水力學(xué)講稿(黃華版)2014(Anew3c)

2023/4/21*水動(dòng)力學(xué)課程參考書(shū)介紹①水波理論及其應(yīng)用（鄒志利，科學(xué)出版社）②水波動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)（吳云崗，陶明德，復(fù)旦大學(xué)出版社）③波浪對(duì)海上建筑物的作用（李玉成，滕斌等，海洋出版社）④TheAppliedDynamicsofOceanSurfaceWaves(ChiangC,Mei梅強(qiáng)中，AWiley-IntersciencePublication,NewYork)2023/4/22

水波動(dòng)力學(xué)課程講義稿

第一章基本方程與問(wèn)題的近似提法

1.本課程所涉范疇

----基本方程與近似方法、微幅波理論、水波與物體的相互作用、界面波理論、非線(xiàn)性波理論、波浪滲流力作用等。

2.波浪問(wèn)題的一般概念

①波浪的成因與常見(jiàn)類(lèi)型3

------

自然界存在大量波動(dòng)現(xiàn)象。平衡水介質(zhì)受擾動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生初始速度或位移，在回復(fù)力作用下（重力或表面力）恢復(fù)平衡，由此產(chǎn)生波浪。

------

常見(jiàn)的波動(dòng)現(xiàn)象包括風(fēng)生波(陣風(fēng)作用

)、涌浪(暴風(fēng)停止后的余留,屬于水躍的一種)、潮汐波(太陽(yáng)和月亮引力)、水躍(明渠流中水流速大于由障礙物所引起擾動(dòng)--淺水重力波波速,形成水面突然躍起,如水庫(kù)泄水)、地震津波(海底搖蕩,可致海嘯)、瞬變波（擾動(dòng)源運(yùn)動(dòng)非周期化，如投入水中石頭所激發(fā)的波動(dòng)）、洪水波、船行波及內(nèi)波(海洋水表面受陽(yáng)光照射使表層升溫,在一定深度水層以下水溫不再升高,形成溫度突變的躍變層,該層面在上下方向微小擾動(dòng)下,微小密度差使水體浮力變化而誘發(fā)或加劇該層面波動(dòng),形成二層海內(nèi)波)。

------波浪理論中常見(jiàn)分析類(lèi)型包括微幅波、有限振幅波3、淺水波（如橢圓余弦波和孤立波）、內(nèi)波、船行波、瞬變波、破碎波及無(wú)規(guī)則波等。2023/4/24

產(chǎn)生波動(dòng)的要素：介質(zhì)擾動(dòng)源恢復(fù)力水波水風(fēng)、潮汐、地震、流場(chǎng)中的障礙物、運(yùn)動(dòng)物體等重力，表面張力2023/4/25

流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，自由面是水平的。當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)受到某種擾動(dòng)而離開(kāi)平衡位置時(shí)，重力作為恢復(fù)力將使流體質(zhì)點(diǎn)回到原來(lái)的平衡位置，但由于慣性，流體質(zhì)點(diǎn)在回到平衡位置時(shí)，不會(huì)停下而是繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，這樣重力又將發(fā)揮恢復(fù)力的作用，如此流體質(zhì)點(diǎn)反復(fù)振蕩，在自由面上形成波浪。2023/4/262023/4/272023/4/282023/4/292023/4/210

近岸波變形2023/4/211

波浪破碎2023/4/212

近岸波破碎2023/4/2132023/4/214

波浪傳播折射與反射及繞射2023/4/215

船運(yùn)動(dòng)興波2023/4/216船運(yùn)動(dòng)興波2023/4/2172023/4/218

2.波浪問(wèn)題的一般概念②波浪問(wèn)題研究的工程應(yīng)用背景

----海面上波浪最大高度可達(dá)二三十米，對(duì)船舶、采油平臺(tái)和港口等海工設(shè)施可能產(chǎn)生較大的破壞，因而需對(duì)波浪載荷加以確定，對(duì)波浪的破壞作用加以預(yù)估。

----在設(shè)計(jì)海工結(jié)構(gòu)時(shí)，為確定波浪載荷，需確定使用期內(nèi)建筑物可能遇到的最大海浪等波浪要素，為此需對(duì)海浪形成機(jī)理及海浪預(yù)報(bào)加以研究。

----波浪要素確定后，為確定波浪載荷還需研究波浪的流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因而需要建立和完善各種波浪理論。

----應(yīng)用各種波浪理論，可進(jìn)一步研究波浪與物體的相互作用問(wèn)題，從而為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性分析提供重要數(shù)據(jù)。此外，波浪理論在波能利用問(wèn)題研究中也十分重要。

