2020年中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編：-四邊形(含答案解析)

2020年中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編之十一四邊形選擇題1．（2020廣州）如圖5，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，，，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則的值為（*）． （B） （C） （D）【答案】C2．（2020陜西）如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BFC＝90°．連接AF并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)G．若EF∥AB，則DG的長(zhǎng)為（）A． B． C．3 D．2【解答】解：∵E是邊BC的中點(diǎn)，且∠BFC＝90°，∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，∵EF∥AB，AB∥CG，E是邊BC的中點(diǎn)，∴F是AG的中點(diǎn)，∴EF是梯形ABCG的中位線，∴CG＝2EF﹣AB＝3，又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝2，故選：D．3.（2020樂(lè)山）如圖，在菱形中，，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．則四邊形的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴AO⊥BD，AD=AB=4，AB∥DC∵∠BAD=120o，∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30o，∵OE⊥DC，∴在RtΔAOD中，AD=4，AO==2，DO=，在RtΔDEO中，OE=，DE=，∴四邊形的周長(zhǎng)為AO+OE+DE+AD=2++3+4=9+，故選：B.4.（2020貴陽(yáng)）菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是6和8，則此菱形的周長(zhǎng)是（）A.5 B.20 C.24 D.32【答案】B【詳解】解：如圖所示，根據(jù)題意得AO＝，BO＝，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，

∴△AOB是直角三角形，

∴AB＝，

∴此菱形的周長(zhǎng)為：5×4＝20．

故選：B．5.（2020湖北黃岡）若菱形的周長(zhǎng)為16，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為（）A. B. C. D.解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH＝2，∵菱形的周長(zhǎng)為16，∴AB＝4，在Rt△ABH中，sinB＝＝，∴∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠C＝150°，∴∠C：∠B＝5：1．故選：B．6.（2020山東青島）如圖，將矩形折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)重合，折痕為，與交于點(diǎn)若，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C解：由對(duì)折可得：矩形，BC=8由對(duì)折得：故選C．7．（2020上海）（4分）下列命題中，真命題是（）A．對(duì)角線互相垂直的梯形是等腰梯形 B．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形 C．對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角的梯形是直角梯形【解答】解：A、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，故錯(cuò)誤；B、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯(cuò)誤；C、正確；D、對(duì)角線平分一組對(duì)角的梯形是菱形，故錯(cuò)誤；故選：C．8．（2020四川南充）（4分）如圖，面積為S的菱形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，則四邊形EFOG的面積為（）A．14S B．18S C．112S D解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S=12AC×∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，∴四邊形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，∵點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，∴EF、EG都是△OBC的中位線，∴EF=12OC=14AC，EG=∴矩形EFOG的面積＝EF×EG=14AC×14故選：B．9.(2020甘肅定西）若一個(gè)正方形的面積是12，則它的邊長(zhǎng)是（）A.B.3C.D.4 答案：A10.(2020甘肅定西）如圖所示的木制活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，根據(jù)實(shí)際需要可以調(diào)節(jié)間的距離.若間的距離調(diào)節(jié)到，菱形的邊長(zhǎng)，則的度數(shù)是（）A.90° B.100° C.120° D.150°答案：C11．（2020遼寧撫順）（3分）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝8．BD＝6，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接OE，若OE＝CE，則OE的長(zhǎng)是（）A．2 B． C．3 D．4解：∵菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴OB＝BD＝×6＝3，OA＝OC＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，由勾股定理得，BC＝＝5，∴AD＝5，∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位線，∴OE＝AD＝2.5，故選：B．12．（2020內(nèi)蒙古呼和浩特）（3分）如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF，GH折疊（點(diǎn)E、H在AD邊上，點(diǎn)F，G在BC邊上），使點(diǎn)B和點(diǎn)C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'、D點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，則矩形ABCD的長(zhǎng)為（）A．6+10 B．6+5 C．3+10 D．3+5解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，設(shè)AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面積為8，△D′PH的面積為2，又∵∠A′PF＝∠D′PG＝90°，∴∠A′PD′＝90°，則∠A′PE+∠D′PH＝90°，∴∠A′PE＝∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2＝8：2，∴A′P：D′H＝2：1，∵A′P＝x，∴D′H＝x，∵S△D′PH＝D′P?D′H＝A′P?D′H，即，∴x＝（負(fù)根舍棄），∴AB＝CD＝，D′H＝DH＝，D′P＝A′P＝CD＝，A′E＝2D′P＝，∴PE＝，PH＝，∴AD＝＝，即矩形ABCD的長(zhǎng)為，故選：D．