上海市XX中學(xué)-九年級(jí)(上)月考數(shù)學(xué)試卷12月份

九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）題號(hào)一二三總分得分一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線之比是1：4，那么它們的周長(zhǎng)之比是（）A.1：2 B.1：4 C.1：8 D.1：16在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中不能判定DE∥BC的是（）A.ADDB=AEEC B.ADAB=AEAC C.DBEC=ABAC D.ADDB=DEBC在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=1，AB=2，那么下列結(jié)論正確的是（）A.sinA=32 B.tanA=12 C.cosB=32 D.cotB=33下列命題正確的是（）A.三點(diǎn)確定一個(gè)圓

B.直角三角形外接圓的圓心在斜邊上

C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等

D.長(zhǎng)度相等的弧是等弧已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.ac>0

B.當(dāng)x>?1時(shí)，y<0

C.b=2a

D.當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大而增大

如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，如果AE：EC=1：4，那么S△ADE：S△EBC=（）A.1：24

B.1：20

C.1：18

D.1：16

二、填空題（本大題共12小題，共36.0分）如果a5=b3，那么a?ba+b的值等于______．已知線段MN的長(zhǎng)為2厘米，點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，那么較長(zhǎng)的線段MP的長(zhǎng)是______厘米．如圖，直線AD∥BE∥CF，BC=23AB，DE=6，那么EF的值是______．

拋物線y=2（x-1）2-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______．如果將拋物線y=x2+2x-1向上平移，使它經(jīng)過原點(diǎn)，那么所得拋物線的表達(dá)式是______．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x=2，若此拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（6，0），則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是______．

已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物體送到離地面10米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為______米．如圖，正方形DEFG內(nèi)接于Rt△ABC，∠C=90°，AC=2，BC=4，則正方形DEFG的邊長(zhǎng)為______．

如圖，已知DE∥BC，且DE經(jīng)過△ABC的重心G，若BC=a，那么DE=______．

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，tan∠ACD=34，AB=5，那么CD的長(zhǎng)是______．

在△ABC中，AB=AC=5，cosB=35（如圖）．如果圓O的半徑為10，且經(jīng)過點(diǎn)B，C，那么線段AO的長(zhǎng)等于______．

如圖，等邊△ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，且BD：DC=1：3，把△ABC折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)D處，那么AMAN的值為______．

三、解答題（本大題共7小題，共56.0分）計(jì)算：|1-sin30°|+12cot30°?tan60°+21?2cos45°．

已知二次函數(shù)y=-2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，4）和B（1，-2）．

（1）求此函數(shù)的解析式；并運(yùn)用配方法，將此拋物線解析式化為y=a（x+m）2+k的形式；

（2）寫出該拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△CAO的面積．

已知：如圖，⊙O的半徑為5，P為O外一點(diǎn)，PB、PD與⊙O分別交于點(diǎn)A、B和點(diǎn)C、D，且PO平分∠BPD．

（1）求證：CB=AD；

（2）當(dāng)PA=1，∠BPO=45°時(shí)，求PO的長(zhǎng)．

如圖，從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P的仰角是26.6°，向前走30米到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是45°和33.7°，求該電線桿PQ的高度（結(jié)果精確到1米）

（備用數(shù)據(jù)：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50，cot26.6°=2.00；sin33.7°=0.55，cos33.7°=0.83，tan33.7°=0.67，cot33.7°=1.50）

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，點(diǎn)E是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），作EF⊥AB交邊BC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AF、EC交于點(diǎn)G．

（1）求證：△BEC∽△BFA；

（2）若BE：EA=1：2，求∠ECF的余弦值．

如圖，拋物線y=14x2+14x+c與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，連結(jié)AB，點(diǎn)C（6，152）在拋物線上，直線AC與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求c的值及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P在x軸正半軸上，點(diǎn)Q在y軸正半軸上，連結(jié)PQ與直線AC交于點(diǎn)M，連結(jié)MO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N，若M為PQ的中點(diǎn)．

①求證：△APM∽△AON；

②設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求AN的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）．

如圖，△ABC中，BA=BC=10，BF⊥AC，垂足為F，tan∠ABF=12，點(diǎn)D為射線BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），聯(lián)結(jié)AD交射線BF于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE．

（1）求∠ABC的余弦值；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，設(shè)BD=x，△DEC面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）若△DEC為直角三角形，求線段BD長(zhǎng)度（直接寫出答案）

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線之比是1：4，

∴它們的相似比為1：4，

∴它們的周長(zhǎng)之比是1：4．

故選：B．

由兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線之比是1：4，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比，可求得其相似比，又由相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，求得答案．