----波浪傳入淺水之后將引起海底泥沙運(yùn)動(dòng)，從而導(dǎo)致港口等海岸建筑物附近海岸的淤積或沖刷及航道的淤積，甚至對(duì)岸堤上建筑物的直接沖擊和破壞。因而近岸波浪作用理論的發(fā)展十分必要。2023/4/219例大尺度海工結(jié)構(gòu)波浪作用研究隨著人類(lèi)對(duì)海洋開(kāi)發(fā)的不斷增長(zhǎng)，海洋結(jié)構(gòu)物的建造尺度也在不斷增大。例如在海上石油鉆井平臺(tái)的設(shè)計(jì)中，很多都采用大直徑圓柱結(jié)構(gòu)作為支撐物；在自升式重力平臺(tái)以及港口碼頭船錨錨碇的建造中，通常采用大型沉塊結(jié)構(gòu)；在海洋半潛式平臺(tái)如水上碼頭或水上休閑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所和海洋網(wǎng)箱的建造中，都要用到浮筒結(jié)構(gòu)。2023/4/220

此外，防波堤（包括固立式和浮動(dòng)式）也屬于淺水海域中的大尺度近岸海工結(jié)構(gòu)物。例如前年啟動(dòng)的一個(gè)千萬(wàn)元級(jí)別的海洋工程重大項(xiàng)目（2010年國(guó)家海洋公益性行業(yè)科研項(xiàng)目“新型浮式防波堤關(guān)鍵技術(shù)應(yīng)用示范”）所涉及的結(jié)構(gòu)就屬于典型的大尺度海工物體。2023/4/221海洋石油鉆探平臺(tái)2023/4/222

波浪繞圓柱2023/4/2232023/4/2242023/4/2252023/4/226

波浪繞防波堤2023/4/227

波浪繞防波堤2023/4/228例波能利用

21世紀(jì)是海洋的世紀(jì)，人類(lèi)從大海中利用資源已成為必然趨勢(shì)。其中海浪所蘊(yùn)藏的波浪能是一種取之不盡的可再生能源，有效利用巨大的海洋波浪能資源是人類(lèi)幾百年來(lái)的夢(mèng)想。波浪能是以一種取之不竭的可再生清潔能源。海洋中有豐富的波浪能和水，波浪能是指海洋表面波浪所具有的動(dòng)能和勢(shì)能，波浪能具有能量密度高，分布面廣等優(yōu)點(diǎn)。它是一種最易于直接利用、取之不竭的可再生清潔能源。氣動(dòng)式波浪發(fā)電設(shè)施2023/4/229波能試驗(yàn)實(shí)例震蕩式波浪能發(fā)電裝置---裝置的原動(dòng)力為波浪沖擊載荷，在波浪沖擊載荷的作用下，通過(guò)門(mén)板與門(mén)板后的擋板之間的相互配合使門(mén)板做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。與門(mén)板固連的豎軸與門(mén)板一起做往復(fù)轉(zhuǎn)動(dòng)，該豎軸通過(guò)錐齒輪與水平橫軸連接將豎軸的往復(fù)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為水平軸的雙向轉(zhuǎn)動(dòng)。水平軸的雙向轉(zhuǎn)動(dòng)輸入通過(guò)本裝置的一套棘輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)換為單向轉(zhuǎn)動(dòng)輸出，單向轉(zhuǎn)動(dòng)輸出軸與鏈輪發(fā)條機(jī)構(gòu)連接，并將能量貯存在發(fā)條中，發(fā)條由控制電路控制并通過(guò)鏈傳動(dòng)與發(fā)電機(jī)相連最終實(shí)現(xiàn)本作品的發(fā)電的功能。30例洞室爆破涌浪形態(tài)及作用研究在水域旁進(jìn)行洞室爆破，大量爆破拋擲體拋入水中時(shí)會(huì)產(chǎn)生涌浪。國(guó)內(nèi)有關(guān)資料有：1990年5月惠州深水港通用碼頭640t定向拋擲爆破時(shí)，“爆破拋擲體掀起的涌浪高達(dá)5m左右，并逐漸變低向外傳播，到2.5km處約0.5m高，兩岸涌浪爬高10～13m，破壞了西側(cè)350m珍珠養(yǎng)殖場(chǎng)的部分浮標(biāo)，且有不少魚(yú)被拋擲體及飛石砸死和被涌浪涌至岸上。”1991年1月惠州港油制氣碼頭3300t大爆破(芝麻州島大爆破)時(shí)，“產(chǎn)生的涌浪高達(dá)2．5m左右，并向前推進(jìn)，當(dāng)遇到高3m左右的碼頭時(shí)，涌浪爬高達(dá)6m左右。涌浪爬上碼頭后，有一股浪頭在碼頭上前進(jìn)，將原留下的幾十座工棚全部推倒化為烏有。涌浪對(duì)海洋魚(yú)類(lèi)也有影響，有不少小魚(yú)被涌上碼頭，但位于碼頭西側(cè)距爆區(qū)約800m處的海洋生物實(shí)驗(yàn)場(chǎng)卻安然無(wú)恙。2023/4/231

