新人教版2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)下幾何問(wèn)題翻折問(wèn)題

翻折問(wèn)題1.在VABC中，AB＝AC，BAC＜60，D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為ACD內(nèi)部一點(diǎn)，且ABE＋ECD＝90．（1）若ABE＝60，如圖1，直接寫(xiě)出AC、BE間的數(shù)量關(guān)系：___________；2）若ABE＝45，如圖2，求證：BE＝2AC；3）在（2）的條件下，如圖3，將線段BA沿BE翻折，翻折后的點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，且MCBC，連接EM，交BC的延長(zhǎng)線于N，若CN＝2，求AN的長(zhǎng)．剖析：（1）AC＝BE提示：作AFBC于F，BGCE交EC延長(zhǎng)線于GAB＝AC，BF＝FC＝1BC21ABE＋ECD＝90，ABE＝60ECD＝30，BCG＝301∴CBG＝60，BG＝BC2∴ABF＝EBG，BF＝BG∴RtVABF≌RtVEBG，∴AB＝BE∴AC＝BE（2）作AFBC于F，BGCE交EC延長(zhǎng)線于GAB＝AC，BF＝FC＝1BC2ABE＋ECD＝90，ABE＝45ECD＝45，BCG＝452CBG＝45，BG＝2BC＝2BF2ABF＝EBG，RtVABF∽R(shí)tVEBGBEBG2，∴ABBDBE＝2ABBE＝2AC（3）作AFBC于F，MHBE于H則ABF＋BAF＝90，BF＝FC＝BC12由題意，MBE＝ABE＝45，AB＝BMABM＝90，ABF＋MBC＝90BAF＝MBC∵M(jìn)CBC，∴BCM＝AFB＝903VABF≌VBMC，AF＝BC＝2BF，BF＝MCBC＝2MC由（2）知，BE＝2AB，BE＝2BMMBH＝45，∴BMH＝45，BH＝MH＝2BM＝1BE22BH＝EH＝MH，MEH＝EMH＝45BME＝90，RtVBMC∽R(shí)tVMNCMC＝2CN＝4，F(xiàn)C＝4，F(xiàn)N＝6，AF＝8∴AN＝FN2AF26282102.如圖，在RtVABC中，C90，翻折C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為、F分別在邊AC、BC上）EF（點(diǎn)E1）若VCEF與VABC相似．①當(dāng)ACBC2時(shí)，求AD的長(zhǎng)；②當(dāng)AC3，BC4時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，VCEF與VABC相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明原由．4剖析：（1）若VCEF與VABC相似．①當(dāng)ACBC2時(shí)，VABC為等腰直角三角形，如答圖1所示．此時(shí)D為AB邊中點(diǎn)，AD2AC2．2②當(dāng)AC3，BC4時(shí)，有兩種情況：（I）若CE：CF3：4，如答圖2所示．：：∵CECFACBC，EF∥BC．由折疊性質(zhì)可知，CDEF，∴CDAB，即此時(shí)CD為AB邊上的高．在RtVABC中，AC3，BC4，5∴AB5，3AC．∴cosAAB53ADACcosA31.8；（II）若CF：CE34所示．：，如答圖3VCEF∽VCAB，CEFB．由折疊性質(zhì)可知，CEFECD90，又∵AB90，∴AECD，ADCD．同理可得：BFCD，CDBD，1AB1∴此時(shí)AD52.5．22綜上所述，當(dāng)AC，3BC4時(shí)，AD的長(zhǎng)為1.8或2.5．2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，VCEF與VABC相似．原由以下：如答圖3所示，連接CD，與EF交于點(diǎn)Q．6CD是RtVABC的中線，∴CDDBAB，DCBB．由折疊性質(zhì)可知，CQFDQF90，∴DCBCFE90，BA90，CFEA，又∵CC，VCEF∽VCBA．ABa，點(diǎn)G，H分別在邊AB，DC上，且HA＝HG．點(diǎn)3.在矩形ABCD中，ADE為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HE，把VAHE沿直線HE翻折獲取VFHE．1）如圖1，當(dāng)DH＝DA時(shí)，①填空：HGA＝___________度；②若EF∥HG，求AHE的度數(shù)，并求此時(shí)a的最小值；（2）如圖3，AEH＝60，EG＝2BG，連接FG，交邊DC于點(diǎn)P，且FGAB，G為垂足，求a的值．