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《一元函數(shù)的導數(shù)及其應用》
章節(jié)小結第二課時宿松縣程集中學徐正中例2:已知函數(shù)f(x)=ex-m-x,其中m為常數(shù).
(1)若對任意x∈R有f(x)≥0成立,求m的取值范圍;
(2)
(3)當m>1時,判斷f(x)在[0,2m]上零點的個數(shù),并說明理由.認知函數(shù)題型,6人分組分工討論,請給出各組的解決想法?解:(1)依題意,可知f(x)在R上連續(xù),且f′(x)=ex-m-1,令f′(x)=0,得x=m.故當x∈(-∞,m)時,ex-m<1,f′(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(m,+∞)時,ex-m>1,f′(x)>0,f(x)單調遞增;故當x=m時,f(m)為極小值,也是最小值.令f(m)=1-m≥0,得m≤1,即對任意x∈R,f(x)≥0恒成立時,m的取值范圍是(-∞,1].例2:已知函數(shù)f(x)=ex-m-x,其中m為常數(shù).(1)若對任意x∈R有f(x)≥0成立,求m的取值范圍;例2:已知函數(shù)f(x)=ex-m-x,其中m為常數(shù).(2)(2)證明:f(2m)=em-2m,令g(m)=em-2m,∵當m>1時,g′(m)=em-2>0,∴g(m)在(1,+∞)上單調遞增.∴g(m)>g(1)=e-2>0,即f(2m)>0.例2:已知函數(shù)f(x)=ex-m-x,其中m為常數(shù).(2)
(3)當m>1時,判斷f(x)在[0,2m]上零點的個數(shù),并說明理由.解:(3)由(1)知f(x)在[0,2m]上至多有兩個零點,當m>1時,f(m)=1-m<0,∵f(0)=e-m>0,f(0)·f(m)<0,∴f(x)在(0,m)上有一個零點.∵f(m)·f(2m)<0,∴f(x)在(m,2m)上有一個零點.故f(x)在[0,2m]上有兩個零點.例2:已知函數(shù)f(x)=ex-m-x,其中m為常數(shù).
(1)若對任意x∈R有f(x)≥0成立,求m的取值范圍;
(2)
(3)當m>1時,判斷f(x)在[0,2m]上零點的個數(shù),并說明理由.??跟蹤訓練1:已知函數(shù)f(x)=xlnx.證明:當x≥1時,2x-e≤f(x)跟蹤訓練2:已知函數(shù)f(x)=alnx+x+1.若對任意x1,x2∈
,且x1<x2,恒有f(x1)+4x1<f(x2)+4x2。求a的取值范圍.h(x)=xlnx-2x+e(x≥1).例3:某種產品每件成本為6元,每件售價為x元(6<x<11),年銷售為u萬件,(1)求年銷售利潤y(萬元)關于售價x的函數(shù)關系式;(2)求售價為多少時,年利潤y最大,并求出最大年利潤.(2)求售價為多少時,年利潤y最大,并求出最大年利潤.解:(2)y′=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).令y′=0,得x=2(舍去)或x=9,當x∈(6,9)時,y′>0;當x∈(9,11)時,y′<0.∴函數(shù)y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是遞增的,在(9,11)上是遞減的.∴當x=9時,y取最大值,且ymax=135,∴售價為9元時,年利潤最大,最大年
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