實(shí)例：

程高山位于浙江省淳安縣縣城中，周?chē)ㄖ锩懿?。程高山土石方爆破工程為程高山安居工程前期?chǎng)平工程中的開(kāi)挖區(qū)爆破工程。在程高山洞室爆破中，有3次(一區(qū)、三區(qū)和六區(qū))因爆破破碎體拋入湖內(nèi)而出現(xiàn)了涌浪。

一區(qū)洞室爆破平面布置示意圖

2023/4/232一區(qū)洞室爆破典型剖面圖

2023/4/233一區(qū)前方水域縱深在700m以上，側(cè)向岸線(xiàn)與拋擲方向垂直，由拋擲體形成的前向的涌浪能量受水面阻力的約束，在100m左右就衰減成波浪，而沿湖岸向側(cè)向發(fā)展的涌浪形成潮涌式的沿岸涌浪，以大約3～5m／s的速度順湖岸走向由南向北→東→南→北向前推進(jìn)，浪高2m有余，場(chǎng)面壯觀。涌浪沿岸行進(jìn)距離在600m以上。2023/4/234---

(相關(guān)結(jié)論)涌浪的傳播距離通常比較遠(yuǎn)，對(duì)水面船只、網(wǎng)箱的影響比較大。要考慮涌浪對(duì)岸堤的沖刷及可能引起的岸堤上建筑物的陷落和破壞；涌浪上岸后水流對(duì)岸上建筑物的沖擊和破壞。必須預(yù)計(jì)和防范強(qiáng)度很大的涌浪對(duì)建筑物的毀滅性破壞情況的出現(xiàn)。

2023/4/2352023/4/2362023/4/237船模實(shí)驗(yàn)水池

長(zhǎng)*寬*深=108*7*3.5米水池拖車(chē)（車(chē)速:6.5m/s)

Thenewtowcarriage(5March2001)波浪作用理論的研究發(fā)展與波浪實(shí)驗(yàn)密切相關(guān)。2023/4/238水池拖車(chē)（車(chē)速:5m/s)

2023/4/239MarineBasin2023/4/240

2.波浪問(wèn)題的一般概念③

波浪特征參數(shù)

----波浪的基本特征參數(shù)包括波幅A、波高H、波長(zhǎng)λ、周期T、波速c(c=λ/T)、波頻f(f=1/T)、圓頻率ω(ω=2πf)、波數(shù)k(k=2π/λ)、波陡(H/λ)、波面鉛垂位移η等。

-----波長(zhǎng)λ：兩個(gè)相鄰波峰(谷)間的距離;周期T：相鄰波峰(谷)通過(guò)一固定點(diǎn)的時(shí)間差;波頻f：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的波的次數(shù);圓頻率ω：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)繞過(guò)的弧度(正弦波為最簡(jiǎn)單實(shí)際的波形,一個(gè)周期對(duì)應(yīng)的波形對(duì)應(yīng)弧度為2π);波數(shù)k:單位距離內(nèi)含有波長(zhǎng)的個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的弧度。

2023/4/241

波幅(waveamplitude):A靜水深(waterdepth):h波高(waveheight):H=2A波傾角(waveslope):α波長(zhǎng)(wavelength):λ

波數(shù)(wavenumber):k=2π/λ

波峰(crest)波谷(trough)αWaveslope水平面2023/4/242

①水波問(wèn)題的基本假定條件：1）水是無(wú)粘性(不考慮水粘性)；2）水是不可壓縮流體；3）水波運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)是無(wú)旋的。水波問(wèn)題是理想不可壓流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題水波問(wèn)題必須服從不可壓勢(shì)流運(yùn)動(dòng)的基本控制方程3.基本方程與定解條件2023/4/243

3.基本方程與定解條件②水的流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程

1）拉格朗日形式

------

2）歐拉形式

------（利用）

2023/4/244*拉格朗日流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程之推導(dǎo)

----方程的一般形式：式中,為作用于單位質(zhì)量流體上之體力。分析：采用微元分析法，如圖示，在x軸方向由左右兩面

壓強(qiáng)差產(chǎn)生的合力為

同理，在y和z軸方向由壓強(qiáng)差產(chǎn)生的合力應(yīng)分別為故作用于微元體上對(duì)應(yīng)的總合力為2023/4/245設(shè)作用于微元體單位質(zhì)量的體力為，則作用于微元體上的總體力為，另微元體加速度為，應(yīng)用牛頓定律可得：即*上式也可直接由流體的納維—斯托克斯方程(N-S方程)對(duì)于無(wú)粘流體，有，故有歐拉方程