13．（2020寧夏）（3分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13，對(duì)角線AC＝24，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，則EG＝（）A．13 B．10 C．12 D．5解：連接BD，交AC于點(diǎn)O，如圖：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn)，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的對(duì)角線，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∵DE∥BG，BD∥EG，∴四邊形BDEG是平行四邊形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故選：B．14．（2020黑龍江龍東）（3分）如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為A．4 B．8 C． D．6【解答】解：四邊形是菱形，，，，，，，，菱形的面積，，；故選：．15．（2020黑龍江龍東）（3分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），，點(diǎn)在射線上，且，與相交于點(diǎn)，連接、、．則下列結(jié)論：①；②的周長(zhǎng)為；③；④的面積的最大值是；⑤當(dāng)時(shí)，是線段的中點(diǎn)．其中正確的結(jié)論是A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤解：如圖1中，在上截取，連接．，，，，，，，，，，，，，，，，，，故①正確，如圖2中，延長(zhǎng)到，使得，則，，，，，，，，，，，故③錯(cuò)誤，的周長(zhǎng)，故②錯(cuò)誤，設(shè)，則，，，，時(shí)，的面積的最大值為．故④正確，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，在中，則有，解得，，故⑤正確，故選：．16．（2020黑龍江牡丹江）（3分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，，垂足為．若，則線段的長(zhǎng)為A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：四邊形為矩形，，，，，，，，，，，．故選：．17．（2020江蘇連云港）（3分）如圖，將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的處．若，則等于A． B． C． D．【解答】解：四邊形是矩形，，由折疊的性質(zhì)得：，，，；故選：．18．（2020四川遂寧）（4分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE、DE，分別交BD、AC于點(diǎn)P、Q，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于F，下列結(jié)論：①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP，③AE=102④若四邊形OPEQ的面積為4，則該正方形ABCD的面積為36，⑤CE?EF＝EQ?DE．其中正確的結(jié)論有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【解答】解：如圖，連接OE．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∴∠BOC＝90°，∵BE＝EC，∴∠EOB＝∠EOC＝45°，∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正確，連接AF．∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠PAF＝∠PFA＝45°，∴PA＝PF，故②正確，設(shè)BE＝EC＝a，則AE=5a，OA＝OC＝OB＝OD=2∴AEAO=5a2a=根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，△OPE≌△OQE，∴S△OEQ=12S四邊形OPEQ＝∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE⊥CD，∴EQDQ=OECD=∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，∴S正方形ABCD＝48，故④錯(cuò)誤，∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，∴△EPF∽△ECD，∴EFED∴EQ＝PE，∴CE?EF＝EQ?DE，故⑤正確，故選：B．19．（2020廣西玉林）（3分）（2020?玉林）已知：點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，如圖所示．求證：DE∥BC，且DE=12證明：延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接FC，DC，AF，又AE＝EC，則四邊形ADCF是平行四邊形，接著以下是排序錯(cuò)誤的證明過(guò)程：①∴DF∥=BC②∴CF∥=AD．即CF∥=③∴四邊形DBCF是平行四邊形；④∴DE∥BC，且DE=12則正確的證明順序應(yīng)是：（）A．②→③→①→④ B．②→①→③→④ C．①→③→④→② D．①→③→②→④【解答】證明：延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接FC，DC，AF，∵點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，∴AD＝BD，AE＝EC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴CF∥=AD．即CF∥=BD∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴DF∥=BC∴DE∥BC，且DE=12∴正確的證明順序是②→③→①→④，故選：A．20．（2020貴州遵義）（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則線段DE的長(zhǎng)為（）A．125 B．185 C．4 D【解答】解：如圖．∵四邊形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，OA=12AC＝3，BD＝2∵AB＝5，∴OB=AB2-OA2=4∵S菱形ABCD＝AB?DE=12AC?∴DE=1故選：D．21．（3分）（2020?荊門(mén)）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點(diǎn)，若EF＝5，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．20 B．30 C．40 D．50【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴EF=12AB＝5，∴AB＝∵四邊形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)＝4AB＝40；故選：C．22．（3分）（2020?煙臺(tái)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．若AB＝3，BC＝5，則tan∠DAE的值為（）A．12 B．920 C．25 【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF=AF2∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x=4∴DE＝EF＝3﹣x=5∴tan∠DAE=DE故選：D．23.