7剖析：（1）①45②分兩種情況：第一種情況（如圖1）HAG＝HGA＝45，AHG＝180－45－45＝90由折疊可知：HAE＝F＝45，AHE＝FHE又∵EF∥HG，F(xiàn)HG＝F＝45AHF＝AHG－FHG＝90－45＝45即AHE＋FHE＝45，8AHE＝22.5此時(shí)，當(dāng)B與G重合時(shí)，a的值最小，最小值是2第二種情況（如圖2）EF∥HG，HGA＝FEA＝45即AEH＋FEH＝45由折疊可知：AEH＝FEH，AEH＝FEH＝22.5EF∥HG，GHE＝FEH＝22.5AHE＝90＋22.5＝112.5此時(shí)，當(dāng)B與E重合時(shí)，a的值最小設(shè)DH＝DA＝x，則AH＝GH＝2x在RtVAHG中，AHG＝90，AG＝2AH＝2x∵AEH＝FEH，GHE＝FEH，9AEH＝GHEGH＝GE＝2x，AB＝AE＝2x＋2xAB2x2xa22ADx（2）過(guò)點(diǎn)H作HQ交AB于Q，則AQH＝GQH＝90在矩形ABCD中，D＝DAQ＝90D＝DAQ＝AQH＝90∴四邊形DAQH為矩形，AD＝HQ設(shè)AD＝x，GB＝y(tǒng)，則HQ＝x，EG＝2y由折疊可知：AEH＝FEH＝60FEG＝180－60－60＝6010在RtVEFG中，EG＝EF·cos60，EF＝4y在RtVHQE中，EQ＝HO3xtan603QG＝QE＋EG＝3x2y3∵HA＝HG，HQAB，AQ＝GQ＝3x2y3＝AQ＋QE23x2y∴AE3＝由折疊可知：AE＝EF∴23x2y4y，3y＝3x3∴AB＝2AQ＋GB＝23x2yy73x33∴a＝AB7AD3.34.如圖，VABC為等邊三角形，D為VABC內(nèi)一點(diǎn)，且ADB＝120，把VADB沿BD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接CE．（1）求證：BD＋CE＝AD；11（2）連接CD，若AD＝8，CD＝7，求CE的長(zhǎng)．剖析：（1）將VABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得VACF，連接DF、CF、EF則VADF是等邊三角形，AD＝DF，ADF＝AFD＝60ADB＝120，∴ADB＋ADF＝180∴B、D、F三點(diǎn)在同素來(lái)線上AFC＝ADB＝120，∴DFC＝60由題意，EDF＝ADF＝60，DE＝ADDE＝DF，VDEF是等邊三角形EF＝DE＝AD，DFE＝6012E、C、F三點(diǎn)在同素來(lái)線上BD＋CE＝CF＋CE＝EF＝AD（2）過(guò)C作CGDE于G∵VDEF是等邊三角形，∴DEF＝60＝131x，DG＝8－x設(shè)CEx，則GE＝x，CG＝2221223在RtVCDG中，8xx7222解得x＝3，x＝512CE的長(zhǎng)為3或5已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使極點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．①求證：VOCP∽VPDA；②若VOCP與VPDA的面積比為1:4，求邊AB的長(zhǎng)；（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求OAB的度數(shù)；（3）如圖2，在（1）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連接BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN＝PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作MEBP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在搬動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度可否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明原由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．13剖析：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴C＝D＝90APD＋DAP＝90VAOP是由VABO沿AO折疊，∴APO＝B＝90APD＋CPO＝90DAP＝CPO，∴VOCP∽VPDA②∵VOCP∽VPDA，VOCP與VPDA的面積比為1:4CP21∴SPDAAD4△OCP，△CP1AD2AD＝8，∴CP＝4設(shè)AB＝x，則DP＝x－4在RtVPDA中，AP2＝AD2＋DP214x2＝82＋(x－4)2，∴x＝10即邊AB的長(zhǎng)為10（2）∵折疊后VAOB與VAOP重合，AP＝AB，OAB＝OAPAB＝CD，∴AP＝CDP是CD的中點(diǎn)，DP＝1AP2D＝90，∴PAD＝30又OAB＝OAP，∴OAB＝303）線段EF的長(zhǎng)度不變作MH∥BN交PB于點(diǎn)HAP＝AB，APB＝ABPMHP＝ABP，MHF＝NBFMHP＝APB，15MP＝MHMP＝BN，∴BN＝MHNFB＝MFH，∴VNBF≌VMHFFH＝FBEF＝EH＋FH，EF＝EP＋FB＝1PB2由（1）得：AB＝10，AD＝8，DP＝6PC＝4，PB＝45，EF＝25如圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AEC＝2ABE．