高等代數(shù)實踐課不變子空間

高等代數(shù)實踐課不變子空間第一頁，共十六頁，2022年，8月28日引入：回憶：1.子空間：令w是數(shù)域F上向量空間的一個非空子集。如果W對于V的加法以及標量與向量的乘法都封閉，那么稱W是V的一個子空間。*這一節(jié)課我們將學(xué)習(xí)不變子空間，大家想一下不變子空間與子空間有什么樣的聯(lián)系呢？下面我們比較著學(xué)習(xí)。第二頁，共十六頁，2022年，8月28日不變子空間課程要求：1.了解不變子空間的定義

2.哪些是不變子空間，舉例說明

3.“限制”以及它的應(yīng)用

4.不變子空間的求法

5.不變子空間與一個線性變換的矩陣的關(guān)系第三頁，共十六頁，2022年，8月28日定義V的一個子空間W說是在線性變換σ之下不變（或穩(wěn)定），如果σ(w)?w.簡單的說，如果子空間在σ之下不變，那么w就叫做σ的一個不變子空間第四頁，共十六頁，2022年，8月28日下面，我們來看一下不變子空間的例子例1：V本身和零空間{0}顯然在任意線性變換之下不變。所以V本身和零空間{0}都是不變子空間。再看幾個例子：例2：令σ是V的一個線性變換，那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都在σ之下不變，所以σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都是不變子空間。解析：事實上，對于任意ξ∈Ker(σ)，都有σ（ξ）=0∈Ker(σ)，所以Ker(σ)在σ之下不變。即：Ker(σ)={σ（ξ）=0}至于Im(σ)在σ之下不變，是顯然的。即：Im(σ)=σ（v）第五頁，共十六頁，2022年，8月28日例3：V的任意子空間在任意位似變換之下不變

解析：首先請大家回憶一下“位似”的概念位似：令V是數(shù)域Ｆ上一個向量空間。取定Ｆ的一個數(shù)k.對于任意ξ?V,定義σ(ξ)=kξ.容易驗證,σ是V到自身的一個線性映射。這樣的一個線性映射叫做V的一個位似。位似變換：ξ?kξ第六頁，共十六頁，2022年，8月28日例4：令σ是V?中以某一過原點的直線L為軸，旋轉(zhuǎn)一個角?的旋轉(zhuǎn)。那么旋轉(zhuǎn)軸L是σ的一個一維不變子空間，而過原點與L垂直的平面H是σ的一個二維不變子空間。第七頁，共十六頁，2022年，8月28日例5：

令f[x]是數(shù)域F上一切一元多項式所成的向量空間，σ：f(x)→f‘(x)是求導(dǎo)數(shù)運算。對于每一自然數(shù)n，令Fn[x]表示一切次數(shù)不超過n的多項式連同零多項式所成的子空間。那么Fn[x]在σ之下不變。第八頁，共十六頁，2022年，8月28日限制設(shè)w是線性變換σ的一個不變子空間。只考慮σ在w上的作用，就得到子空間w本身的一個線性變換，稱σ在w上的限制，并且記作σ｜w.這樣，對于任意ξ∈W,σ｜w(ξ)=σ(ξ).然而，如果ξ?W，那么σ｜w(ξ)沒有意義。第九頁，共十六頁，2022年，8月28日現(xiàn)在我們來看一下：不變子空間和簡化線性變換的矩陣的關(guān)系設(shè)V是數(shù)域F上的一個n維向量空間,σ是V的一個線性變換。假設(shè)σ有一個非平凡不變子空間W，那么取W的一個基α?,α?,…,αγ,再補充成為V的一個基α?,α?…，αγ,αγ+?,…,αn.由于W在σ之下不變,所以σ(α?),σ(α?),…,σ(αγ)仍在W內(nèi),因而可以有W的基α?,α?,…,αγ線性表示.有：

σ(α?)=a??α?+a??α?+…+aγ?αγ，……………

σ(αγ)=a?γα?+a?γα?+…+aγγαγ，

σ(αγ+?)=a?,γ+?α?+…+aγ,γ+?αγ+aγ+1，γ+1αγ+1+…+an,γ+?

αn

σ(αn)=a?nα?+…+aγnαγ+aγ+1,nαγ+1+…+annαn.第十頁，共十六頁，2022年，8月28日因此,σ關(guān)于這個基的矩陣有形A=()，這里有A1=()A1A3OA2a11...a1γ..........aγ1…aγγ第十一頁，共十六頁，2022年，8月28日是σ|w關(guān)于W的基α?,α?,…,αγ的矩陣,而A中左下方的O表示一個（n-r）*r零矩陣。即：若線性變換σ有一個非平凡不變子空間,那么只要適當取定V的基,就可以使與σ對應(yīng)的矩陣中有一些元素是零.特別,如果V可以寫成兩個非平凡子空間W1與W2的直和:V=W1⊕W2,那么選取W1的一個基α?,α?,…,αγ,和W2的一個基αγ+?,…,αn，湊成V的一個基α?,α?,…,αn.當W1和W2都在σ之下不變時，容易看出,σ關(guān)于這樣取定的基的矩陣是A=(),這里A1是r階矩陣，它是σ|w1關(guān)于基α?,α?,…,αγ的矩陣，而A2是一個n-r階矩陣，它是σ|w2關(guān)于基αγ+?,…,αn的矩陣。A1OOA2第十二頁，共十六頁，2022年，8月28日例6：令σ是例4所給出的V3的線性變換，顯然V3是一位子空間L與二維子空間H的直和，而L和H都在σ之下不變。取L的一個非零向量α?，取H的兩個彼此正交的單位長度向量α?,α3,那么α?,α?,α3是V3的一個基，而σ關(guān)于這個基的矩陣是

()

1

0

00cos?-sin?0Sin?

cos?第十三頁，共十六頁，2022年，8月28日一般地，如果向量空間V可以寫成s個子空間W1，W2,...,WS的直和，并且每一個子空間都在線性變換σ之下不變，那么在每一個空間中取一個基，湊成V的一個基,σ關(guān)于這個急的矩陣就有形狀(),這里Ai是σ|wi關(guān)于所取的wi的基的矩陣。A10A1?0AS第十四頁，共十六頁，2022年，8月28日因此，給了n維向量空間V的一個線性變換，只要能夠?qū)分解成一些在σ之下不變的子空間的直和，那么就可以適當