2023/4/246③連續(xù)方程

------

分析：由質(zhì)量守恒律:一個(gè)流體系統(tǒng)中的流體質(zhì)量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持

不變。按雷諾輸運(yùn)定理，即在一固定空間（控制體）中流體質(zhì)量

的減少率（單位時(shí)間內(nèi)控制體中流體質(zhì)量的減少）等于單位時(shí)間

內(nèi)通過(guò)控制體表面流出的流體凈質(zhì)量,也即有對(duì)于不可壓流體,有,故,再由斯托克斯公式得

47④調(diào)和方程(拉普拉斯方程)

------

分析：引入亥姆霍茲定理（開(kāi)爾文定理）：體力有勢(shì)的無(wú)粘正壓流體,沿任一條由相同質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的封閉線(xiàn)(流體線(xiàn))之環(huán)量不隨時(shí)間變化，由此可知，流體若開(kāi)始流動(dòng)時(shí)處處無(wú)旋，則以后時(shí)刻保持無(wú)旋。由此有：

故可取

代入連續(xù)方程，得

⑤伯努利方程（拉格朗日積分）

------2023/4/248*參考件---無(wú)旋條件推導(dǎo)

開(kāi)爾文定理2023/4/2492023/4/2502023/4/251

*伯努利方程（拉格朗日積分）推導(dǎo)對(duì)于無(wú)粘流體,引入歐拉方程,應(yīng)用式

,則有

再設(shè)體力有勢(shì),則可定義一體力勢(shì)使。當(dāng)流體正壓時(shí),可設(shè)有,即,相應(yīng)即

52又流體運(yùn)動(dòng)無(wú)旋,即,則且,則有若令,則仍有及,故上式可改寫(xiě)為3.基本方程與定解條件⑤定解條件1)邊界條件

----固定表面(如海底):;----自由表面:(i)運(yùn)動(dòng)學(xué)條件

(ii)動(dòng)力學(xué)條件;若取,則仍有及,故可改寫(xiě)為

;若作一階近似有及2023/4/253*固面條件及自由面運(yùn)動(dòng)學(xué)條件推導(dǎo)2023/4/254自由面運(yùn)動(dòng)學(xué)條件中自由面位置z=η

和速度勢(shì)均為未知，因此它是一個(gè)非線(xiàn)性方程，且與自由面的時(shí)間變化有關(guān)。更為困難的是，自由面運(yùn)動(dòng)學(xué)條件要在未知的自由面上滿(mǎn)足，而自由面位置本身是需要求解的。流體速度分量波面傾斜度2023/4/255

邊界條件(boundaryconditions)歸納：

水底部條件(在z=-h上)

自由面運(yùn)動(dòng)學(xué)條件(在z=η上)

自由面動(dòng)力學(xué)條件(在z=η上)加上此方程構(gòu)成定解問(wèn)題2023/4/2562)初始條件

----初始位移:流體質(zhì)點(diǎn)在重力作用下產(chǎn)生波動(dòng);在有勢(shì)力作用下,流場(chǎng)保持無(wú)旋。

----初始速度:如瞬時(shí)附加壓強(qiáng)（一陣風(fēng)等），其停止時(shí)刻即為初始時(shí)刻，由此產(chǎn)生初始速度分布，由其產(chǎn)生的波動(dòng)仍保持無(wú)旋。分析：574.邊值問(wèn)題的近似提法（Stokes一階與二階波問(wèn)題提法）2023/4/258？2023/4/25960分析：1）自由面條件的變換式其中進(jìn)一步可有2023/4/262比較另有：*比較在z=0處展開(kāi)63另有：2）泰勒展開(kāi)定理在處展開(kāi)為：3）第一、二階波勢(shì)自由面條件式1）自由面條件的變換式分析：2023/4/264代入2023/4/265664）第二階波勢(shì)自由面條件推導(dǎo)（1）應(yīng)用可令在處展開(kāi)：代入上式，再由(A)，歸并項(xiàng)可分別得：將和67*練習(xí)：如何進(jìn)行第三階波勢(shì)自由面條件（1）推導(dǎo)分析：應(yīng)用可令在處展開(kāi)：代入上式，再由(A)，歸并項(xiàng)可分別得：將和68應(yīng)用再令在處展開(kāi)為：代入上式，再由(A)，歸并項(xiàng)可分別得：將和4）第二階波勢(shì)自由面條件推導(dǎo)（2）69應(yīng)用再令在處展開(kāi)為：代入上式，再由(A)，歸并項(xiàng)可分別得：將和*練習(xí)：如何進(jìn)行第三階波勢(shì)自由面條件（2）推導(dǎo)2023/4/270直接求解水波邊值問(wèn)題十分困難的，因?yàn)椋?/p>

