數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章區(qū)間估計(jì)4.1基本概念

1論了估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則.給出了尋然估計(jì)法以及一致最小方差無偏估計(jì)計(jì)未知的參數(shù).看來似乎精確，實(shí)際上把握不大.為了使估計(jì)的結(jié)論更可信，2 區(qū)間：越小越3n的極大似實(shí)際上，n的真值可能大于1000條，為此希望確定一個(gè)區(qū)間 ]湖中魚數(shù)的真] 這里所說的“可靠程度”是用概率來度量 54.1.1F{f(x,),g()X

,Xn)f(x,中抽取?1(X)?1(X1,,Xn),?2(X)?2 ,Xn)?1(X?2[?1(X?26根據(jù)這個(gè)定義,從形式上看,任何一個(gè)滿足條?1(X?2的統(tǒng)計(jì)量?1X),?2X)都可以構(gòu)成g()的一個(gè)區(qū)間估計(jì)[?1X),?2X)]評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：可靠度與精度(精確度7可靠要求g()以很大的可能被包含在區(qū)間[?1,?2內(nèi),就是說,概率P(?1g()?2)要盡可能大即要求估計(jì)盡量可靠精估計(jì)的精度要盡可能的高如要求隨機(jī)區(qū)間的平均長(zhǎng)度，越短越好8 妥協(xié)方在在保證可靠度的前提選擇精度盡可能高的區(qū)間估計(jì)即多做一些實(shí)驗(yàn)，才可能實(shí)現(xiàn)9為書寫簡(jiǎn)單，以下假定被估計(jì)的g()就是自身這與一般情況沒有原則區(qū)別.1置信度(或置信水平12隨機(jī)區(qū)間[?,?]包含的概12

稱為置信度(或置信水平這個(gè)概率與有關(guān)若對(duì)參數(shù)空間中任一，其置信度都很大則這個(gè)區(qū)間估計(jì)就是一個(gè)好的區(qū)間估計(jì).定義4.1.2：設(shè)隨機(jī)區(qū)間[?,?]為參數(shù)的一個(gè) 區(qū)間估計(jì)，則稱置信度在參數(shù)空間上的下確infP 為該區(qū)間的置信系數(shù)一個(gè)區(qū)間估計(jì)的置信度越大越好2精21越小越好21

E

?例4.1.1設(shè)樣本X(X1, ,Xn)來自正態(tài)總N(,2),其中R,20.和2的估計(jì)量分別是樣本均值X和樣本方差S2

n n

X)2[XkS/ n,XkS/ n]作為總體均值的區(qū)間估計(jì).考慮其置信度(置信水平)和精度.nP(XkS XkS n)]nP n(X)/S|k

P|T|k其中T

n(X)/

~tn1

其分布與P n(X)/S|k

P|T|k其中T

n(X)/

~tn1

其分布與無關(guān)因此，區(qū)間估計(jì)的置信系數(shù)infP|T|kP|T|kk區(qū)間越可靠lkE(2kS n)由于(n1)S22,nn(n1)((n1)nn(n1)((n1)/k

2k(n/顯然,k越大,區(qū)間越長(zhǎng),精度越差k越大,區(qū)間的置信系數(shù)越大,區(qū)間越可靠提高置信度，需要增加k值，從而縮短了區(qū)間.置信度與精度相互制約著Neyan.通常置信區(qū)間也稱為Neyman置信區(qū)間定義4.1.3：設(shè)[?X),?X)]為參數(shù)的一個(gè) 區(qū)間估對(duì)給定的01 P

(X)

(X)1-， 則稱[?X),?X)]是參數(shù)的置信水平為1-的置信區(qū) infP(X)(X) 稱為[?X),?X)]的置信系數(shù) 說明：??

,Xn)和??(X , )都 量的函數(shù)，因而也是隨 量.但是給定樣本觀測(cè)值x=(x1 ,xn),就得到一個(gè)具體的閉區(qū)[?(x x),?(x x)],我們以1-的概率保證 未知參數(shù)[?(x ,x),? 若取5%，即置信水平為1100個(gè)區(qū)間真值的平均有個(gè)左右，不包含參數(shù)真值的平均有5個(gè)左右 一個(gè)工廠的廢品率，關(guān)心它最高不超過多少 定義4.1.4：設(shè)?X)和?X) 上，在參數(shù)空間上取值的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，若對(duì)的01LPX1-，一切LUPX1-，一切U則分別稱?X)和?X)是參數(shù)的置信水平為1- 的(單側(cè))置信下限和置信上限infP(X) infP(X) 分別稱為置信上限、下限的置信系數(shù)L對(duì)置信下限?X)LLE(?)越大，則置信下限的精度越高LU對(duì)置信上限?X)UUE(?)越小，則置信上限的精度越高U 411?X)?X)分別是參數(shù)的置信水平為1-1和1-2的單側(cè)置信上、下限，且對(duì)任何樣本 ?(X)?(X 則[?X),?X)]是參數(shù)的置信水平為 1-(12)的雙側(cè)置信區(qū)間證明在引理的假定下，下列三個(gè)

(X)

(X

(X)

(X 互不相容，“三 之并”為“必 ”. (X)?(X)?(X)?

(X)1

(X)

U U UU

(X)1

(X)2P(X)(X)1P(X)P(X) 1-(1+2置信定義4.1.5：設(shè)有一個(gè)參數(shù)分布族Ff(x,), ,k)Rk,kXX1 Xn)是來自分布族中某總體f(x,的樣本.若SX)滿足對(duì)任一樣本XSX)是的一個(gè)子集對(duì)給定的0