連接BF、AC．（1）求證：四邊形ABFC是矩形；（2）在圖1中，若點(diǎn)M是BF上一點(diǎn)，沿AM折疊VABM，使點(diǎn)B恰好落在線段DF上的點(diǎn)B處（如圖2），AB＝13，AC＝12，求MF的長(zhǎng)．16剖析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB∥DFABE＝FCE，BAE＝CFE∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CEVAEB≌VFEC，∴AB＝FC∴四邊形ABFC是平行四邊形AF＝2AE，BC＝2BEAEC＝2ABE，AEC＝ABE＋BAEABE＝BAE，AE＝BE，AF＝BC∴四邊形ABFC是矩形2）∵四邊形ABFC是矩形，AB＝13，AC＝1217CF＝AB＝13，BF＝AC＝12，ACF＝MFB＝90VABM是由VABM折疊獲取的∴AB＝AB＝13，BM＝BM在RtVABC中，BC＝AB2AC21321225BF＝CF－BC＝13－5＝8設(shè)MF＝x，則BM＝BM＝12－x在RtVBMF中，BF2＋MF2＝BM2即82＋x2＝(12－x)2，解得x＝103MF＝10.37.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，B＝90，C＝60，AD＝CD點(diǎn)，E在射線BC上，將VABE沿AE翻折，點(diǎn)B落到點(diǎn)F處，射線EF與射線CD交于點(diǎn)M．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上時(shí)，求證：FM－DM＝3AB.3（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段FM、DM、AB的數(shù)量關(guān)系是：_______________；（3）在（2）的條件下，過(guò)A點(diǎn)作AGCM，垂足為點(diǎn)G，設(shè)直線BG與直線AM交于點(diǎn)N，若AD＝6，F(xiàn)M＝1，求GN的長(zhǎng)．18剖析：（1）過(guò)A作AGCD，交CD的延長(zhǎng)線于G，連接AM、ACAD∥BC，ACB＝DACAD＝CD，ACD＝DACACB＝ACD，AB＝AGAB＝AF，∴AF＝AG又AM＝AM，AFM＝G＝90VAMF≌VAMG，19FM＝GMFM－DM＝DGADG＝BCD＝60，∴DG＝3AG3AB33∴FM－DM＝3AB3（2）DMFM3AB3提示：過(guò)A作AGCM于G，連接AM、AC同（1）可證：AB＝AG＝AF，F(xiàn)M＝GM∵DM－GM＝DG，DG＝3AG3AB333∴DMFMAB3（3）連接AC，作MHBC于H，DKBC于K20AD＝6，F(xiàn)M＝，BCD＝60∵1CD＝6，KC＝3，AB＝DK＝33，BC＝9∵DMFM3AB，3∴DM＝333143CM＝10，HC＝5，MH＝53，BH＝4設(shè)BE＝x，則FE＝x，ME＝x1，HE＝x4MH2＋HE2＝ME2，(53)2＋(x－4)2＝(x－1)2解得x＝15，BE＝15，CE＝6BCG＝60，∴ECG＝120ACB＝ACD＝30，BAG＝120VAMF≌VAMG，21MAF＝MAG∴MAE＝GAC－EAC＋MAG＝1BAFEAC2BAE－EAC＝BAC＝60又GAC＝60，GAN＝CAEAB＝AG，BAG＝120，∴ABG＝30AGN＝150＝ACE，VAGN∽VACEAG＝1AC，2GN＝1CE＝328.如圖1，等腰直角三角板的一個(gè)銳角極點(diǎn)與正方形ABCD的極點(diǎn)A重合，將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC、DC于點(diǎn)E、F，連接EF．（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）在圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AMEF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；．．（3）如圖2，將RtVABC沿斜邊AC翻折獲取RtVADC，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，EAF＝1BAD，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AMEF于點(diǎn)M．試猜想AM2與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．