天津理工大學(xué)大學(xué)物理：電介質(zhì)課件

導(dǎo)體的靜電平衡條件當(dāng)一帶電體系中的電荷靜止不動(dòng)，從而電場分布不隨時(shí)間變化時(shí)，該帶電體系就達(dá)到了靜電平衡。導(dǎo)體的特點(diǎn)是其體內(nèi)存在自由電荷，它們在電場作用下可移動(dòng)，從而改變原有電荷分布。反過來電荷分布的改變又會(huì)影響到原有的電場分布。可見有導(dǎo)體存在時(shí)電荷的分布和電場的分布是相互影響、相互制約的。并不是電荷和電場的任何一種分布都是靜電平衡分布。導(dǎo)體的靜電平衡條件此平衡條件可論證如下：若導(dǎo)體內(nèi)的電場E不處處為零，則在E不為零的地方，自由電荷將會(huì)移動(dòng)，亦即導(dǎo)體沒有達(dá)到靜電平衡。換句話說，當(dāng)導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí)，其內(nèi)部場強(qiáng)必定處處為零。體內(nèi)場強(qiáng)處處為零1從上述導(dǎo)體靜電平衡條件出發(fā)，可直接得到以下幾點(diǎn)推論：①在達(dá)到靜電平衡以后，導(dǎo)體是個(gè)等勢體，導(dǎo)體表面是等勢面。因?qū)w內(nèi)任意兩點(diǎn)P、Q之間的電勢差為若場強(qiáng)E處處為零，則導(dǎo)體內(nèi)部所有各點(diǎn)的電勢相等，從而導(dǎo)體表面是個(gè)等勢面。②在達(dá)到靜電平衡以后，導(dǎo)體外的場強(qiáng)處處與它的表面垂直。

因?yàn)殡娏€處處與等勢面正交，所以導(dǎo)體外的場強(qiáng)必定與它的表面垂直。2電荷分布

可用高斯定理證明。假定導(dǎo)體內(nèi)部某處有未被抵消的凈電荷q，則可取一個(gè)完全在導(dǎo)體內(nèi)部的閉合高斯面S，將它完全包圍起來。據(jù)高斯定理，通過S的電通量為q/0是一非零值。即在S上面至少有些點(diǎn)的場強(qiáng)E不等于零。S面上場強(qiáng)不為零的這些地方就達(dá)不到靜電平衡，電荷就會(huì)重新分布，直到場強(qiáng)處處為零體內(nèi)電荷完全抵消為止。所以據(jù)靜電平衡條件的要求，在達(dá)到靜電平衡狀態(tài)后，導(dǎo)體內(nèi)部必定處處沒有未被抵消的凈電荷，電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。

在達(dá)到靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部處處沒有未被抵消的凈電荷（=0），電荷只能分布在導(dǎo)體的表面。Sq.3--++S進(jìn)一步還需證明，在導(dǎo)體殼的內(nèi)表面上不僅電荷的代數(shù)和為零，而且各處的面電荷密度也為零。利用反證法，假定內(nèi)表面上不處處為零，由于電荷的代數(shù)和為零，必然有些地方＞0，有些地方＜0，而電力線只能從正電荷出發(fā)終止于負(fù)電荷，不能在沒有電荷的地方中斷。這樣空腔內(nèi)就有電力線從＞0的地方出發(fā)終止于內(nèi)表面上＜0的地方。5--++S如果存在這樣一根電力線，電場沿此電力線的積分必不為零。即這電力線的兩個(gè)端點(diǎn)之間有電勢差，但這電力線的兩端都在同一導(dǎo)體上，靜電平衡要求這兩點(diǎn)的電勢相等，因此上述結(jié)論與平衡條件相違背。可見在達(dá)到靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體殼的內(nèi)表面上必須處處為零，既然內(nèi)表面上沒有電荷，腔內(nèi)就不可能有電力線，即腔內(nèi)的場強(qiáng)為零。沒有電場就沒有電勢差，故腔內(nèi)空間各點(diǎn)的電勢處處相等。6導(dǎo)體殼（殼內(nèi)有其它帶電體）導(dǎo)體殼空腔內(nèi)有其它帶電體時(shí)，在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體殼的內(nèi)表面所帶電荷與腔內(nèi)電荷的代數(shù)和為零。例如腔內(nèi)有物體帶電q，則內(nèi)表面帶電-q。證明：如圖，在導(dǎo)體殼內(nèi)、外表面之間作一高斯面S，由于高斯面處在導(dǎo)體內(nèi)部，在靜電平衡時(shí)場強(qiáng)處處為零。所以通過S的電通量為零。據(jù)高斯定理，高斯面內(nèi)∑q=0。若導(dǎo)體殼內(nèi)有一帶電體帶電q，則內(nèi)表面必定帶電-q。--------q++++q+S7面電荷密度與場強(qiáng)的關(guān)系尖端放電