（2020東莞）如圖，是矩形的對(duì)角線，且，那么的度數(shù)是（）A.30° B.45° C.60° D.75°答案：C24．（2020四川自貢）（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2，AB=6，∠B是銳角，AE⊥BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，連結(jié)DF、EF．若∠EFD＝90°，則AEA．2 B．5 C．322 D解：如圖，延長(zhǎng)EF交DA的延長(zhǎng)線于Q，連接DE，設(shè)BE＝x．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QFA≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍棄），∴BE＝1，∴AE=A故選：B．25．（2020山東濱州）（3分）下列命題是假命題的是A．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 B．對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 C．對(duì)角線相等的菱形是正方形 D．對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是正方形選：．26．（2020山東濱州）（3分）如圖，對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平后再次折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，得到折痕，與相交于點(diǎn)．若直線交直線于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．【解答】解：，由中位線定理得，由折疊的性質(zhì)可得，，，，，，，過(guò)點(diǎn)作于，，，由勾股定理得，，，解得，．故選：．27．（2020四川眉山）（4分）下列說(shuō)法正確的是（）A．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形 C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形選：B．28．（2020四川眉山）（4分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連接AF，以AF為對(duì)角線作正方形AEFG，邊FG與正方形ABCD的對(duì)角線AC相交于點(diǎn)H，連接DG．以下四個(gè)結(jié)論：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③2AE2＝AH?AC；④DG⊥AC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵四邊形ABCD，四邊形AEFG都是正方形，∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，∴∠EAG﹣∠BAC＝∠BAD﹣∠BAG，∴∠EAB＝∠DAG，故①正確；∵AF＝AG，AC＝AD，∴＝，∵∠FAG＝∠CAD＝45°，∴∠FAC＝∠DAG，∴△FAC∽△DAG，故②正確，∴∠ADG＝∠ACB＝45°，延長(zhǎng)DG交AC于N，∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，∴∠AND＝90°，∴DG⊥AC，故④正確，∵∠FAC＝∠FAH，∠AFG＝∠ACF＝45°，∴△AFH∽△ACF，∴，∴AF2＝AH?AC，∴2AE2＝AH?AC，故③正確，故選：D．29．（2020云南）（4分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)．則△DEO與△BCD的面積的比等于（）A． B． C． D．解：∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)．又∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴線段OE為△DBC的中位線，∴OE∥BC，OE＝BC，∴△DOE∽△DBC，∴＝（）2＝．選：B．30．（3分）（2020?懷化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，若△AOB的面積為2，則矩形ABCD的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．10選：C．31．（2020山東泰安）（4分）如圖，四邊形ABCD是一張平行四邊形紙片，其高AG＝2cm，底邊BC＝6cm，∠B＝45°，沿虛線EF將紙片剪成兩個(gè)全等的梯形，若∠BEF＝30°，則AF的長(zhǎng)為（）A．lcm B．63cm C．（23-3）cm D．（2-【解答】解：過(guò)F作FH⊥BC于H，∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH=3∵沿虛線EF將紙片剪成兩個(gè)全等的梯形，∴AF＝CE，∵AG⊥BC，F(xiàn)H⊥BC，∴AG∥FH，∵AG＝FH，∴四邊形AGHF是矩形，∴AF＝GH，∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+23=6∴AF＝2-3（cm故選：D．32．（2020山東泰安）（4分）如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)N，連接FN，EM．則下列結(jié)論：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④當(dāng)AO＝AD時(shí)，四邊形DEBF是菱形．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAN＝∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA＝∠BMC＝90°，在△DNA和△BMC中，∠DAN∴△DNA≌△BMC（AAS），∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正確；在△ADE和△CBF中，∠ADE∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝FC，DE＝BF，故③正確；∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，∵DE∥BF，∴四邊形NEMF是平行四邊形，∴EM∥FN，故②正確；∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠ADO＝∠DAN＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN＝ODN＝30°，∴∠ODN＝∠ABD，∴DE＝BE，∴四邊形DEBF是菱形；故④正確；正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4個(gè)，故選：D．33．（2020海南）（3分）如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE于點(diǎn)G，若BG＝8，則△CEF的周長(zhǎng)為（）A．16 B．17 C．24 D．25【分析】先計(jì)算出△ABE的周長(zhǎng)，然后根據(jù)相似比的知識(shí)進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵在?ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，可得：AG＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周長(zhǎng)等于10+10+12＝32，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴△CEF∽△BEA，相似比為5：10＝1：2，∴△CEF的周長(zhǎng)為16．