22答案：見(jiàn)解析剖析：（1）猜想：BE＋DF＝EF證明：延長(zhǎng)CB到G，使BG＝DF，連接AG∵四邊形ABCD是正方形AB＝AD，ABC＝D＝90ABG＝90，ABG＝DVABG≌VADFAG＝AF，GAB＝FAD∵EAF＝45，F(xiàn)AD＋BAE＝BAD－EAF＝90－45＝45GAE＝GAB＋BAE＝45GAE＝EAF23又∵AG＝AF，AE＝AE，VAEG≌VAEFEG＝EF即BE＋DF＝EF2）AM＝AB3）猜想：AM＝AB證明：延長(zhǎng)CB到G，使BG＝DF，連接AGRtVABC沿斜邊AC翻折獲取RtVADCAB＝AD，ABC＝D＝90ABG＝90，ABG＝DVABG≌VADFAG＝AF，GAB＝FADEAF＝1BAD，2FAD＋BAE＝1BAD2∴GAE＝＋＝FAD＋1＝GABBAEBAEBAD224GAE＝EAF又∵AG＝AF，AE＝AE，VAEG≌VAEF∴EG＝EF，S＝SVAEGVAEF1EG·AB＝1EF·AM22AM＝AB（1）如圖1，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F．求證：BF＝DF；（2）若矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝10，將矩形ABCD沿過(guò)B點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)C，D落在點(diǎn)E，G處，折痕交線段AD（不含端點(diǎn)）于點(diǎn)H，線段BE交直線AD于點(diǎn)F．圖2是該矩形折疊后的一種情況．請(qǐng)研究并解決以下問(wèn)題：①當(dāng)VBEH為直角三角形時(shí)，求DH的長(zhǎng)；②當(dāng)1DH＜10時(shí)，求tanBEH的取值范圍．25剖析：（1）由題意，1＝2AD∥BC，∴1＝32＝3，BF＝DF（2）①∵H不與端點(diǎn)A，D重合BEH＜90，EBH＜90∴當(dāng)VBEH為直角三角形時(shí)，只能BHE＝90連接CHBC＝BE，CBH＝EBH，BH＝BHVBCH≌VBEHBHC＝BHE＝9026VDHC∽VABH，ABDHDCAHDH4，解得DH＝2或DH＝810DH即4∴當(dāng)VBEH為直角三角形時(shí)，DH的長(zhǎng)為2或8②BE∥HG，∴BEH＝EHG∴tanBEH＝tanEHGEG4GHGH＝1DH＜10，∴0.4＜tanBEH410.已知矩形ABCD的一條邊AD8ABCD折疊，使得極點(diǎn)B落在CD邊上，將矩形的P點(diǎn)處．271）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．①圖中COP___VOCPVPDA1：AB②若與的面積比為4，求邊的長(zhǎng)為_(kāi)____；（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求OAB的度數(shù)為_(kāi)____度；（3）如圖2，在（1）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連接BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BNPM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作MEBP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在搬動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度可否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明原由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．剖析：（1）如圖1，①∵四邊形ABCD是矩形，ADBC，DCAB，DABBCD90．由折疊可得：APAB，POBO，PAOBAO．APOB．APO90．APD90CPOPOC．QDC，APDPOC．VOCP∽VPDA．QVOCPVPDA1：②與的面積比為4，28OCOPCP11PDPADA42PD2OC，PA2OP，DA2CP．QAD8，CP4，BC8．設(shè)OPx，則OBx，CO8x．在RtVPCO中，QC90，CP4，OPx，CO8x，x2（8x）242．解得：x5．ABAP2OP10．邊AB的長(zhǎng)為10．2）如圖1，P是CD邊的中點(diǎn)，1DPDC．2QDCAB，ABAP，1DPAP．2QD90，DP1sinDAP．AP2DAP30．29QDAB90，PAOBAO，DAP30，OAB30．OAB的度數(shù)為30．（3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2．，∥AN，QAPABMQAPBABP，ABPMQP．APBMQP．MPMQ．QMPMQ，MEPQ，1PEEQPQ．2QBNPM，MPMQ，BNQM．QMQ∥AN，QMFBNF．30在VMFQ和VNFB中，QMFBNFQFMBFN．QMBNVMFQ≌VNFB．QFBF．1QFQB．2111EFEQQFPQQBPB．222由（1）中的結(jié)論可得：PC4，BC8，C90．PB824245．EF1PB25．2∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在搬動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為25．問(wèn)題解決如圖（1），將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上一點(diǎn)E（不與點(diǎn)C，D重合），壓平后獲取折痕MN．CE1AM2時(shí)，求的值為_(kāi)____．當(dāng)CDBN31方法指導(dǎo)：為了求得類比歸納