在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體表面之外附近空間的場強(qiáng)E與該處導(dǎo)體表面的面電荷密度有如下關(guān)系9導(dǎo)體的靜電平衡條件:體內(nèi)場強(qiáng)處處為零幾點(diǎn)推論：①導(dǎo)體是個(gè)等勢體，導(dǎo)體表面是等勢面。②導(dǎo)體外的場強(qiáng)處處與它的表面垂直。電荷分布:在達(dá)到靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部處處沒有未被抵消的凈電荷（=0），電荷只能分布在導(dǎo)體的表面。導(dǎo)體殼（殼內(nèi)無其它帶電體）在靜電平衡條件下，導(dǎo)體殼的內(nèi)表面上處處沒有電荷，電荷只能分布在外表面，空腔內(nèi)沒有電場，或者說空腔內(nèi)的電勢處處相等。導(dǎo)體殼（殼內(nèi)有其它帶電體）導(dǎo)體殼空腔內(nèi)有其它帶電體時(shí)，在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體殼的內(nèi)表面所帶電荷與腔內(nèi)電荷的代數(shù)和為零。例如腔內(nèi)有物體帶電q，則內(nèi)表面帶電-q。101一個(gè)不帶電的空腔導(dǎo)體球殼，內(nèi)半徑為R。在腔內(nèi)離球心的距離為a處(a<R)放一點(diǎn)電荷+q，如圖所示。用導(dǎo)線把球殼接地后，再把地線撤去，選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則球心0處的電勢為[]D0R?+qa不接地內(nèi)表面帶電-q，外表面帶電+q，接地后再把地線撤去，外表面不帶電。q的場在0點(diǎn)產(chǎn)生電勢內(nèi)表面上電荷-q的場在0點(diǎn)產(chǎn)生的電勢球心0處總的電勢115兩個(gè)同心薄金屬球殼，半徑分別為R1和R2(R2>R1)，若內(nèi)球殼帶上電荷Q，則兩者的電勢分別為（選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)）。現(xiàn)用導(dǎo)線將兩球殼相連接，則它們的電勢為R1QR2-Q[]D用導(dǎo)線將兩球殼相連接后，內(nèi)球殼變?yōu)橥馇驓?nèi)表面的一部分，即電荷Q全部分布在外球殼的表面。134如圖所示，在靜電場中有一立方形均勻?qū)w，邊長為a。已知立方體中心0處的電勢為V0，則立方體頂點(diǎn)A的電勢為_________。0AaV0靜電平衡，導(dǎo)體等電勢141.一均勻帶電球體如圖所示，總電荷+Q。其外部同心地罩一內(nèi)、外半徑分別為r1、r2的金屬球殼，設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則球殼內(nèi)半徑為r處的場強(qiáng)和電勢分別為[]２一金屬球殼的內(nèi)外半徑分別為R1和R2，帶電荷為Q。在球心處有一電荷為q的點(diǎn)電荷，則球殼外表面上的電荷面密度=__________。練習(xí)：?r1+Qpr2rR1R2Q?q15２一金屬球殼的內(nèi)外半徑分別為R1和R2，帶電荷為Q。在球心處有一電荷為q的點(diǎn)電荷，則球殼外表面上的電荷面密度=__________。R1R2Q?q電荷Q分布在外表面，內(nèi)表面有感應(yīng)電荷-q，外表面有感應(yīng)電荷+q，因此外表面有電荷Q+q。球殼外表面上的電荷面密度：171孤立導(dǎo)體的電容