此題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比．2.【答案】D

【解析】解：∵=，∴DE∥BC，選項(xiàng)A不符合題意；

∵=，∴DE∥BC，選項(xiàng)B不符合題意；

∵=，∴DE∥BC，選項(xiàng)C不符合題意；

=，DE∥BC不一定成立，選項(xiàng)D符合題意．

故選：D．

根據(jù)平行線分線段成比例定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

本題考查平行線分線段成比例定理，如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊3.【答案】D

【解析】解：如圖所示：

∵∠ACB=90°，BC=1，AB=2，

∴AC=，

∴sinA=，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

tanA==，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

cosB=，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

cotB=，正確．

故選：D．

直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出即可．

此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確記憶相關(guān)比例關(guān)系是解題關(guān)鍵．4.【答案】B

【解析】解：A不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故錯(cuò)誤；

B、直角三角形外接圓的圓心在斜邊上，正確；

C、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤；

D、長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧，故錯(cuò)誤，

故選：B．

利用等弧的定義、確定圓的條件、圓周角定理及直角三角形外接圓的知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．

本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠了解等弧的定義、確定圓的條件、圓周角定理及直角三角形外接圓的知識(shí)，難度不大．5.【答案】D

【解析】解：（A）由圖象可知a＞0，c＜0，

∴ac＜0，故A錯(cuò)誤；

（B）x＞-1時(shí)，y不一定小于0，故B錯(cuò)誤；

（C）由對(duì)稱軸可知：，

∴b=-2a，故（C）錯(cuò)誤；

（D）當(dāng)x＞1時(shí)，

由圖象可知：y隨著x的增大而增大，故D正確；

故選：D．

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．

本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于中等題型．6.【答案】B

【解析】解：∵=，

∴=，

∴S△ABE=S△EBC，

∵DE∥BC，

∴==，

∴=，

∴S△BDE=4S△ADE，

又∵S△BDE=S△ABE-S△ADE，

∴4S△ADE=S△EBC-S△ADE，

∴=，

故選：B．

由已知條件可求得，又由平行線分線段成比例可求得，結(jié)合S△BDE=S△ABE-S△ADE可求得答案．

本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)及三角形的面積，掌握同高三角形的面積比即為底的比是解題的關(guān)鍵．7.【答案】14

【解析】解：由=，得a=．

當(dāng)a=時(shí)，===，

故答案為：．

根據(jù)比例的性質(zhì)，可用b表示a，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．

本題考查了比例的性質(zhì)，利用了比例的性質(zhì)，分式的性質(zhì)．8.【答案】（5-1）

【解析】解：∵點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，

∴較長(zhǎng)的線段MP的長(zhǎng)=MN=×2=（-1）cm．

故答案為（-1）．

直接根據(jù)黃金分割的定義求解．

本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．9.【答案】4

【解析】解：∵AD∥BE∥CF，，

∴=，

即，

解得：EF=4

故答案為：4．

根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，即可得出結(jié)果．

本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．10.【答案】（1，-1）

【解析】解：∵y=2（x-1）2+1，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），

故答案為：（1，-1）．

由拋物線解析式可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)．

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y=a（x-h）2+k中，對(duì)稱軸為直線x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．11.【答案】y=x2+2x

【解析】解：y=x2+2x-1向上平移，使它經(jīng)過原點(diǎn)y=x2+2x，

故答案為：y=x2+2x．

根據(jù)圖象向上平移加，可得答案．

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．12.【答案】（-2，0）

【解析】解：（6，0）關(guān)于x=2的對(duì)稱點(diǎn)是（-2，0）．

故答案是（-2，0）．

求出點(diǎn)（6，0）關(guān)于x=2的對(duì)稱點(diǎn)即可．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，理解二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱是關(guān)鍵．13.【答案】26

【解析】解：如圖，由題意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，

∵i==，

∴BE=24米，

∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．

故答案為：26．

首先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．

此題考查了坡度坡角問題．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意理解坡度的定義．14.【答案】457

【解析】解：過C作CM⊥AB于M交DG于N，

∵∠C=90°，AC=2，BC=4，

∴AB=2，

∴CM===，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴DG∥AB，

∴△CDG∽△CAB，

∴=，

∴=，

∴DG=，

故答案為：．

過C作CM⊥AB于M交DG于N，根據(jù)勾股定理得到AB=2，根據(jù)三角形的面積公式得到CM===，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.【答案】23a