AM的值，可先求BN、AM的長(zhǎng)，不如設(shè)：AB=2BNCE1AM3則的值等于______；（注：若答案不是整數(shù)，請(qǐng)化為在圖（1）中，若CDBN1AMCE1AMCE則（n為整數(shù)），則的值等小數(shù)）；若CD4BN的值等于______；若CDnBN于____．（用含n的式子表示）聯(lián)系拓廣如圖（2），將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上一點(diǎn)E（不與點(diǎn)C、D重合），AB1CE1AM(m1),CDn,則的值等于______．（用含壓平后獲取折痕MN設(shè)BCmBNm,n的式子表示）32剖析：方法一：如圖（1-1），連接BM、EM、BE由題設(shè)，得四邊形ABNM和四邊形FENM關(guān)于直線MN對(duì)稱．∴MN垂直均分BE．∴BMEM,BNEN∵四邊形ABCD是正方形，∴ADC90,ABBCCDDA2CE1,CEDE1∵CD2設(shè)BNx,則NEx,NC2x在RtVCNE中，NE2CN2CE2．∴x2(2x)212解得x554，即BN433在RtVABM和在RtVDEM中，AM2AB2BM2，DM2DE2EM2，AM2AB2DM2DE2設(shè)AMy則DM2y∴y222(2y)21211解得y即AM44AM1BN55方法二：同方法一，BN4如圖（1－2），過(guò)點(diǎn)N做NG//CD交AD于點(diǎn)G，連接BEAD∥BC∴四邊形GDCN是平行四邊形．34∴NGCDBC5同理，四邊形ABNG也是平行四邊形．∴AGBN4∵M(jìn)NBE,EBCBNM90QNGBC,MNGBNM90,EBCMNG在VBCE與VNGM中EBCMNGBCNGNGM90VBCE≌VNGM,ECMG.∵AMAGMG,AM511.44AM1.∴BN5類比歸納249n12（或）；；n2151017聯(lián)系拓廣n2m22n1n2m2112.VABC中，AB＝AC，BAC＜60，D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為ACD內(nèi)35部一點(diǎn)，且ABE＋ECD＝90．（1）若ABE＝60，如圖1，直接寫(xiě)出AC、BE間的數(shù)量關(guān)系：AC______BE；2）若ABE＝45，如圖2，求證：BE＝2AC；3）在（2）的條件下，如圖3，將線段BA沿BE翻折，翻折后的點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，且MCBC，連接EM，交BC的延長(zhǎng)線于N，若CN＝2，求AN的長(zhǎng)為_(kāi)_____．剖析：1）AC＝BE提示：作AFBC于F，BGCE交EC延長(zhǎng)線于GAB＝AC，BF＝FC＝1BC2ABE＋ECD＝90，ABE＝60ECD＝30，BCG＝30361CBG＝60，BG＝BCABF＝EBG，BF＝BGRtVABF≌RtVEBG，AB＝BEAC＝BE（2）作AFBC于F，BGCE交EC延長(zhǎng)線于GAB＝AC，BF＝FC＝1BC2ABE＋ECD＝90，ABE＝45ECD＝45，BCG＝452CBG＝45，BG＝BC＝2BFABF＝EBG，RtVABF∽R(shí)tVEBGBEBG2,BE2ABABBDBE＝2AC（3）作AFBC于F，MHBE于H37ABF＋1則BAF＝90，BF＝FC＝BC2由題意，MBE＝ABE＝45，AB＝BMABM＝90，ABF＋MBC＝90BAF＝MBCQMCBC，BCM＝AFB＝90VABF≌VBMC，AF＝BC＝2BF，BF＝MCBC＝2MC由（2）知，BE＝2AB，BE＝2BMQMBH＝45，BMH＝45，BH＝MH＝2BM＝1BE22BH＝EH＝MH，MEH＝EMH＝45BME＝90，RtVBMC∽R(shí)tVMNCNCMC1MCBC2QNC2，MC4，BC838FN6，AF8ANFN2AF262821013.如圖1，四邊形ABCD是一張正方形紙片，先將正方形ABCD對(duì)折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個(gè)正方形展平，爾后沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B．