所謂孤立導(dǎo)體，就是說在這導(dǎo)體的附近沒有其他導(dǎo)體和帶電體。+++++++++++q

設(shè)想使一個(gè)孤立導(dǎo)體帶電q，它將具有電勢U。理論和實(shí)驗(yàn)都表明，隨著q的增加U將按比例地增加。這樣一個(gè)比例關(guān)系可以寫成式中C與導(dǎo)體的尺寸和形狀有關(guān)，它是一個(gè)與q、U無關(guān)的常數(shù)，稱為孤立導(dǎo)體的電容。它的物理意義是每升高單位電勢所需的電量。18對于一個(gè)孤立的導(dǎo)體球故它的電容為電容的國際制單位為法拉，簡稱法，用F表示，這是一個(gè)非常大的單位。如將地球看作孤立導(dǎo)體，其電容只有709×10-6法，所以通常采用微法F(=10-6F)或微微法pF(=10-12F)為單位。19ABCDqA-qA

如圖所示，用一個(gè)封閉的導(dǎo)體殼B把A包圍起來，并將B接地（UB=0）。這樣一來，殼外的導(dǎo)體C、D等就不會(huì)影響A的電勢了。這時(shí)若使A帶電qA，導(dǎo)體殼B的內(nèi)表面將帶電-qA，隨著qA的增加，UA將按比例地增大，因此可定義它的電容為當(dāng)然這時(shí)CAB已與導(dǎo)體殼B有關(guān)了。21ABCDqA-qA其實(shí)導(dǎo)體殼B也可不接地，此時(shí)它的電勢UB≠0。雖然這時(shí)UA、UB都與外界的導(dǎo)體有關(guān)，但電勢差UA－UB仍不受外界的影響，且正比于qA，比值不變。這種由導(dǎo)體殼B和腔內(nèi)的導(dǎo)體A所組成的導(dǎo)體系，叫做電容器。比值叫做它的電容。電容器的電容與兩導(dǎo)體的尺寸、形狀和它們的相對位置有關(guān)，與q和U無關(guān)。組成電容器的兩導(dǎo)體叫做電容器的極板。22實(shí)際中，對電容的屏蔽性的要求并不象上面所述的那樣苛刻。如圖，一對平行平面導(dǎo)體，A、B的面積很大而且靠得很近，電荷將集中在兩極板相對的表面上，電力線集中在兩極板之間狹窄的空間里。這時(shí)外界的干擾對二者之間電勢差的影響實(shí)際上是可以忽略的，也可把這種裝置看成電容器。+++++++-----AB--23電荷的面密度分別為電場強(qiáng)度兩極板間電勢差電容對于電容器的電容常略去腳標(biāo)不寫，即+++++++-----AB--d+-S25+++++++-----AB--d+-S此式表明，C正比于極板面積S，反比于極板間隔d。它指明了加大電容器電容量的途徑。首先必須使電容器的極板間的間隔小，但由于工藝制作的困難，這有一定的限度；其次要加大極板的面積，勢必要加大電容器的體積。為得到體積小、電容量大的電容器，需要選擇適當(dāng)?shù)慕^緣介質(zhì)。這個(gè)問題留待下節(jié)討論。261電容器儲(chǔ)能如果把一個(gè)已充電的電容器兩極板用導(dǎo)體短路而放電，可見到放電的火花。利用放電的火花甚至可以熔焊金屬，即所謂“電容焊”。放電火花的勢能必然是由充了電的電容器中儲(chǔ)存的電能轉(zhuǎn)化而來的。那么電容器儲(chǔ)存的電能又是從哪里來的呢？下面會(huì)看到，在電容器充電的過程中，電源必須作功才能克服靜電場力把電荷從一個(gè)極板搬運(yùn)到另一個(gè)極板上。