平面向量的線性運(yùn)算及練習(xí)試題

.平面向量的線性運(yùn)算學(xué)習(xí)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)一：向量的加法（1）定義已知非零向量a,b，在平面任取一點(diǎn)A，作AB＝a，BC＝b，則向量AC叫做a與b的和，記作ab，即ab＝AB＋BC＝AC．求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做叫向量的加法．這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法規(guī)．說(shuō)明：①運(yùn)用向量加法的三角形法規(guī)時(shí)，要特別注意“首尾相接”，即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量終點(diǎn)的向量即為和向量.②兩個(gè)向量的和依舊是一個(gè)向量，其大小、方向能夠由三角形法規(guī)確定．③位移的合成能夠看作向量加法三角形法規(guī)的物理模型．（2）向量加法的平行四邊形法規(guī)以點(diǎn)O為起點(diǎn)作向量OAa，OBb，以O(shè)A,OB為鄰邊作OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線所在向量OC就是a,b的和，記作ab=OC。說(shuō)明：①三角形法規(guī)合適于首尾相接的兩向量求和，而平行四邊形法規(guī)合適于同起點(diǎn)的兩向量求和，但兩共線向量求和時(shí)，則三角形法規(guī)較為合適.②力的合成能夠看作向量加法平行四邊形法規(guī)的物理模型．③對(duì)于零向量與任向來(lái)量a，a00aa（3）特別地址關(guān)系的兩向量的和①當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a+b的方向不相同向，且|a+b|<|a|+|b|；②當(dāng)a與b同向時(shí)，則a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，③當(dāng)a與b反向時(shí)，若|a|>|b|，則a+b的方向與a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，則a+b的方向與b相同，且|a+b|=|b|-|a|.（4）向量加法的運(yùn)算律①向量加法的交換律：a+b=b+a②向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)知識(shí)點(diǎn)二：向量的減法..（1）相反向量：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量.記作a。（2）①向量a和-a互為相反向量，即–(-a).②零向量的相反向量仍是零向量．③任向來(lái)量與其相反向量的和是零向量，即a＋(-a)＝(-a)＋a＝0．④若是向量a,b互為相反向量，那么a＝-b，b＝-a，a＋b＝0．（3）向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：ab=a+(b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.（4）向量減法的幾何作法在平面任取一點(diǎn)O，作OAa,OBb，則BAab．即ab能夠表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量，這就是向量減法的幾何意義．說(shuō)明：①AB表示ab.重申：差向量“箭頭”指向被減數(shù)②用“相反向量”定義法作差向量，ab=a+(b)，顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可一致.知識(shí)點(diǎn)三：向量數(shù)乘的定義（1）定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定以下：⑴|λa|＝|λ||a|⑵當(dāng)0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，λa的方向與a的方向相反．當(dāng)0時(shí)，λa＝02）向量數(shù)乘的運(yùn)算律依照實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們能夠考據(jù)下面的運(yùn)算律：設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么⑴λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；⑶λ(a＋b)＝λa＋λb．知識(shí)點(diǎn)四：向量共線的條件向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使b＝a．學(xué)習(xí)結(jié)論..1）兩個(gè)向量的和依舊是向量，它的大小和方向能夠由三角形法規(guī)和平行四邊形法規(guī)確定，這兩種法規(guī)實(shí)質(zhì)上是一致的．共線向量加法的幾何意義，為共線向量首尾相連接，第一個(gè)向量的起點(diǎn)與第二個(gè)向量的終點(diǎn)連接所獲取的有向線段所表示的向量．（2）ab能夠表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量3）實(shí)數(shù)與向量不能夠相加減，但實(shí)數(shù)與向量能夠相乘．向量數(shù)乘的幾何意義就是幾個(gè)相等向量相加．（4）向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使b＝a。練習(xí)例1．已知任意兩個(gè)非零向量a,b，作OAab,OBa2b,OCa3b，試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的地址關(guān)系．解：∵AB＝OB－OA＝a+2b－(a+b)＝b，且AC＝OC－OA＝a+3b－(a+b)＝2b，AC＝2AB．所以，A、B、C三點(diǎn)共線．例2.如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線訂交于點(diǎn)M，且AB＝a，AD＝b，試用a，b表示向量MA,MB,MC,MD．解析：AMMC=1(ab)，所以MA1(ab),DMMB2AB1(ab)所以MD1(ba)MA222例3.一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的流速為向東2km/h．⑴試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)質(zhì)航行的速度（保留兩個(gè)有效數(shù)字）；⑵求船實(shí)質(zhì)航行速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到度).剖析：速度是一個(gè)既有大小又有方向的量，所以能夠用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.剖析：⑴如圖，設(shè)AD表示船向垂直于對(duì)岸行駛的速度，AB表示水流的速度，以AD、AB作鄰邊作平行四邊形ABCD，則AC就是船實(shí)質(zhì)航行的速度.⑵在Rt△ABC中，|AB|＝2，|BC|＝5，222252295.4∴|AC|＝ABBC∵tan∠CAB＝5，∴CAB682..答：船實(shí)質(zhì)航行速度的大小約為5.4km/h，方向與水的流速間的夾角為約為68°.1.(2006理)如圖，在平行四邊形ABCD中，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）（A）AB＝DC；（B）AD＋AB＝AC；DC（C）AB－AD＝BD；（D）AD＋CB＝0．AB2．（2007文）若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是（）A．EFOFOEB.EFOFOEC.EFOFOED.EFOFOE3．（2003）已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則AP（）A．C．

