【北師大版】七年級數(shù)學(xué)下冊《整體思想在整式乘除運(yùn)算中的應(yīng)用》專題試題(附答案)

北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊專題訓(xùn)練系列（附解析

專訓(xùn)2整體思想在整式乘除運(yùn)算中的應(yīng)用名師點(diǎn)金：解決某些數(shù)學(xué)問題時，把一組數(shù)或一個式子看成一個整體進(jìn)行處理，不僅可以簡化解題過程，而且還能拓寬思路，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的一種重要思想——整體思想．這一思想在整式的乘除運(yùn)算中體現(xiàn)明顯，在解題中應(yīng)用較多，要引起重視．冪的運(yùn)算中的整體思想1．已知2x＋3y－3＝0，求3·9x·27y的值．乘法公式運(yùn)算中的整體思想eq\a\vs4\al(類型1)化繁為簡整體代入2．已知a＝eq\f(3,8)x－20，b＝eq\f(3,8)x－18，c＝eq\f(3,8)x－16，求式子a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值．eq\a\vs4\al(類型2)變形后整體代入3．已知x＋y＝4，xy＝1，求式子(x2＋1)(y2＋1)的值．4．已知a－b＝b－c＝eq\f(3,5)，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．5．已知a2＋a－1＝0，求a3＋2a2＋2016的值．6．已知(2016－a)(2018－a)＝2017，求(2016－a)2＋(2018－a)2的值．多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中的整體思想eq\a\vs4\al(類型1)數(shù)字中的換元7．若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，試比較M與N的大?。甧q\a\vs4\al(類型2)多項(xiàng)式中的換元8．計(jì)算：(a1＋a2＋…＋an－1)(a2＋a3＋…＋an－1＋an)－(a2＋a3＋…＋an－1)(a1＋a2＋…＋an)(n≥3，且n為正整數(shù))．答案1．解：3·9x·27y＝3·(32)x·(33)y＝3·32x·33y＝31＋2x＋3y.因?yàn)?x＋3y－3＝0，所以2x＋3y＝3.所以原式＝31＋3＝34＝81.點(diǎn)撥：本題運(yùn)用了整體思想和轉(zhuǎn)化思想．2．解：由a＝eq\f(3,8)x－20，b＝eq\f(3,8)x－18，c＝eq\f(3,8)x－16，可得a－b＝－2，b－c＝－2，c－a＝4.從而a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝eq\f(1,2)×[(－2)2＋(－2)2＋42]＝eq\f(1,2)×24＝12.3．解：(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋x2＋y2＋1＝(xy)2＋(x＋y)2－2xy＋1.把x＋y＝4，xy＝1整體代入得12＋42－2×1＋1＝16，即(x2＋1)(y2＋1)＝16.4．解：由a－b＝b－c＝eq\f(3,5)，可以得到a－c＝eq\f(6,5).由(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ac)，得到ab＋bc＋ca＝(a2＋b2＋c2)－eq\f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．將a2＋b2＋c2，a－b，b－c及a－c的值整體代入，可得ab＋bc＋ca＝1－eq\f(1,2)×[(eq\f(3,5))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up12(2)]＝1－eq\f(1,2)×eq\f(54,25)＝－eq\f(2,25).5．解：因?yàn)閍2＋a－1＝0，①所以a≠0.所以將等式兩邊都乘a，可得a3＋a2－a＝0.②將①②相加得a3＋2a2－1＝0，即a3＋2a2＝1.所以a3＋2a2＋2016＝1＋2016＝2017.6．解：(2016－a)2＋(2018－a)2＝[(2016－a)－(2018－a)]2＋2(2016－a)(2018－a)＝(－2)2＋2×2017＝4＋4034＝4038.點(diǎn)撥：本題運(yùn)用乘法公式的變形x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，結(jié)合整體思想求解，使計(jì)算簡便．7.解：設(shè)123456788＝a，則123456789＝a＋1，123456786＝a－2，123456787＝a－1.從而M＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2，N＝a(a－1)＝a2－a.所以M－N＝(a2－a－2)－(a2－a)＝－2＜0.所以M＜N.8．解：設(shè)a2＋a3＋…＋an－1＝M，則原式＝(a1＋M)(M＋an)－M(a1＋M＋an)＝a1M＋a1an＋M2＋anM－a1M－M2－anM＝a1an.點(diǎn)撥：本題如果按正常展開的方式來運(yùn)算顯然是很復(fù)雜的．這一類帶“…”的題中，往往蘊(yùn)藏著重要的技巧，而發(fā)現(xiàn)技巧的關(guān)鍵是觀察．因此，在解決這類問題時，不要