（1）求CBF的度數(shù)為_(kāi)_____度；（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，連接AB，試判斷BAE與GCB的大小關(guān)系，并說(shuō)明原由；（3）如圖3，按以下步驟進(jìn)行操作：第一步：先將正方形ABCD對(duì)折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個(gè)正方形展平，爾后連續(xù)對(duì)折，使AB與DC重合，折痕為MN，再把這個(gè)正方形展平，設(shè)EF和MN訂交于點(diǎn)O；第二步：沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B；再沿直線AH折疊，使D點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D；第三步：設(shè)CG，AH分別與MN訂交于點(diǎn)P，Q，連接BP，PD，DQ，QB．試判斷四邊形BPDQ的形狀為_(kāi)_____，并證明你的結(jié)論．剖析：（1）如圖1，由對(duì)折可知，391EFC＝90，CF＝CD∵四邊形ABCD為正方形，CD＝CB，CF＝1CB21又由折疊可知，CB＝CB，CF＝CB∴在RtVBFC中，sinCF＝1CBF＝CB`2CBF＝30解法二：如圖1，連接B＇D，．（2）BAE＝GCB原由以下：如圖2，連接BD由對(duì)折知，EF垂直均分CD，BC＝BD由折疊知，BC＝BC40∵四邊形ABCD為正方形，BC＝CDBC＝CD＝BD，VBCD為等邊三角形CDB＝60∵四邊形ABCD為正方形CDA＝DAB＝90，BDA＝30QDB＝DA，DAB＝DBA1DBA＝(180－BDA)＝75BAE＝DAB－DAB＝90－75＝15由（1）知CBF＝30QEF//BC，＝CBF＝30BCB由折疊知，GCB＝1＝130＝152BCB2BAE＝GCB3）四邊形BPDQ為正方形如圖3，連接AB由（2）知，由折疊知，

BAE＝GCBGCB＝PCN，BAE＝PCN41由對(duì)折知，AEB＝＝，1，1＝22又∵四邊形ABCD是正方形，AB＝BCAE＝CN，VAEB≌VCNPEB＝NP同理可得，F(xiàn)D＝MQ由對(duì)稱性可知，EB＝FDEB＝NP＝FD＝MQ由兩次對(duì)折可知，OE＝ON＝OF＝OMOB＝OP＝OD＝OQ，∴四邊形BPDQ為矩形由對(duì)折知，MN，BD于點(diǎn)OEF于點(diǎn)OPQ∴四邊形BPDQ為正方形如圖，在RtVABC中，C＝90，AC＝4，BC＝5，D是BC邊上一點(diǎn)，CD＝3，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E．（1）設(shè)AP＝x，DE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）以PE為半徑的eE與以DB為半徑的eD可否相切？若能，求tanDPE的值；若不能夠，請(qǐng)說(shuō)明原由；VABD沿直線AD翻折，獲取VABD，連接EC、BC，當(dāng)ACE＝BCB（3）將時(shí)，求AP的長(zhǎng)．42剖析：（1）在RtVACD中，AC＝4，CD＝3，AD＝5APAEx5yQPE//BC，∴AD，即5AC45y＝-x＋5（0＜x＜4）（2）關(guān)于，＝EP＝3x；關(guān)于eD，r＝DB＝2；圓心距ED＝-5x＋5eErE4D4當(dāng)兩圓外切時(shí)，r＋r＝ED，D3x＋2＝-5x＋544解得x＝3，PC＝522QPE//BC，DPE＝PDC43tanDPE＝tanPDC＝PC5＝6CD－＝35當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，|rr|ED，|－＝－＋4ED4解得x7或x＝6（舍去），PC＝1＝22tanDPE＝tanPDC＝PC1CD6（3）延長(zhǎng)AD交BB于F，則AF垂直均分BB在RtVBDF中，BD＝2，sinBDF＝sinADC＝AC4AD5BF＝8，BB＝165544QADC＝BDF，CAD＝DBF當(dāng)ACE＝BCB時(shí)，VCAE∽VCBBACBC45y＝564AEBB，即5y16，255564＝256∴x5525，解得x4125如圖①，把矩形紙片ABCD沿EF、GH同時(shí)折疊，B、C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，已知FPH＝90，PF＝8，PH＝6．1）求圖①中矩形ABCD的邊BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____；2）求圖①中四邊形EFHG的面積為_(kāi)_____；（3）如圖②，點(diǎn)M是直線EF上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是直線GH上的動(dòng)點(diǎn)，連接M、MN、ND，求AM＋MN＋ND的最小值為_(kāi)_____．答案：24；57.6；24剖析：（1）由題意，BF＝PF＝8，CH＝PH＝6QFPH＝90，F(xiàn)H＝PF2PH2826210BC＝BF＋FH＋HC＝8＋10＋6＝242）連接BE、CG45QADPBC，PEF＝BFEPFE＝BFE，PEF＝PFEPE＝PF＝8同理，PG＝PH＝6EG＝PE＋PG＝8＋6＝14作PQBC于Q，則PQ＝PFPH8624105FHS＝1EG