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I三」|==|立體幾何(向量法)一建系難例1(2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)(理)試題(含答案))如圖,四棱錐P-ABCD兀中,PA1底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,ZACB=ZACD=-,F為PC的中點(diǎn),AF1PB.(1)求PA的長(zhǎng); (2)求二面角B—AF—D的正弦值.題(項(xiàng)圖【答案】題(項(xiàng)圖【答案】解:(1)如圖,聯(lián)結(jié)BD交AC于0,因?yàn)锽C=CD,即ABCD為等腰三角形,又AC平分/BCD,故ACXBD,以0為坐標(biāo)原點(diǎn),0B,0C,AP的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立兀一— 一 ??臻g直角坐標(biāo)系0-xyz,則OC=CDcos^=1,而AC=4,得A0=AC—0C=3.又0D=CDsinj=腰,故A(0,—3,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(—;3,0,0).因PAL底面ABCD,可設(shè)P(0,—3,z),由F為PC邊中點(diǎn),得F(0,—1,|),又AF=(0,2,2),PB=(V3,3,—z),因AF±PB,故AF-pB=0,即6—^|=0,z=2甫(舍去一2\'3),所以IPAI=2\'3.(2)由(1)知AD=(一??拓,3,0),AB=(\3,3,0),AF=(0,2,<§).設(shè)平面FAD的法向量為]=(X],y1,z1),平面FAB的法向量為2=(x2,y2,z2).由].AD=0,].AF=0,得tnc='=0,因此可取1=(f,—2).由2-AB=0,2-AF=0,得

CxCx2+3y2=0,+、寸3z2=0,故可取2=(3,一捎,2).從而向量1,2的夾角的余弦值為/ \ n^n2 1cos〈1,2〉=虬|血21=8.3故二面角B—AF—D的正弦值為無」.8例2(2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)(理)WORD版含答案(已校對(duì)))如圖,四棱錐P-ABCD中,ZABC=/BAD=90,BC=2AD,APAB與APAD都是等邊三角形.(I)證明:PB(I)證明:PB1CD;(II)求二面角A-PD-C的大小.【答案】解:(1)取BC的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)DE,則四邊形ABED為正方形.過P作PO±平面ABCD,垂足為O.聯(lián)結(jié)OA,OB,OD,OE.由ARAB和AE4D都是等邊三角形知PA=PB=PD,所以O(shè)A=OB=OD,即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn),故OELBD,從而PBOOE.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),所以O(shè)E〃CD.因此PBLCD.(2)解法一:由(1)知CD上PB,CDLPO,PBCPO=P,故CDL平面PBD.又PD平面PBD,所以CDXPD.取PD的中點(diǎn)F,PC的中點(diǎn)G,連FG.貝FG〃CD,FG±PD.聯(lián)結(jié)AF,由AAPD為等邊三角形可得AFLPD.所以匕AFG為二面角A-PD-C的平面角.聯(lián)結(jié)AG,EG,貝EG〃PB.又PB±AE,所以EG±AE.設(shè)AB=2,則AE=2知EG=1PB=1,故AG=AE2+EG2=3,在AAFG中,F(xiàn)G=2CD=V2,AF=[3,AG=3.

