解】根據題意畫出三棱錐如圖所示，把三棱錐放入一個長方體中，三棱錐的外接球即這個長方體的外接球，長方體的外接球半徑等于體對角線的一半，所以三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球的表面積.故選：B【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球問題，對于三棱錐三條棱有兩兩垂直的情況，可以考慮將其放入一個長方體中求解外接球半徑，屬于基礎題.8、B【解析】

利用三角形的內角關系及三角變換公式得到，從而得到，此三角形的形狀可判斷.【詳解】因為，故，整理得到，所以，因，所以即，故為等腰三角形，故選B.【點睛】本題考查兩角和、差的正弦，屬于基礎題，注意角的范圍的討論.9、D【解析】

彩票中獎的概率為，只是指中獎的可能性為【詳解】彩票中獎的概率為，只是指中獎的可能性為，不是買10000張彩票一定能中獎，概率是指試驗次數越來越大時，頻率越接近概率．所以選D.【點睛】概率是反映事件發(fā)生機會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機會的大小，是否中獎是隨機事件．10、A【解析】

畫出可行域，平移基準直線到可行域邊界的位置，由此求得目標函數的取值范圍.【詳解】畫出可行域如下圖所示，平移基準直線到可行域邊界的位置，由圖可知目標函數分別在出取的最小值和最大值，最小值為，最大值為，故的取值范圍是，故選A.【點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最大值和最小值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據均值不等式即可求出的最小值.【詳解】因為所以，根據均值不等式可得：當且僅當，即時等號成立.【點睛】本題主要考查了均值不等式，屬于中檔題.12、【解析】

根據正弦函數圖象的對稱性可得，由此可得答案.【詳解】依題意得，所以，即，因為，所以或，故答案為：【點睛】本題考查了正弦函數圖象的對稱軸，屬于基礎題.13、【解析】

求出公差，利用通項公式即可求解.【詳解】設公差為，則所以故答案為：【點睛】本題主要考查了等差數列基本量的計算，屬于基礎題.14、【解析】

利用等差數列的性質以及等差數列奇數項之和與中間項的關系進行化簡求解.【詳解】因為是等差數列，所以，又因為為等差數列，所以，故．【點睛】（1）在等差數列中，若，則有；（2）在等差數列.15、【解析】

由已知設點到平面距離為，則點到平面距離為，所以，考點：幾何體的體積.16、【解析】

根據餅狀圖中的歲以下本科學歷人數和占比可求得歲以下教師總人數，從而可得其中的具有研究生學歷的教師人數，進而得到所求的百分比.【詳解】由歲以下本科學歷人數和占比可知，歲以下教師總人數為：人歲以下有研究生學歷的教師人數為：人歲以下有研究生學歷的教師的百分比為：本題正確結果：【點睛】本題考查利用餅狀圖計算總體中的數據分布和頻率分布的問題，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）中位數為：，平均數為：；（2）用平均數描述這個數據更合適.【解析】

（1）根據中位數和平均數的定義計算即可；（2）根據平均數和平均數的優(yōu)缺點進行選擇即可.【詳解】（1）將數據從小到大排列得：111，123，123，123，150，160，164，175，190，210，236，250，280，320，430，430.所以中位數為：，平均數為：；（2）用平均數描述這個數據更合適，理由如下：平均數反映的是總體的一個情況，中位數只是數列從小到大排列得到的最中間的一個數或兩個數，所以平均數更能反映總體的一個整體情況.【點睛】本題考查數據的數字特征的計算及應用，考查基礎知識和基本技能，屬于常考題.18、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

(1)討論的范圍，分情況得的三個答案.(2)時，寫出表達式，利用均值不等式得到最小值.【詳解】(1)①當時，不等式的解集為，②當時，不等式的解集為，③當時,不等式的解集為(2)若時，令（當且僅當，即時取等號）.故函數的最小值為.【點睛】本題考查了解不等式，均值不等式，函數的最小值，意在考查學生的綜合應用能力.19、（1）；（2）6.【解析】

（1）設，，利用三點共線可得的關系，計算出后由基本不等式求得最小值．從而得直線方程；（2）由（1）中所設坐標計算出，利用基本不等式由（1）中所得關系可得的最小值，從而得的最小值．【詳解】（1）設，，因為A，B，M三點共線，所以與共線，因為，，所以，得，即，，等號當且僅當時取得，此時直線l的方程為.（2）因為由，所以，當且僅當時取得等號，所以當時，取最小值6.【點睛】本題考查直線方程的應用，考查三點共線的向量表示，考查用基本不等式求最值．用基本不等式求最值時要根據目標函數的特征采取不同的方法，如（1）中用“1”的代換配湊出基本不等式的條件求得最值，（2）直接由已知應用基本不等式求最值．20、（1）144；（2）5.【解析】

（1）由同角的三角函數關系，由，可以求出的值，再由面積公式可以求出的值，最后利用平面向量數量積的公式求出的值；（2）由（1）可知的值，再結合已知，可以求出的值，由余弦定理可以求出的值.【詳解】（1），又因為的面積是30，所以，因此（2）由（1）可知，與聯立，組成方程組：，解得或，不符合題意舍去，由余弦定理可知：.【點睛】本題考查了同角的三角函數關系、三角形面積公式、余弦定理、平面向量的數量積運算,本題求，可以不求出