1.自由面運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件都是非線(xiàn)性的。

2.自由面運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件必須在未知的自由面上滿(mǎn)足。

1.非線(xiàn)性的自由面運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件可以線(xiàn)性化。

2.自由面運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件可以固定在靜水面上滿(mǎn)足。微幅波(也稱(chēng)Airy波，即波幅與波長(zhǎng)相比為小量，

)

1.水波邊值問(wèn)題的線(xiàn)性化第二章微幅波理論2023/4/271

在微幅波情況下，波面起伏η

是小量，波浪中流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度也是小量，它們自乘或互乘所得的二階以上的項(xiàng)可作為高階小量而略去。由于η

是小量，原來(lái)要在未知的自由面z=η

上滿(mǎn)足的邊界條件也可以改在靜水面z=0上來(lái)滿(mǎn)足。因此：

自由面運(yùn)動(dòng)學(xué)條件(在z=η上)(在z=0上)2023/4/272

自由面動(dòng)力學(xué)條件(在z=η上)(在z=0上)

由自由面運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件(在z=0上)可以得到：(在z=0上)2023/4/273流場(chǎng)動(dòng)力學(xué)條件及壓力分布公式：動(dòng)壓力(dynamicpressure)靜壓力(hydrostaticpressure)2023/4/274

上面三個(gè)方程求解，可采用分離變量法對(duì)速度勢(shì)進(jìn)行求解(separationofvariables)。Airy波速度勢(shì)的求解結(jié)果為：

當(dāng)水深趨于無(wú)限，即，此時(shí)的速度勢(shì)為：

2.微幅波問(wèn)題的數(shù)學(xué)解752）邊值問(wèn)題的求解（分離變量法）可令，代入方程分離變量,可得進(jìn)一步設(shè)，為方便計(jì)，將仍取，令可得：1）定解（邊值）問(wèn)題的提法分析：右行波周期函數(shù)76分析（續(xù)）：對(duì)于中的第一個(gè)方程，考慮

為周期函數(shù)，故須取，由此解得：

進(jìn)一步求解，可得：

代入

可得：右行波2）邊值問(wèn)題的求解77分析（續(xù)）：故最終可得

再令

則

可取，再引入，代入條件得：，即

2）邊值問(wèn)題的求解2023/4/278

由動(dòng)力學(xué)條件，可得Airy波流場(chǎng)壓力分布為：

由自由面動(dòng)力學(xué)條件，可得Airy波面為：2023/4/279

對(duì)Airy波的解，涉及四個(gè)參數(shù)(A,k,c,ω)，實(shí)際上由于色散關(guān)系和波速公式，k和ω及(k,c,ω)是相互關(guān)聯(lián)的，因此只有兩個(gè)參數(shù)(A,k)需要確定：(1)Airy波是二維余弦曲線(xiàn)，因此也稱(chēng)為線(xiàn)性簡(jiǎn)諧波。

A

就是波幅(waveamplitude)，它的兩倍就是波高

H=2A(waveheight)。兩個(gè)相鄰波峰(crest)(或波谷(trough))之間的距離稱(chēng)為波長(zhǎng)λ(wavelength)。AHλ2023/4/280(2)k是波數(shù)(wavenumber)。

對(duì)簡(jiǎn)諧波，令t=0，可得空間上周期變化的余弦函數(shù)：

利用一個(gè)周期對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)x=λ，可推得k即為波數(shù)（一個(gè)周期2π內(nèi)所含波的個(gè)數(shù)）：對(duì)于2023/4/281(3)ω

是圓周頻率(frequency)。

對(duì)簡(jiǎn)諧波，令x=0，可得時(shí)間上周期變化的余弦函數(shù)：

利用一個(gè)周期(period)t=T=1/f，可知ω即為圓周頻率（一個(gè)周期2π內(nèi)波的振動(dòng)次數(shù)）對(duì)于2023/4/282

*波浪特征參數(shù)

----波浪的基本特征參數(shù)主要包括波幅A、波高H、波長(zhǎng)λ、周期T、波速c(c=λ/T)、波頻f(f=1/T)、圓頻率ω(ω=2πf)、波數(shù)k(k=2π/λ)、波陡(H/λ)