故選：A．填空題34．（2020安徽）（5分）在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使得點(diǎn)落在上的點(diǎn)處．折痕為；再將，分別沿，折疊，此時(shí)點(diǎn)，落在上的同一點(diǎn)處．請(qǐng)完成下列探究：（1）的大小為30；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，的值為．【解答】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：30；（2）由折疊的性質(zhì)可得：，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，，，，故答案為：．35.（2020福建）設(shè)是反比例函數(shù)圖象上的任意四點(diǎn)，現(xiàn)有以下結(jié)論：①四邊形可以是平行四邊形；②四邊形可以是菱形；③四邊形不可能是矩形；④四邊形不可能是正方形．其中正確的是_______．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①④【詳解】解：如圖，反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，四邊形是平行四邊形，故①正確，如圖，若四邊形是菱形，則顯然：＜所以四邊形不可能是菱形，故②錯(cuò)誤，如圖，反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)垂直于對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，四邊形是矩形，故③錯(cuò)誤，四邊形不可能是菱形，四邊形不可能是正方形，故④正確，故答案：①④．36．（2020陜西）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝2．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)F，則線段EF的長(zhǎng)為2．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)E作AG⊥BC，EH⊥BC于點(diǎn)G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面積，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根據(jù)勾股定理，得EF＝＝＝2．故答案為：2．37．（2020哈爾濱）（3分）如圖，在菱形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，連接，若，，，則線段的長(zhǎng)為．【解答】解：設(shè)，則，四邊形為菱形，，，，，，，，，，解得，即，，在中，，在中，．故答案為．38．(2020杭州)（4分）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在AB邊上，把△BCE沿直線CE對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF．若點(diǎn)E，F(xiàn)，D在同一條直線上，AE＝2，則DF＝2，BE＝5-1解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，∵把△BCE沿直線CE對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴CF＝AD，∠CFD＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，∴∠ADF＝∠DCF，∴△ADE≌△FCD（ASA），∴DF＝AE＝2；∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AEEF=DE∴EF=5-1（負(fù)值舍去），∴BE＝EF=故答案為：2，5-139．(2020天津)如圖，的頂點(diǎn)在等邊的邊上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，為的中點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．答案:40．（2020貴州黔西南）（3分）如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平，再一次折疊，使點(diǎn)D落到EF上點(diǎn)G處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，已知BC＝2，則線段EG的長(zhǎng)度為3．解：如圖所示：由題意可得：∠1＝∠2，AN＝MN，∠MGA＝90°，則NG=12AM，故AN＝∴∠2＝∠4，∵EF∥AB，∴∠4＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4=13×90∵四邊形ABCD是矩形，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，∴AE=12AD=12∴AG＝2，∴EG=2故答案為：3．41.（2020無(wú)錫）如圖，在菱形中，，點(diǎn)在上，若，則__________．解：四邊形ABCD是菱形，，∴AB∥CD，∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=∠BCD=65°，∵，∴∠ACE=∠AEC=65°，∴∠BAE=180°-∠AEC=115°．42.（2020山東青島）如圖，在正方形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，，則點(diǎn)到的距離為_(kāi)_________．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∴O為AC中點(diǎn)∵F點(diǎn)是AE中點(diǎn)，∴OF是△ACE的中位線，∴CE=2OF=6∴G點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，∴FG是△ADE的中位線，∴GF==1∴CD=CE-DE=4,∴AD=CD=4在Rt△ADE中，AD=4,DE=2∴AE=∴DF=AE=∴S△AFD=AD·GF=FD·AH即×4×1=××AH∴AH=∴點(diǎn)A到DF的距離為，故答案為：．43.（2020湖北武漢）如圖，折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，為折痕，，．設(shè)的長(zhǎng)為，用含有的式子表示四邊形的面積是________．解：設(shè)DE=EM=x，∴，∴x=，設(shè)CF=y，連接FM，∴BF=2?y，又∵FN=y，NM=1，∴，∴y=，∴四邊形的面積為：=?1，故答案為：.44.（2020湖北武漢）在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過(guò)程中，有下面的問(wèn)題：如圖，是平行四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)在上，，，則的大小是________．解：設(shè)∠BAC=x∵平行四邊形的對(duì)角線∴DC//AB,AD=BC,AD//BC∴∠DCA=∠BAC=x∵AE=BE∴∠EBA=∠BAC=x∴∠BEC=2x∵∴BE=BC∴∠BCE=∠BEC=2x∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x∵AD//BC，∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°．故答案為26°．45.（2020重慶A卷）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，分別以點(diǎn)A，C為圓心，以AO的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與正方形的邊相交．則圖中的陰影部分的面積為_(kāi)_________．