【解析】解：如圖，連接AG，延長(zhǎng)AG交BC于H．

∵G是△ABC的重心，

∴AG=2GH，

∴AG：AH=2：3，

∵DE∥BC，

∴===，

∴DE=BC，

∴=，

∴DE=，

故答案為．

如圖，連接AG，延長(zhǎng)AG交BC于H．利用重心的性質(zhì)，由DE∥BC，可得===，由此即可解決問題．

本題考查三角形的重心，平面向量，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．16.【答案】125

【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°，

∴∠B=∠ACD，

∵tan∠ACD=，

∴tan∠B==，

設(shè)AC=3x，BC=4x，

∵AC2+BC2=AB2，

∴（3x）2+（4x）2=52，

解得：x=1，

∴AC=3，BC=4，

∵S△ABC=，

∴CD==，

故答案為：．

根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD=，得到tan∠B==，設(shè)AC=3x，BC=4x，根據(jù)勾股定理得到AC=3，BC=4，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．．

本題考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面積公式，熟記三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．17.【答案】3或5

【解析】解：分兩種情況考慮：

（i）如圖1所示，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AO垂直平分BC，

∴OA⊥BC，D為BC的中點(diǎn)，

在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=，

∴BD=3，

根據(jù)勾股定理得：AD==4，

在Rt△BDO中，OB=，BD=3，

根據(jù)勾股定理得：OD==1，

則AO=AD+OD=4+1=5；

（ii）如圖2所示，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AO垂直平分BC，

∴OD⊥BC，D為BC的中點(diǎn)，

在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=，

∴BD=3，

根據(jù)勾股定理得：AD==4，

在Rt△BDO中，OB=，BD=3，

根據(jù)勾股定理得：OD==1，

則OA=AD-OD=4-1=3，

綜上，OA的長(zhǎng)為3或5．

故答案為：3或5

分兩種情況考慮：（i）如圖1所示，由AB=AC，OB=OC，利用線段垂直平分線逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，在直角三角形OBD中，由OB與BD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，由AD+DO即可求出AO的長(zhǎng)；（ii）同理由AD-OD即可求出AO的長(zhǎng)，綜上，得到所有滿足題意的AO的長(zhǎng)．

此題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．18.【答案】57

【解析】解：∵BD：DC=1：3，

∴設(shè)BD=a，則CD=3a，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=4a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

由折疊的性質(zhì)可知：MN是線段AD的垂直平分線，

∴AM=DM，AN=DN，

∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，

∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，

∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，

∴∠NDC=∠BMD，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴△BMD∽△CDN，

∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）=AM：AN，

即AM：AN=5：7，

故答案為．

由BD：DC=1：3，可設(shè)BD=a，則CD=3a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得：BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，再通過證明△BMD∽△CDN即可證明AM：AN的值．

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．19.【答案】解：|1-sin30°|+12cot30°?tan60°+21?2cos45°．

=|1-12|+12×3×3+21?2×22，

=12+32+21?2，

=-22．

【解析】

利用特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的混合運(yùn)算的順序求解即可．

本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算及特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的混合運(yùn)算的順序．20.【答案】解：（1）將A（0，4）和B（1，-2）代入y=-2x2+bx+c，

得c=4?2+b+c=?2，

解得b=?4c=4，

所以此函數(shù)的解析式為y=-2x2-4x+4；

y=-2x2-4x+4=-2（x2+2x+1）+2+4=-2（x+1）2+6；

（2）∵y=-2（x+1）2+6，

∴C（-1，6），

∴△CAO的面積=12×4×1=2．

【解析】

（1）將A（0，4）和B（1，-2）代入y=-2x2+bx+c求得b，c的值，得到此函數(shù)的解析式；再利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，然后加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

（2）由頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△CAO的面積．

本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)解析式的三種形式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積，難度適中．正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解：（1）如圖，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA，OC．

∵OP平分∠BPD，OM⊥PB．ON⊥PD，

∵OM=ON，

∵∠OMA=∠ONC=90°，OA=OC，OM=ON，

∴Rt△ONA≌Rt△ONC（HL），

∵AM=CN，

∵OM⊥AB，ON⊥CD，

∴AM=MB，CN=DN，

∴AB=CD．

（2）在Rt△OPM中，∵∠OMP=90°，∠OPB=45°，

∴∠MPO=∠OPOM=45°，

∴OM=PM，設(shè)OM=PM=x，

在Rt△OAM中，∵OA2=AM2+OM2，

∴52=（x-1）2+x2，

∴x=4或-3（舍棄），

∴OM=PM=4，OP=42．

【解析】

（1）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA，OC．由Rt△ONA≌Rt△ONC（HL），推出AM=CN，再利用垂徑定理即可證明．