尸G2+"2—" 6所以cos/AFG— 2?fg,af ——3?6因此二面角A—PD—C的大小為7—arccos3?解法二:由(1)知,OE,OB,OP兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OE的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O一胡二設(shè)ABl=2,貝A(—V2,0,0),D(0,一??..20),C(2我,一也,0),P(0,0,?.&),PC=(2必,一g,—V2),PD=(0,—'2,—''2),AP=G,''2,0,楊,Ad=G,''2,一j'2,0).設(shè)平面PCD的法向量為1=(x,j,z),貝9].PC=(x,y,z)?(2必,一M,一也)=0,「PD=(x,y,z)?(0,—*2,—-\/2)=0,可得2x—y—z=0,y+z=0.取y=—1,得x=0,z=1,故1=(0,—1,1).設(shè)平面PAD的法向量為2=(m,p,q),貝2-AP=(m,p,q)<&,0,'2)=0,2-AD=(m,p,q)<&,—董,0)=0,1,—1).可得m+q=0,m—1,—1).取m=1,得p=1,q=—1,故2=(1,于是cos〈,2〉n—arccos由于〈,J等于二面角A—PD—C的平面角,所以二面角A—PD—Cn—arccos例3(2012高考真題重慶理19)(本小題滿分12分如圖,在直三棱柱ABCABC^中,AB=4,AC=BC=3,D為AB的中點(diǎn)題(15)圖(I)求點(diǎn)C到平面A1A88]的距離;(II)若AB1A1C求二面角的平面角的余弦值.【答案】解:(1)由AC=BC,D為AB的中點(diǎn),得CDXAB.XCD±AA1,故CDL面A1ABB1,所以點(diǎn)C到平面A]ABB]的距離為CD=,■BC2—BD2=槌.玖玖(2)解法一:如圖,取D1為A1B1的中點(diǎn),連結(jié)DD1,則DD1#AA1#CC1.又由(1)知CDL面A1ABB1,故CD±A1D,CD±DD1,所以ZA1DD1為所求的二面角A]—CD—C1的平面角.因A1D為A1C在面A1ABB1上的射影,又已知AB1±A1C,由三垂線定理的逆定理得AB1±A1D,從而ZA1AB1.ZA1DA都與ZB^AB互余,因此ZA^AB1=AAA.B.ZADA,所以RtAA^AD^RtAB^A^A.因此,1=1七即AA2=AD-A1B1=8,得1 1 11 ADAA1 1 11AA1=2汞從而A1D=lAAi+AD2=2J3.所以,在R1AA1DD1中,,DDAA1v'6cosZAiDDi=A1D=A1D=3-解法二:如圖,過D作DD1^AA1交A1B1于點(diǎn)D1,在直三棱柱中,易知DB,DC,DD1兩兩垂直.以D為原點(diǎn),射線DB,DC,DD1分別為尤軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.設(shè)直三棱柱的高為龍,則A(—2,0,0),A1(—2,0,h),B1(2,0,h),C(0,胰,0),C1(0,書,h),從而疝]=(4,0,h),京=(2,鵬,一h).由疝]上京,有8—h2=0,h=2寸2.故DA1=(—2,0,2V2),CC]=(0,0,2<2),dC=(0,3,0).設(shè)平面A1CD的法向量為m=(x1,y1,z1),則m±D5C,m±DA1,即杪y1=0,[—2x1+2\j2z1=0,取z1=1,得m=(履,0,1),設(shè)平面C1CD的法向量為n=(x2,y2,z2),則n±DC,n±CC1,即]的2=0,【2、...,%=0,取x2=1,得n=(1,0,0),所以m?n/ 、 m?n m?ncos〈m,〃〉=頑=相+1「3.所以二面角A1—CD—C1的平面角的余弦值為日6.例4(2012高考真題江西理20)(本題滿分12分)如圖1—5,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA=\3,BC=4,點(diǎn)A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O.證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E,使得0封上平面BB1C1C,并求出AE的長(zhǎng);求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值.B圖1—5【答案】解:(1)證明:連接A0,在△AQA1中,作OE±AA1于點(diǎn)E,因?yàn)锳A1#BB1,所以O(shè)E±BB1.因?yàn)锳1O±平面ABC,所以A1O±BC.因?yàn)锳B=AC,OB=OC,所以AO±BC,所以8。上平面AA1O.所以BCXOE,所以。封上平面BB1C1C,又AO=.“B2—BO2=1,呵=展,得ae=AO2=查得AEAA1 5.(2)如圖,分別以O(shè)A,OB,OA1所在直線為尤,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,—2,0),A1(0,0,2),由AE=:AA]得點(diǎn)e的坐標(biāo)是食0,ij,由(1)得平面BB1C1C的法向量是OE=[4,0,5)設(shè)平面A1B1C的法向量=(x,y,z),一x+2y=0,y+z=0,令y=1,得x=2,z=—1,即=(2,1,—1),所以cos〈OE,〉=OErn=嘩.\OE\-\n\ 10即平面RRcC與平面ABC的夾角的余弦值是笠011 1夕1 10?例5(2012高考真題安徽理18)(本小題滿分12分)平面圖形ABB1A1C1C如圖1—4(1)所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=\/2,A1B1=A1C1=\/5. ⑴ ⑵圖1—4現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊,使^ABC與△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直,再分別連接A',A1B,A1C,得到如圖1—4(2)所示的空間圖形.對(duì)此空間圖形解答下列問題.證明:AA1±BC;求AA1的長(zhǎng);求二面角A—BC—A1的余弦值.【答案】C尹解:(向量法):(1)證明:取BC, '%*B1C1的中點(diǎn)分別為D和D1,連接A1D1,DD1,AD.由BB1C1C為矩形知,DD1±B1C1,因?yàn)槠矫鍮B1C1C±平面A1B1C1,所以DD1±平面A1B1C1,又由A1B1=A1C1知,A1D1±B1C1.故以D1為坐標(biāo)原點(diǎn),可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D1—xyz.由題設(shè),可得A1D1=2,AD=1.rhi、j匚7=tTa八Iaiar&T只只廠廠ai習(xí)入而只只廠廠二P旦a//a八由以上可知AD^平面BB1C1C,,^1^1-L平面少少]。]。,于是AD〃^iU^.所以A(0,—1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(—1,0,4),D(0,0,4).故孩1=(0,3,—4),BC=(—2,0,0),AA1-BC=0,因此AA1±BC,即AA1±BC.因?yàn)锳A]=(0,3,—4),所以lAA1|=5,即AA1=5.連接A1D,由BC±AD,BC±AA1,可知BC±平面A0D,BC±A1D,所以/ADA]為二面角A—BC—A1的平面角.因?yàn)镈A=(0,—1,0),DA1=(0,2,—4),所以cos(DA,DA1〉=-1^2^—4T-孳即二面角A—BC—A1的余弦值為一號(hào)5.(綜合法)(1)證明:取BC,B1C1的中點(diǎn)分別為D和D1,連接A1D1,DD1,AD,A1D.由條件可知,BC±AD,B1C1±A1D1,由上可得AD上面BB1C1C,A1D1±面BBgC.因此AD〃A1D1,即AD,A1D1確定平面AD^A1D.又因?yàn)镈D1〃BB1,BB1±BC,所以DD^BC.又考慮到AD±BC,所以BC±平面AD^A1D,故BC±

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