（結(jié)果保留）解：由圖可知，，，∵四邊形ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為2，∴，∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OA=，∴,∴，故答案為：．46．（2020上海）（4分）如圖，AC、BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，設(shè)BC→=a→，CA→=b→，那么向量BD→用向量【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∴AD→∵CD→∴BA→∵BD→∴BD→=b故答案為：2a→47．（2020遼寧撫順）（3分）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，使AE＝DA，連接EB，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，連接EF1，BF1，得到△EF1B；點(diǎn)F2是CF1的中點(diǎn)，連接EF2，BF2，得到△EF2B；點(diǎn)F3是CF2的中點(diǎn)，連接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形ABCD的面積等于2，則△EFnB的面積為．（用含正整數(shù)n的式子表示）解：∵AE＝DA，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，矩形ABCD的面積等于2，∴△EF1D和△EAB的面積都等于1，∵點(diǎn)F2是CF1的中點(diǎn)，∴△EF1F2的面積等于，同理可得△EFn﹣1Fn的面積為，∵△BCFn的面積為2×÷2＝，∴△EFnB的面積為2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．故答案為：．48．（2020黑龍江牡丹江）（3分）如圖，在四邊形中，連接，．請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使．（填一種情況即可）【解答】解：添加的條件：，理由是：，，，四邊形是平行四邊形，．故答案為：．49．（2020黑龍江龍東）（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為．【解答】解：如圖，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，．四邊形是正方形，，，，，，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，，，，，，共線，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，的最小值為．50．（2020黑龍江龍東）（3分）在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且，連接，將沿折疊．若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形的邊上，則折痕的長(zhǎng)為或．解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖1所示：四邊形是矩形，，將沿折疊．點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形的邊上，，是等腰直角三角形，，；②當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖2所示：四邊形是矩形，，，將沿折疊．點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形的邊上，，，，，，在和△中，，，△，，即，解得：，或（舍去），，；綜上所述，折痕的長(zhǎng)為或；故答案為：或．51．(2020山東棗莊)（4分）如圖，，是正方形的對(duì)角線上的兩點(diǎn)，，，則四邊形的周長(zhǎng)是．【解答】解：如圖，連接交于點(diǎn)，四邊形為正方形，，，，，即，四邊形為平行四邊形，且，四邊形為菱形，，，，由勾股定理得：，四邊形的周長(zhǎng)，故答案為：．52．(2020山東棗莊)（4分）各頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn)）上的多邊形稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形，它的面積可用公式是多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)，是多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)）計(jì)算，這個(gè)公式稱(chēng)為“皮克定理”．如圖給出了一個(gè)格點(diǎn)五邊形，則該五邊形的面積6．【解答】解：表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)，表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)，表示多邊形的面積，，，該五邊形的面積，故答案為：6．53．（2020廣西南寧）（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠C＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝DF，DE與BF交于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為π．【分析】如圖，作△CBD的外接圓⊙O，連接OB，OD．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠DPB＝120°，推出B，C，D，P四點(diǎn)共圓，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，作△CBD的外接圓⊙O，連接OB，OD．∵四邊形ABCD是菱形，∵∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABD，△BCD都是等邊三角形，∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，∵DF＝AE，∴△BDF≌△DAE（SAS），∴∠DBF＝∠ADE，∵∠ADE+∠BDE＝60°，∴∠DBF+∠BDP＝60°，∴∠BPD＝120°，∵∠C＝60°，∴∠C+∠DPB＝180°，∴B，C，D，P四點(diǎn)共圓，由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2，∵∠BOD＝2∠C＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)＝＝π．故答案為π．54．（3分）（2020?玉林）如圖，將兩張對(duì)邊平行且等寬的紙條交叉疊放在一起，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是菱形（填“是”或“不是”）．【解答】解：如圖，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥DC于點(diǎn)F，∵兩張等寬的長(zhǎng)方形紙條交叉疊放在一起，∴AE＝AF，∴S平行四邊形ABCD＝BC?AE＝DC?AF，∴BC＝DC，∴?ABCD是菱形．故答案為：是．55．（3分）（2020?常德）如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，將△DAE，△DCF分別沿DE，DF向內(nèi)折疊得到圖2，此時(shí)DA與DC重合（A、C都落在G點(diǎn)），若GF＝4，EG＝6，則DG的長(zhǎng)為12．解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣4，EF＝6+4＝10，如圖1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案為：12．56．