人教版講義新課和復(fù)習(xí)必修3幾何概型

Ad的測(cè)度d的形狀和位置無(wú)關(guān)，這樣的概率模型稱為幾何概型中，A的概率計(jì)算P(A)＝d的測(cè)度[難點(diǎn)疑點(diǎn)，幾何概型的試驗(yàn)中A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)A的位置和形狀無(wú)關(guān)．，求試驗(yàn)中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域Ω的幾何度量，然后代入即可求解．線型幾何概型：當(dāng)基本只受續(xù)的變量控制時(shí)面型幾何概型當(dāng)基本受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)一般是把兩個(gè)變量分別作為一 答案3解 如圖，這是一個(gè)長(zhǎng)度型的幾何概型題，所求概率

度小于1的概率 答 3 如圖可設(shè)lAB＝1，則由幾何概型可知其整體是其周長(zhǎng)3，已知直線y＝x＋b，b∈[－2,3]，則直線在y軸上的截距大于1的概率 答 5解 區(qū)域D為區(qū)間[－2,3]，d為區(qū)間(1,3]，而兩個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度分別為5,2.故所求概2一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，則到達(dá)路口時(shí)看見(jiàn)的是紅燈的概率是 答 5解 以時(shí)間的長(zhǎng)短進(jìn)行度量，故

5．(2012·改編)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是 答 連結(jié)OC，DC.OA

＝π 連結(jié)AB，由S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC可求出空白部分面積．設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，令OA＝2.C∈ABSAC＝SBC＝S所以

S陰影S

＝— ＝—

S扇形 題型 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概例 在集合A＝{m|關(guān)于x的方程式子lgm有意義的概率

3＋4m＋1＝0無(wú)實(shí)根}m思維啟迪：Algm答 5解 由Δ＝m2－43m＋1<0得 lgmm>0lgm有意義的范圍是(0,4)，P＝4－0＝4. 探究提高解答幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清題中的對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍當(dāng)考弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率 答 2解析記A為“弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”，如圖，BCDBBEF作垂CD時(shí)，就是等邊三角形的邊長(zhǎng)(F為由幾何概型得1 P(A)＝2題型 與面積有關(guān)的幾何概例 設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程a0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上(2)a－b 設(shè)A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根a≥0，b≥0x2＋2ax＋b2＝0(1)基本共有12個(gè)基 A發(fā)生的概率為 9 {(ab)|0≤a≤3,0≤b≤2}

探究提高數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為A滿足的不等式，在圖形中畫(huà)出A發(fā)生的區(qū)域，通用： P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．(1)PC：x2＋y2≤10M上的概率． (1)以024為橫縱坐標(biāo)的點(diǎn)P共有(0,0)(0,2)(0,4)(2,0)(2,2)(2,4)(4,0)(2,0)、(2,2)4∴

(2)∵M(jìn)4C＝∴所求概率為P＝4 2.＝ 題型 與角度、體積有關(guān)的幾何概例3如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BACAMBCMBM<1的概率．思維啟迪：根據(jù)“在∠BACAM”可知，本題的測(cè)度 ＝tan在Rt△ABD中，AD＝3，∠B＝60°，所以BD AD＝1，∠BAD＝tanN由幾何概型的概率，得

探究提高幾何概型的關(guān)鍵是“測(cè)度”如本題條件若改成“段BC上找一點(diǎn)M”，30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行．若蜜蜂在飛行610，則飛行是安全的，假率 答案1解 由題意，可知當(dāng)蜜蜂在棱長(zhǎng)為10的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時(shí)才是安全的，所以由 1何概型的概率計(jì) ，知蜜蜂飛行是安全的概率為典例：(14分)(1)x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}a∥b(2)x∈[－1,2]，y∈[－1,1]a，b(1)a∥bx＝2yx、y的值均為有限個(gè)，可以直接列出，轉(zhuǎn)化 (1)設(shè)“a∥b”為A，由a∥b，得基本空間為(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12個(gè)基本；[3分其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2個(gè)基本則 2

1.[6分 x≠2y.[8分]基本空間 B＝ [12分 μP(B)＝μΩ

3a，b的夾角是鈍角的概率是1.[14分3 一、填空題(535分

A 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為 答 3解 設(shè)x(12－x)<32x<4

＝12

點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率 答 解 如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D4D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域．該陰影部分的面積為4－π.因此滿足條件概率是4P1ABCDPA的距離|PA|<1 解 由題意可知，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|<1的區(qū)域?yàn)橐渣c(diǎn)A為圓心，以1為半 在區(qū)間[－1,1]xsin

2 答 6解

4的值介于－22，∴－4≤4 2 由－2≤sin42，得－642 的概率為2平面內(nèi)有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3cm，把一枚半徑為1cm的硬幣任意 答 33 3設(shè)p在[0,5]上隨機(jī)地取值，則方程 0有實(shí)根的概率 答 5

解 [0，5]∩{－∞，－1]∪[2，＋∞}的長(zhǎng)度

在區(qū)間[－π，π]a，bf(x)＝x2＋2ax－b2＋π點(diǎn)的概率 答 4 根據(jù)函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)得4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2≥π，建立ABCDf(x)S陰影 S陰影 二、解答題(27分

＝2＝

如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1.設(shè)M－ABCD的高為 22M2正方 ∴P＝

9．(14分)x

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對(duì)稱軸為

＝a

f(x)＝ax2－4bx＋1 a

a構(gòu)成所 的區(qū)域?yàn)?/p>

由

得交點(diǎn)坐標(biāo)為3 2 2所以所 的概率為 B 一、填空題(530分 答 4解 作出

1 1

如圖所示，設(shè)M是半徑為R的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連結(jié)MN，則弦MN的長(zhǎng)超過(guò)2R的概率為 答 2解 ＝在半圓弧CMD上時(shí)，MN>2R，故所求的概率 πR ＝ 答 答 ←1解 ∵xi，yi為0～1之間的隨機(jī)數(shù)，構(gòu)成以1為邊長(zhǎng)的正方形面

x2＋y2>1時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在陰影部分中(如圖所示 π ∴有M＝π4＝1 4M＝1在區(qū)間[0,1]上隨意選擇兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則使x2＋y2≤1成立的概率 解 π 此點(diǎn)到圓心的距離大于2，則周末去 ；若此點(diǎn)到圓心的距離小于4，則去打籃球否則，在家看書(shū)．則小波周末在家看書(shū)的概率 答 π×12－π×13解 ∵去 的概率

π×π× 1P2＝π×12∴

1 Q且與該直徑垂直的弦長(zhǎng)長(zhǎng)度不超過(guò)1的概率是 2答 1－2≥解 弦長(zhǎng)不超過(guò)1，即 3，而Q點(diǎn)在直徑AB≥機(jī)的，A＝{弦長(zhǎng)超過(guò)由幾何概型的概率得

2 3 ＝2—∴弦長(zhǎng)不超過(guò)1的概率為 3—