這能量以電勢能的形式儲(chǔ)存在電容器中，放電時(shí)就把這部分能量釋放出來。七靜電場的能量能量密度對于電場的能量以電容器為例來進(jìn)行討論+++++++--------029--+-+-設(shè)電容器每一極板所帶電量的絕對值為Q，兩極板間的電壓為U。為了計(jì)算這電容器儲(chǔ)存了多少電能，先分析一下電容器的充電過程。充電過程可用下圖表示。電子從電容器一個(gè)極板被拉到電源，并從電源被推到另一極板上去。這時(shí)被拉出了電子的極板帶正電；推上電子的極板帶負(fù)電。如此逐漸進(jìn)行下去。設(shè)充電完畢時(shí)，電容器極板上帶電量的絕對值達(dá)到Q。完成這個(gè)過程要靠電源作功，從而消耗了電源儲(chǔ)存的化學(xué)能，使之轉(zhuǎn)化為電容器儲(chǔ)存的電能。30--+-+-設(shè)在充電過程中某一瞬間，電容器極板上帶電量的絕對值為q，電壓為u，這里的u是指正極板電勢u+減去負(fù)極板電勢u-，若在這一瞬間電源把-dq的電量從正極板搬運(yùn)到負(fù)極板，從能量守恒的觀點(diǎn)看來，這時(shí)電源所作的功應(yīng)等于電量-dq從正極板遷移到負(fù)極板后電勢能的增加，即繼續(xù)充電時(shí)，電池要繼續(xù)作功。此功不斷地積累為電容器的電能，所以在整個(gè)充電過程中儲(chǔ)存于電容器的電能總量應(yīng)由下列積分計(jì)算31--+-+-積分下限0表示充電開始時(shí)電容器的電能總量，上限Q表示充電結(jié)束時(shí)每一極板上電量的絕對值。由得到這就是電容器儲(chǔ)能的公式。利用Q=CU，則可寫成及式中Q與U都是充電完畢時(shí)的最后值。32--+-+-通常電容器充電后的電壓值都是給定的，這時(shí)用第三種表達(dá)式來討論比較方便。此式表明：在一定的電壓下，電容C大的電容器儲(chǔ)能多，在這個(gè)意義上說，電容C也是電容器儲(chǔ)能本領(lǐng)大小的標(biāo)志。對同一個(gè)電容器來講，電壓越高，儲(chǔ)能越多，但不能超過電容器的耐壓值，否則就會(huì)把里面的電介質(zhì)擊穿而燒毀電容器。332三塊互相平行的導(dǎo)體板之間的距離d1和d2比板面積小得多，如果d2=2d1，外面二板用導(dǎo)線連接，中間板上帶電。設(shè)左右兩面上電荷面密度分別為1和2，如圖所示，則1/2為(A)1(B)2(C)3(D)4d1d221相當(dāng)于兩電容器并聯(lián)，U相等。由Q=CU知[]B346當(dāng)平行板電容器充電后，去掉電源，在兩極板間充滿電介質(zhì)，其正確的結(jié)果是（A）極板上自由電荷減少（B）兩極板間電勢差變大（C）兩極板間電場強(qiáng)度變?。―）兩極板間電場強(qiáng)度不變兩極板間電場強(qiáng)度變小兩極板間電勢差變小[]C去掉電源，極板上自由電荷不變358一個(gè)平行板電容器，充電后斷開電源，使電容器兩極板間距離變小，則兩極板間的電勢差U12、電場強(qiáng)度的大小E、電場能量W將發(fā)生如下變化：(A)U12減小，E減小，W減小．(B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不變，W增大．(D)U12減小，E不變，W減?。?/p>