（2020貴州遵義）（4分）如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD使AD與BC重合，得到折痕MN，再把紙片展平．E是AD上一點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在MN上．若CD＝5，則BE的長(zhǎng)是1033【解答】解：∵將矩形紙片ABCD對(duì)折一次，使邊AD與BC重合，得到折痕MN，∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．∵將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在MN上．∴A′B＝AB＝2BM．在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，∴sin∠MA′B=BM∴∠MA′B＝30°，∵M(jìn)N∥BC，∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABA′＝60°，∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，∴BE=AB故答案為：10357．（2020青海）（2分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，則AC的長(zhǎng)為6cm．解：在矩形ABCD中，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BOC＝120°，∴∠OCB＝30°，∵DC＝3，∴AB＝CD＝3，在Rt△ACB中，AC＝2AB＝6，故答案為：658．（2020山東濱州）（5分）如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到點(diǎn)、、的距離分別為、、4，則正方形的面積為．【解答】解：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過(guò)點(diǎn)作于．，，，，，，，，，，，，共線，，，，，，正方形的面積為．59．（2020云南）（3分）已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊上的點(diǎn)，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，則DE的長(zhǎng)是或．解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴BC＝＝＝2，∴AD＝2，當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，∴（6﹣DE）2＝DE2+4，∴DE＝；當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，∵CE2＝BE2+BC2＝EA2，∴AE2＝（6﹣AE）2+4，∴AE＝，∴DE＝＝＝，綜上所述：DE＝或，解答題60.（2020北京）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長(zhǎng).【解析】（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，∴OE為△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形∵EF⊥AB，∴平行四邊形OEFG為矩形.（2）∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AD=10，∴AE=∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，.∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5∵四邊形OEFG為矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=261．（2020安徽）（14分）如圖1，已知四邊形是矩形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，．與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，連接，求證：．【解答】（1）證明：四邊形是矩形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，又，，，，，即，故，（2）解：四邊形是矩形，，，，，，即，設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），．（3）如圖，在線段上取點(diǎn)，使得，在與中，，，，，，，，為等腰直角三角形，．62．（2020成都）（4分）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．若點(diǎn)的速度是點(diǎn)的速度的2倍，在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最大值為，線段長(zhǎng)度的最小值為．【解答】解：連接交于，連接，取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作于．四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最大，此時(shí)，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為，．63．（2020成都）（10分）在矩形的邊上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，延長(zhǎng)，與的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．【解答】解：（1）將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，，，，，，四邊形是矩形，，，；（2）將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，，，又矩形中，，，，，，，，，，，，，，，．（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，設(shè)，平分，，，，設(shè)，則，，，解得．．．64．（2020廣州）（本小題滿(mǎn)分12分）如圖10，△ABD中，∠ABD=∠ADB．（1）作點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖中，連接BC，DC，連接AC，交BD于點(diǎn)O．①求證：四邊形ABCD是菱形；②取BC的中點(diǎn)E，連接OE，若，，求點(diǎn)E到AD的距離．【詳解過(guò)程】解：(1)作圖如下：∴點(diǎn)C為所求的點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。（2）①證明：∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)∴BC=BA,DC=DA∵△ABD中，∠ABD=∠ADB∴AB=AD∴AB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形。②過(guò)B作BF⊥AD于點(diǎn)F。根據(jù)平行線上的距離處處相等可知BF的長(zhǎng)度就是點(diǎn)E到AD的距離?！咚倪呅蜛BCD是菱形∴AC⊥BD于點(diǎn)O,即∠BOC＝90°?！咴赗T△BOC中，E為BC中點(diǎn)，,∴BC=2OE=13.∴AB=BC=CD=DA=13.∵BD=10.∴BO=DO=5∴在RT△BCO中，CO=12.∴AC＝2CO=24.∴==120.∵∴13×BD=120,即BD=.所以點(diǎn)E到AD的距離。65.（2020福建）如圖，點(diǎn)分別在菱形的邊，上，且．求證：．解：證明：∵四邊形是菱形，∴，．在和中，∴，∴．66.