、波面鉛垂位移η等。

-----波長(zhǎng)λ：兩個(gè)相鄰波峰(谷)間的距離;周期T：相鄰波峰(谷)通過(guò)一固定點(diǎn)的時(shí)間差;波頻f：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的波的次數(shù);圓頻率ω：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)繞過(guò)的弧度(正弦波為最簡(jiǎn)單實(shí)際的波形,一個(gè)周期對(duì)應(yīng)的波形對(duì)應(yīng)弧度為2π);波數(shù)k:單位距離內(nèi)含有波長(zhǎng)的個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的弧度。

2023/4/283(4)波速

(wavevelocity)，也稱(chēng)相速(phasevelcoity)。

波速c的定義：波長(zhǎng)與波周期的比值，即在一個(gè)波周期內(nèi)，完成經(jīng)歷一個(gè)波長(zhǎng)距離的速度，其公式為：2023/4/284

可得：

將Airy波的速度勢(shì)代入線(xiàn)性化的自由面條件，即將Airy波速度勢(shì)

代入線(xiàn)性化自由面條件(z=0)

此即色散關(guān)系：

3.色散關(guān)系(dispersionrelationship)2023/4/285

通過(guò)色散關(guān)系，如果知道水深和波數(shù)，求圓周頻率比較容易；但如果知道圓周頻率和水深，要求解波數(shù)就比較困難?？刹捎孟旅鎯蓷l函數(shù)曲線(xiàn)相交的方法來(lái)求解。把色散關(guān)系改寫(xiě)成：311/252023/4/286

色散關(guān)系建立了水深、波長(zhǎng)、波速、波數(shù)、圓周頻率的關(guān)系,反映了水波的重要特征，是水波的重要關(guān)系式。

以下對(duì)它再作進(jìn)一步討論：2023/4/287*深淺水條件范圍劃分及對(duì)應(yīng)的色散關(guān)系2023/4/288

由于波速，波數(shù)，可以進(jìn)一步把色散關(guān)系寫(xiě)成：

先固定水深h，來(lái)討論上面色散關(guān)系。即在一定的水深h情況下，色散關(guān)系建立了圓周頻率(ω)與波數(shù)(k)的關(guān)系，圓周頻率(ω)波數(shù)(k)

因此通過(guò)色散關(guān)系，可建立波速(c)與波長(zhǎng)(λ)的關(guān)系，即在一定的水深h情況下，波速(c)波長(zhǎng)(λ)89

因此可以得到：

現(xiàn)在看水深變化情況。先討論深水波(deepwaterwaves)。

如果，即，也就是，那么

因此深水波的色散關(guān)系為：

由于，因此深水波也稱(chēng)為短波(shortwaves)。色散波90

現(xiàn)在看淺水波(shallowwaterwaves)情況。

因此可以得到：

如果，即，也就是，一般認(rèn)為當(dāng)就是水深足夠小，此時(shí)有

因此淺水波的色散關(guān)系為：

由于，因此淺水波也稱(chēng)為長(zhǎng)波(longwaves)。非色散波2023/4/2912023/4/292

對(duì)于一定的波長(zhǎng)，是恒定的，隨著水深h增加，波速c增加。因此深水波的傳波速度快，淺水波的傳波速度慢。

對(duì)于一定的水深，是恒定的，隨著波長(zhǎng)λ增加，波速c增加。因此長(zhǎng)波的傳播速度快，短波的傳播速度慢。2023/4/293當(dāng)水深一定，c隨波長(zhǎng)增加而增加另當(dāng)波長(zhǎng)一定，c隨水深增加而增加2023/4/294

通過(guò)速度勢(shì)和色散關(guān)系，可以求得流場(chǎng)速度：

4.流場(chǎng)速度(fluidvelocityfield)95zxx=λx=λ/2波傳播方向O2023/4/2962023/4/297

在z

=0上的速度為：

由此把速度改寫(xiě)成：2023/4/298

對(duì)深水波，，有：2023/4/299

對(duì)淺水波，，有：

幾個(gè)常用函數(shù)的特征：

深水

淺水1kh1101

Airy波特征：

深水

淺水色散關(guān)系流場(chǎng)速度2023/4/2102

通過(guò)速度勢(shì)或速度求流線(xiàn)方程。參考公式如下：*練習(xí)2023/4/2103分析：法1由平面不可壓理想勢(shì)流理論2023/4/2104分析（續(xù)）：法2由則105

設(shè)水質(zhì)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

它的平均位置為，

因此P點(diǎn)位置可以表示為：

由位移速度關(guān)系并根據(jù)泰勒展開(kāi)定理：忽略小量并積分：5.水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡(particleorbit)2023/4/2106

同理可得：

積分后得：

在靜水面的平衡位置，有，得到：107

水質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡(particleorbit)為：

其中：

水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)橢圓，隨著水深增加，橢圓兩個(gè)軸長(zhǎng)減少。108