[]Dd減小，則C增大。電源斷開，電荷不變。E亦不變。C增大，則U減小。C增大，W減小。369兩空氣電容器C1和C2串聯(lián)起來接上電源充電，充滿電后將電源斷開，再把一電介質(zhì)板插入C1中，如圖所示。則（A）C1上電荷增加，C2上電荷減少（B）C1上電荷減少，C2上電荷增加（C）C1上電荷增加，C2上電荷增加（D）C1上電荷不變，C2上電荷不變。C1C2E[]D斷開電源后總電荷不變。串聯(lián)，每個(gè)電容器極板所帶的電量相等。插入介質(zhì)，C1增大，U1減小。電源斷開，Q不變。37C1、C2是兩空氣電容器并聯(lián)以后接電源充電，在電源保持連接的情況下，在C1中插入一電介質(zhì)板，如圖所示，則（A）C1極板上電荷不變，C2極板上電荷減少（B）C1極板上電荷不變，C2極板上電荷增加（C）C1極板上電荷增加，C2極板上電荷不變（D）C1極板上電荷減少，C2極板上電荷不變。并聯(lián)U相同，Q1=C1U，Q2=C2U。電源保持連接，U不變，插入介質(zhì)板，C1電容增大，Q1增大，Q2不變。[]CC1C2E3811有兩只電容器，C1=8F，C2=2F，分別把它們充電到2000V，然后將它們反接（如圖所示）此時(shí)C1兩極板間的電勢差為（A）600V（B）200V（C）0V（D）1200VC1C2++--[]D充電后：并聯(lián)：397一平行板電容器，充電后與電源保持連接，然后使兩極板間充滿相對介電常數(shù)為r的各向同性均勻電介質(zhì)，這時(shí)兩極板上的電荷是原來的________倍；電場強(qiáng)度是原來的________倍；電場能量是原來的________倍。充電后與電源保持連接，U不變，兩極板間充滿電介質(zhì)，C增大到原來的r倍。r1r409.一平行板電容器充電后切斷電源，若使兩極板間距離增加，則兩極板間電勢差為_________，電容為_________。（填增大或減小或不變）d增大，則C減小。電源斷開，電荷不變。C減小，則U增大。增大減小413一個(gè)平行板電容器，充電后斷開電源，使電容器兩極板間距離拉大，則兩極板間的電勢差U12、電場強(qiáng)度的大小E、電場能量W將發(fā)生如下變化：(A)U12減小，E減小，W減小．(B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不變，W增大．(D)U12減小，E不變，W減?。?/p>

[]練習(xí)：4圖為一半徑為a、帶有正電荷Q的導(dǎo)體球。球外有一內(nèi)半徑為b、外半徑為c的不帶電的同心導(dǎo)體球殼。設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，試求內(nèi)球和球殼的電勢。0acbQ423一個(gè)平行板電容器，充電后斷開電源，使電容器兩極板間距離拉大，則兩極板間的電勢差U12、電場強(qiáng)度的大小E、電場能量W將發(fā)生如下變化：(A)U12減小，E減小，W減?。?B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不變，W增大．(D)U12減小，E不變，W減?。?/p>

[]Cd增大，則C減小。電源斷開，電荷不變。E亦不變。C減小，則U增大。C減小，W增大。434圖為一半徑為a、帶有正電荷Q的導(dǎo)體球。球外有一內(nèi)半徑為b、外半徑為c的不帶電的同心導(dǎo)體球殼。設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，試求內(nèi)球和球殼的電勢。0acbQ解：球殼內(nèi)表面將出現(xiàn)負(fù)的感應(yīng)電荷－Q，外表面為正的感應(yīng)電荷Q．按電勢疊加原理(也可由高斯定理求場強(qiáng)，用場強(qiáng)的線積分計(jì)算)導(dǎo)體球的電勢為球殼電勢44練習(xí)：6

一電容器由兩個(gè)同心球形導(dǎo)體殼A、B所組成，A、B間為真空。其半徑分別為RA和RB（RA＜RB）。設(shè)A、B分別帶電荷±q，求（1）兩同心球形導(dǎo)體殼之間某點(diǎn)p的電場強(qiáng)度大小；（2）兩同心球形導(dǎo)體殼A、B間的電勢差；（3）此球形電容器的電容。5平行板電容器可看成是由兩塊彼此靠得很近的平行金屬極板A、B所組成，設(shè)兩極板的面積均為S，分別帶有+q、-q的電荷，內(nèi)表面之間的距離是d，極板面的線度遠(yuǎn)大于它們之間的距離(S＞＞d2)求（1）兩極板之間某點(diǎn)p的電場強(qiáng)度大?。唬?）兩極板A、B間的電勢差；（3）此平行板電容器的電容。RARB0rp455