（2020福建）如圖，由繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，且點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上，，相交于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且．①判斷和的數(shù)量關(guān)系，并證明；②求證：．解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，∴，在中，，∴，∴．（2）①．證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，在中，，∵，，∴，即，∴．②過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∴，，∵，，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴，又∵，∴．67.（2020陜西）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是邊BC上一點(diǎn)，且DE＝DC．求證：AD＝BE．證明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形．∴AD＝BE．68．（2020陜西）問(wèn)題提出（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分別為E，F(xiàn)，則圖1中與線段CE相等的線段是CF、DE、DF．問(wèn)題探究（2）如圖2，AB是半圓O的直徑，AB＝8．P是上一點(diǎn)，且＝2，連接AP，BP．∠APB的平分線交AB于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C分別作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分別為E，F(xiàn)，求線段CF的長(zhǎng)．問(wèn)題解決（3）如圖3，是某公園內(nèi)“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖．已知⊙O的直徑AB＝70m，點(diǎn)C在⊙O上，且CA＝CB．P為AB上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D．連接AD，BD．過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分別為E，F(xiàn)．按設(shè)計(jì)要求，四邊形PEDF內(nèi)部為室內(nèi)活動(dòng)區(qū)，陰影部分是戶(hù)外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū)．設(shè)AP的長(zhǎng)為x（m），陰影部分的面積為y（m2）．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②按照“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長(zhǎng)度為30m時(shí)，整體布局比較合理．試求當(dāng)AP＝30m時(shí)．室內(nèi)活動(dòng)區(qū)（四邊形PEDF）的面積．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四邊形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四邊形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案為：CF、DE、DF；（2）連接OP，如圖2所示：∵AB是半圓O的直徑，＝2，∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四邊形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB?cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，在Rt△CFB中，BF＝＝＝＝CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：4＝CF+CF，解得：CF＝6﹣2；（3）①∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四邊形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴將△APE繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如圖3所示：則A′、F、B三點(diǎn)共線，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′?PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225；②當(dāng)AP＝30時(shí)，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50，∵S△A′PB＝A′B?PF＝PB?A′P，∴×50×PF＝×40×30，解得：PF＝24，∴S四邊形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴當(dāng)AP＝30m時(shí)．室內(nèi)活動(dòng)區(qū)（四邊形PEDF）的面積為576m2．69．（2020哈爾濱）（10分）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸的正半軸交于點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與過(guò)點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，．（1）如圖1，求直線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)在線段上，連接，點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，若，求的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交線段于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接，若，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）軸，，時(shí)，，解得，，軸，，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線的解析式為．（2）如圖2中，，四邊形是矩形，，，，，直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，把，代入中，得到，，，把代入，中，得到，，，，．（3）如圖3中，設(shè)直線交的延長(zhǎng)線于，交軸于，過(guò)點(diǎn)作于．軸，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，解得，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，由（2）可知，，，，，，，，，，，，，，．70．(2020杭州)（10分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點(diǎn)G，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．設(shè)CEEB=λ（λ＞（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長(zhǎng)．（2）連接EG，若EG⊥AF，①求證：點(diǎn)G為CD邊的中點(diǎn)．②求λ的值．解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC＝1，∴AE=A∴EF=5∴CF＝EF﹣EC=5-（2）①證明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，在△ADG和△FCG中∠D∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，即點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)；②設(shè)CD＝2a，則CG＝a，由①知，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴ECGC∵GC＝a，F(xiàn)C＝2a，∴GCFC∴ECGC∴EC=12a，BE＝BC﹣EC＝2a-12∴λ=CE71.（2020河南）將正方形的邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．連接，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，連接，如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為，連接，可求出的值為；