對(duì)深水波，，橢圓的兩個(gè)軸長(zhǎng)變?yōu)橐粋€(gè)：

水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)圓，隨著水深增加，圓半徑減少。在自由面上的水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圓的半徑正好是波幅。

深水

淺水2023/4/2109zxx=λx=λ/2波傳播方向O2023/4/21102023/4/2111112

對(duì)淺水波，，橢圓的兩個(gè)軸長(zhǎng)變?yōu)椋?/p>

水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)橢圓，橢圓的水平軸長(zhǎng)保持不變，橢圓的垂直軸長(zhǎng)隨著水深增加而線(xiàn)性遞減。在自由面上的水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡橢圓的垂直軸長(zhǎng)正好是波幅。2023/4/21132023/4/21142023/4/2115

由線(xiàn)性化的動(dòng)力學(xué)條件，知道壓力分布由動(dòng)壓力和靜壓力組成：

6.流場(chǎng)的壓力分布(pressurefield)動(dòng)壓2023/4/2116

對(duì)深水波，，有：

因此深水波的壓力分布為：

對(duì)于深水波，動(dòng)壓力部分隨著水深增加而衰減，動(dòng)壓力主要在自由面附近起作用，其它地方還是靜水壓力分布。2023/4/2117

對(duì)淺水波，，有：

因此淺水波的壓力分布為：

對(duì)于淺水波，壓力分布相當(dāng)于靜水壓力分布，只是需要以實(shí)際的波面高度來(lái)計(jì)算靜水壓力。2023/4/2118

波能=波勢(shì)能

(potentialenergy)+波動(dòng)能

(kineticenergy)z

7.波能(waveenergy)2023/4/2119①波勢(shì)能：

對(duì)于無(wú)波浪靜水面，單位面積水的勢(shì)能為：

有波浪時(shí)，單位面積水的勢(shì)能為：

單位面積純波浪的勢(shì)能為：2023/4/2120如果考慮Airy波，單位面積純波浪的勢(shì)能為：純波浪在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)單位寬的勢(shì)能平均值為：121有波浪時(shí)，單位面積水的動(dòng)能為：在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)單位寬的動(dòng)能平均值為：②波動(dòng)能：奧高公式122

利用左右及前后兩垂直側(cè)面上積分相互抵消，和水底部條件，可得到在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)單位寬的動(dòng)能平均值為：其中已考慮Airy波線(xiàn)性化條件，另有123所以，在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)單位寬Airy波的動(dòng)能平均值為：

最后可以得到Airy波一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)單位寬度的平均總波能為：Airy波的勢(shì)能與動(dòng)能相等，波能與波幅平方成正比，與水深無(wú)關(guān)。2023/4/2124----按力學(xué)原理可知，波浪通過(guò)某一固定垂直平面的能量輸送率，應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)作用在這一平面上的壓力對(duì)通過(guò)這一平面的流體所做的功。③能量輸送率（waveenergypropagationrate）

而單位時(shí)間內(nèi)作用在一單位寬固定垂直平面上的壓力所做功（此即一個(gè)周期內(nèi)作用在一單位寬固定垂直平面上的壓力對(duì)通過(guò)這一平面的流體所做功的平均值，也即單位時(shí)間內(nèi)單位寬垂直平面一側(cè)向另一側(cè)所輸送能量）為：125

對(duì)Airy波，有2023/4/2126代入可以得到：練習(xí)波群速度單位寬單位長(zhǎng)波總能深水條件下為波速的一半127把上式代入波能傳播方程*，可得：

對(duì)照質(zhì)量守恒方程，可以看出該方程即是波能守恒方程(Conservationofwaveenergyequation)。

如果波能

密度不隨時(shí)間變化，即，則對(duì)任一固定x處沿水深的垂直平面，都有：。2023/4/2128

按力學(xué)原理可知，波浪通過(guò)某一固定垂直平面的能量輸送率，應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)作用在這一平面上的壓力對(duì)通過(guò)這一平面的流體所做的功，有：參考件*波能傳播方程2023/4/2129由于代入得到波能傳播方程(Equationofwaveenergypropagation)：參考件2023/4/2130如果波群速cg