（2）設(shè)OM=PM=x，在Rt△OAM中，根據(jù)OA2=AM2+OM2，構(gòu)建方程即可解決問題．

本題考查圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．22.【答案】解：延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)PE=x米．

在直角△ABE中，∠PBE=45°，

則BE=PE=x米；

∵∠PAE=26.6°

在直角△APE中，AE=PE?cot∠PAE≈2x，

∵AB=AE-BE=30米，

則2x-x=30，

解得：x=30．

則BE=PE=30米．

在直角△BEQ中，QE=BE?tan∠QBE=30×tan33.7°=30×0.67≈20.1米．

∴PQ=PE-QE=30-20=10（米）．

答：電線桿PQ的高度是10米．

【解析】

延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用x表示出AE和BE，根據(jù)AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函數(shù)求得QE的長(zhǎng)，則PQ的長(zhǎng)度即可求解．

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，注意掌握當(dāng)兩個(gè)直角三角形有公共邊時(shí)，先求出這條公共邊的長(zhǎng)是解答此類題的一般思路．23.【答案】解：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，

∵EF⊥AB，

∴∠BEF=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BEF∽△ABC，

∴BEBC=BFAB，

∴△△BEC∽△BFA；

（2）∵BE=EF，BE：EA=1：2，

∴EFAE=12，

∴tan∠EAF=12，

設(shè)EF=k，AE=2k，

∴AF=5，

∵△BEC∽△BFA，

∴∠BAF=∠BCE，

∴cos∠ECF=cos∠EAF=AEAF=255．

【解析】

（1）根據(jù)已知條件得到△BEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形判定定理即可得到結(jié)論；

（2）由已知條件的，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠EAF=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BAF=∠BCE，即可得到結(jié)論．

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24.【答案】解：

（1）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得152=9+32+c，解得c=-3，

∴拋物線解析式為y=14x2+14x-3，

令y=0可得14x2+14x-3=0，解得x=-4或x=3，

∴A（-4，0），

設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），

把A、C坐標(biāo)代入可得0=?4k+b152=6k+b，解得k=34b=3，

∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=34x+3；

（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=OBOA=34，在RtAOD中，tan∠OAD=ODOA=34，

∴∠OAB=∠OAD，

∵在Rt△POQ中，M為PQ的中點(diǎn)，

∴OM=MP，

∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，

∴∠APM=∠AON，

∴△APM∽△AON；

②如圖，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，則OE=EP，

∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，

∴AE=m+4，AP=2m+4，

∵tan∠OAD=34，

∴cos∠EAM=cos∠OAD=45，

∴AEAM=45，

∴AM=54AE=5(m+4)4，

∵△APM∽△AON，

∴AMAN=APAO，即5(m+4)4AN=2m+44，

∴AN=5m+202m+4．

【解析】

（1）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得c的值，令y=0可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，則可證得△APM∽△AON；

②過M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，用m可表示出AE和AP，進(jìn)一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．

本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及方程思想等知識(shí)．在（1）中注意函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，以及待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）①中確定出兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵，在（2）②中用m表示出AP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，注意利用相似三角形的性質(zhì)．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．25.【答案】解：（1）作AN⊥BC于N，如圖1所示：

∵tan∠ABF=AFBF=12，

∴BF=2AF，設(shè)AF=x，則BF=2x，

∵BF⊥AC，BA=BC=10，

∴AF=CF，

由勾股定理得：x2+（2x）2=102，

解得：x=25，

∴AF=25，BF=45，AC=45，

∵△ABC的面積=12BC×AN=12AC×BF，

∴10AN=45×45，

∴AN=8，

在Rt△ABN中，由勾股定理得：BN=AB2?AN2=102?82=6，

∴∠ABC的余弦值為cos∠ABC=BNAB=610=35；

（2）延長(zhǎng)BF至G，使GF=BF=45，連接AG、CG，過點(diǎn)A作AN⊥BC于N，過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，如圖2所示：

則EM∥AN，

∴EMAN=DEDA，

∴EMAN?EM=DEDA?DE，即EMAN?EM=DEAE①，

∵AF=CF，BF=GF，

∴四邊形ABCG是平行四邊形，

∵BF⊥AC，

∴四邊形ABCG是菱形，

∴AG=BC=10，AG∥BC，

∴BDAG=DEAE②，

由①②得：EMAN?EM=BDAG，

即EM8?EM=x10，

解得：EM=8x10+x，

∴△DEC面積為y=12CD×EM=12（10-x）×8x10+x=40x?40x210+x，

即△DEC面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=40x?40x210+x（0＜x＜10）；

（3）分兩種情況：①點(diǎn)D在線段BC上，

當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，

由（1）得：