(ABAD),(0,1)(ABAD),(0,1)

B．D．

(ABBC),(0,2)2(ABBC),(0,2)24.(2008理)已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2ACCB0,則OC（）2OA1OBD．1OA2OBA．2OAOBB．OA2OBC．33335．（2003；天津文、理）O是平面上必然點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOA(ABAC),0,,則P的軌跡必然經(jīng)過(guò)ABC的()ABAC（A）外心（B）心（C）重心（D）垂心6．（2005全國(guó)卷Ⅱ理、文）已知點(diǎn)A(3,1)，B(0,0)，C(3,0)．設(shè)BAC的均分線AE與BC訂交于E，那么有BCCE，其中等于()（A）２（B）1（C）－３（D）－1237．設(shè)a,b是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量ka2b與8akb的方向相反，則k=__________.8.（2007理）．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不相同的兩點(diǎn)M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，則m＋n的值為．9．（2005全國(guó)卷Ⅰ理）ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，OHm(OAOBOC)，則實(shí)數(shù)m=10.（2007文、理）如圖，平面有三個(gè)向量OA、OB、OC，其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且OA＝OB＝1，OC＝22.若OC＝OAOB(,R),則的值為.例1.B．例2．Ａ．例3．B.（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1.C；2．B.3．A．4.A．5．B6．C；7．_—4__；8.2．9．1；..10.26.（四）拓展與研究：11、D．；12.(,0)13，(,).22平面向量的線性運(yùn)算（復(fù)習(xí)課）復(fù)習(xí)目標(biāo)：?1、掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.?2、掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義.3、認(rèn)識(shí)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.重點(diǎn):向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義.難點(diǎn):應(yīng)用向量線性運(yùn)算的定義、性質(zhì)靈便解決相應(yīng)的問(wèn)題.一、教學(xué)設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)自主建構(gòu)復(fù)習(xí)1:向量的加法復(fù)習(xí)2:向量的減法已知向量a和向量b,作向量a+b.已知向量a和向量b,作向量a-b.復(fù)習(xí)3：向量的數(shù)乘復(fù)習(xí)4：平面向量共線定理已知向量a,作向量3a和-3a.二、合作共享交流提升1、填空：(1)ADCA--------------

(2)ABCBDC-----(3)ABACBDCD(4)在平行四邊形ABCD中，若ABADABAD則BAD___、判斷題：..1）相反向量就是方向相反的向量2）ABBA03）ABOAOB（4）在△ABC中，必有ABBCCA0（5）若ABBCCA0，則A、B、C三點(diǎn)必是一個(gè)三角形的三個(gè)極點(diǎn)。3、若OA3OB2OC,則A,B,C三點(diǎn)可否共線三、案例剖析總結(jié)規(guī)律例1:依照條件判斷以下四邊形的形狀(1)ADBC(2)AD1BC(3)ADBC,且ABAD3(4)OAOCOBOD;(O是四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)）(5)ACABAD(6)四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD訂交于點(diǎn)O，并且AOOC,DOOB例2、如圖，在OAB中,延長(zhǎng)BA到C,使AC=BA,在OB上取點(diǎn)D,使BD=OB.DC與OA交于E,設(shè)OAa，OBb，請(qǐng)用a，b表示向量OC，DC