為常數(shù)，則波能方程變?yōu)椋?/p>

它表明在經(jīng)過(guò)時(shí)間t0后，原來(lái)在x

處的波能移到了x+cg

t0處，即波能在以波群速cg

沿x方向傳播。2023/4/2131

因此，波能是以波群速cg

進(jìn)行傳播的，即通過(guò)與波速垂直的固定平面的波能轉(zhuǎn)移速度等于波群速。2023/4/2132兩個(gè)波疊加的波群

----由兩個(gè)波幅和傳播方向相同，波數(shù)和圓頻率非常接近的Airy波線(xiàn)性疊加所得波群。

設(shè)有兩個(gè)Airy波，波面起伏式為：

兩個(gè)Airy波線(xiàn)性疊加，可得：

其中：

8.波群速度(wavegroupvelocity)2023/4/2133波群的波長(zhǎng)：波群的周期：波群的速度：波幅為多少？2023/4/2134由于Airy波的色散關(guān)系：可以得到Airy波調(diào)制形成的波群的波群速：(1/2<B<1)練習(xí)135對(duì)深水，，有B=1/2，即對(duì)淺水，，有B=1，即因此136一系列波疊加的波群

----由一系列波幅與波長(zhǎng)相近且波數(shù)連續(xù)變化的Airy波線(xiàn)性疊加所得波群。波群波面起伏式為：

其中：

代入上面的積分式，近似可得

可取：137分析：由

其中：

，代入上面的積分式：取：2023/4/2138----Airy波遇到二維無(wú)限長(zhǎng)直墻發(fā)生正反射，形成駐波。波勢(shì)和波面分別為：

9.水波的反射(wavereflection)①正反射2023/4/2139

Airy波遇到二維無(wú)限長(zhǎng)直墻發(fā)生正反射，反射波勢(shì)的邊值問(wèn)題提法為：分析：其中：輻射條件，左行波140分析（續(xù)）：作為求解練習(xí)可設(shè)（特征函數(shù)法）：代入物面條件可得：，則總波勢(shì)為：2023/4/2141

由速度分布，可以知道在x=0(或kx=－nπ)處，有：

即在x=0(或kx=－nπ→

x=－(n/2)λ

處相當(dāng)于一個(gè)物面。2023/4/2142可以知道在kx=－(n+1/2)π

處，有：

即在x=－(n+1/2)λ/2處形成節(jié)點(diǎn)。

由2023/4/21432023/4/2144

壓力分布式為：

直墻上單位長(zhǎng)度的波浪作用力為：2023/4/2145----斜向入射的Airy波遇到二維無(wú)限長(zhǎng)直墻發(fā)生斜反射，形成短峰波。波勢(shì)和波面分別為：②斜反射短峰波2023/4/2146

壓力分布式為：

直墻上單位長(zhǎng)度的波浪作用力為：

在

長(zhǎng)的直墻上總波浪作用力為

。零2023/4/2147

當(dāng)波的傳播方向與x軸有一定的角度，或波峰線(xiàn)和波谷線(xiàn)與x軸不垂直的情況，稱(chēng)為斜平面波(obliqueplanewaves)。2023/4/2148

假設(shè)平面行進(jìn)波的傳播方向與x軸的角度為α，則由線(xiàn)性Airy波可得到平面行進(jìn)波的波面：其中2023/4/2149

由于只是在xOy平面有波的傳播方向改變，因此線(xiàn)性平面入射行進(jìn)波的速度勢(shì)可以從Airy波理論直接得到：

線(xiàn)性平面行進(jìn)波的色散關(guān)系與Airy波的色散關(guān)系形式一致：2023/4/2150類(lèi)似正反射波勢(shì)求解方法，斜反射波的速度勢(shì)為：相應(yīng)波面為：相應(yīng)總波勢(shì)為：2023/4/2151

Airy波遇到二維無(wú)限長(zhǎng)直墻發(fā)生斜反射，反射波勢(shì)的邊值問(wèn)題提法為：分析：其中特征函數(shù)法求解可得可證反射勢(shì)已滿(mǎn)調(diào)和方程，其特征解為2023/4/21522023/4/21532023/4/21542023/4/21551）波浪淺化定義

-----波浪接近岸邊,水深將逐漸變淺,使得波浪運(yùn)動(dòng)方向和特性發(fā)生一定變化,這一過(guò)程稱(chēng)為波浪淺化。10.水波的折射(waverefraction)①波浪淺化2）波數(shù)守恒方程-----若波浪場(chǎng)恒定，即波數(shù)矢量不隨時(shí)間變化，則，即波頻不隨空間變化。當(dāng)波浪接近岸邊時(shí),水深變淺,而波頻不變，按色散關(guān)系，波數(shù)k增加，波長(zhǎng)和波速減小。-----設(shè)一般平面波波面為，其中

為相位函數(shù)。參照等水深平面波，可定義波數(shù)矢量，定義波頻，可得波數(shù)守恒方程：2023/4/2156當(dāng)水深一定，c隨波長(zhǎng)增加而增加另當(dāng)波長(zhǎng)一定，c隨水深增加而增加*參考件（不同波