當(dāng)且時(shí)，①中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．

【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①結(jié)論不變，理由見(jiàn)解析；②3或1．【詳解】（1）由題知°，°，∴°，且為等邊三角形∴°，∴∵∴°∴°∴等腰直角三角形連接BD，如圖所示∵°∴即∵∴∴故答案為：等腰直角三角形，（2）①兩個(gè)結(jié)論仍然成立連接BD，如圖所示：

∵，∴∵∴∴∵∴∴是等腰直角三角形∴∵四邊形正方形∴∴∵∴∴∴∴結(jié)論不變，依然成立②若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況討論第一種：以CD為邊時(shí)，則，此時(shí)點(diǎn)在線段BA的延長(zhǎng)線上，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，∴，得；②當(dāng)以CD為對(duì)角線時(shí)，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，∵∴∵∴∴∴∴∴綜上：的值為3或1．72.（2020樂(lè)山）.如圖，是矩形的邊上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，，，．求的長(zhǎng)度．

【答案】．解∵四邊形是矩形，∴，∵∴∵，，∴在和中，∴∴，即解得即的長(zhǎng)度為．73..（2020樂(lè)山）點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)角線所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），分別過(guò)點(diǎn)、向直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)、．點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段和的關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形并通過(guò)證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖3，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，試探究線段、、之間的關(guān)系．解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）補(bǔ)全圖形如圖所示，仍然成立，證明如下：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段、、之間的關(guān)系為，證明如下：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示，由（2）可知，∴，，又∵，，∴，∴．74..（2020四川綿陽(yáng)）（本題滿(mǎn)分14分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，為△BCD的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為M、P、Q,DN=4,BN=6.求BC、CD.點(diǎn)H從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AD向點(diǎn)D以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)停止，過(guò)點(diǎn)H作HI∥BD交AC于點(diǎn)I，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒。①將△AHI沿AC翻折得,是否存在時(shí)刻，使得點(diǎn)恰好落在BC上？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；備用圖②若點(diǎn)F為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△OFH為正三角形時(shí)，求的值。備用圖備用圖備用圖【解析】解：（1）設(shè)的半徑為r.則：由切線長(zhǎng)定理得DC=r+4.BC=r+6.BD=10.在RT△BCD中，由勾股定理得：,即：。解得：，（舍去）。25題（225題（2）解答圖（2）存在時(shí)刻，使得點(diǎn)恰好落在BC上. 理由如下：由題意知，AH==3,∠HAI==∠ACB∴==3在RT△AB中，B==＝。所以，C=8-∴3=8-,解得：＝。當(dāng)＝時(shí)，點(diǎn)恰好落在BC上。25題（2）②題解答圖②如圖當(dāng)△OFH為正三角形時(shí)，過(guò)O作25題（2）②題解答圖∴OE=3,AE=DE=4,AH=3,DH=8-3.EH=3-4.延長(zhǎng)OF交AB于點(diǎn)K，連接KH.∵O是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，∴△AOK≌△COF∴KO=FO=HO∵△FOH是等邊三角形∴∠HOF=∠OHF=OFH=60°?！唷螲KF=∠KHO=30°∴∠KHF=90°在△KHF中，設(shè)OH=OF=HF=，則KH=，KF=2在矩形ABCD中，∠KHF＝90°，則可證得：△AHK∽△DFH∴,即：，∴AK=∴在RT△AKH中，由勾股定理得：,∴：，即：在RT△OMH中，由勾股定理得：,∴,.∴=,解得：，?！邉?dòng)點(diǎn)H的速度是3個(gè)單位長(zhǎng)度每秒，而AD=8，且動(dòng)點(diǎn)從A運(yùn)動(dòng)到D就停止?！嗖缓项}意，舍去。故。所以當(dāng)△OFH為正三角形時(shí)，的值是（）秒。75.（2020貴陽(yáng)）如圖，四邊形是矩形，是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）連接，若，，，求四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）40【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，∴，．∵，∴，即．∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）如圖，連接，∵四邊形是矩形∴中，，，∴由勾股定理得，，即．∵，∴．∵，∴．∴即，解得．由（1）得四邊形是平行四邊形，又∵，高，∴．76.（2020長(zhǎng)沙）在矩形ABCD中，E為上的一點(diǎn)，把沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．（1）求證：（2）若，求EC的長(zhǎng)；（3）若，記，求的值．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE是△ADE翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