含參數(shù)導數(shù)問題的三個基本討論點

______________________________________________________________________________________________________________含參數(shù)導數(shù)問題的三個基本討論點導數(shù)是研究函數(shù)圖像和性質(zhì)的重要工具，自從導數(shù)進入高中數(shù)學教材以來，有關導數(shù)問題是每年高考的必考試題之一。隨著高考對導數(shù)考查的不斷深入，含參數(shù)的導數(shù)問題又是歷年高考命題的熱點。由于含參數(shù)的導數(shù)問題在解答時往往需要對參數(shù)進行討論，因而它也是絕大多數(shù)考生答題的難點，具體表現(xiàn)在：他們不知何時開始討論、怎樣去討論。對這一問題不僅高中數(shù)學教材沒有介紹過，而且在眾多的教輔資料中也難得一見，本文就來討論這一問題，供大家參考。一、 求導后，考慮導函數(shù)為零是否有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能否分解因式） ，從而引起討論。1,x1例1（2008年高考廣東卷（理科）設kR，函數(shù)f(x)1,F(x)f(x)kx,xR，xx1,x1試討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性。1k121x,x1kx,x1,1x2解：F(x)f(x)kx1x,F'(x)。12kx1x1kx,x12x1,x1考慮導函數(shù)F'(x)0是否有實根，從而需要對參數(shù)k的取值進行討論。1k1x2（一）若x1，則F'(x)。由于當k0時，F(xiàn)'(x)0無實根，而當k0時，F(xiàn)'(x)0有實根，1x2因此，對參數(shù)k分k0和k0兩種情況討論。（1）當k0時，F(xiàn)'(x)0在(,1)上恒成立，所以函數(shù)F(x)在(,1)上為增函數(shù)；2kx11x111k1xkk（2）當k0時，F(xiàn)'(x)。1x21x2由F'(x)0，得x111,x211，因為k0，所以x11x2。kk由F'(x)0，得11x1；由F'(x)0，得x11k。k因此，當k0時，函數(shù)F(x)在(1(11,1)上為減函數(shù)，在,1)上為增函數(shù)。kk（二）若x1，則F'(x)12kx1。由于當k0時，F(xiàn)'(x)0無實根，而當k0時，F(xiàn)'(x)0有實2x1根，因此，對參數(shù)k分k0和k0兩種情況討論。（1）當k0時，F(xiàn)'(x)0在1,上恒成立，所以函數(shù)F(x)在1,上為減函數(shù)；精品資料______________________________________________________________________________________________________________kx112kx11（2）當k2k。0時，F(xiàn)'(x)2x1x1由F'(x)0，得x112；由F'(x)0，得1x112。4k4k因此，當k0時，函數(shù)F(x)在1上為減函數(shù)，在1上為增函數(shù)。1,14k214k2,綜上所述：（1）當k0時，函數(shù)F(x)在(,11)上為減函數(shù)，在(11,1)上為增函數(shù)，在1,上為減函數(shù)。kk（2）當k0時，函數(shù)F(x)在(,1)上為增函數(shù)，在1,上為減函數(shù)。（3）當k0時，函數(shù)F(x)在(,1)上為增函數(shù)，在1,11上為減函數(shù)，在11,上為增函數(shù)。4k24k2二、 求導后，導函數(shù)為零有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式） ，但不知導函數(shù)為零的實根是否落在定義域內(nèi)，從而引起討論。例2 (2008高考浙江卷理科 )已知a是實數(shù)，函數(shù) f x xx a（Ⅰ）求函數(shù) f x的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設ga為f x在區(qū)間 0,2上的最小值。（i）寫出ga的表達式；（ii）求a的取值范圍，使得 6 ga 2。解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為考慮a是否落在導函數(shù)31）當a0時，則2）當a0時，由

3xaxa3x3a0,，f'xax0'(x)0得xxx2x2x，由f。23f'(x)的定義域0,內(nèi)，需對參數(shù)a的取值分a0及a0兩種情況進行討論。f'(x)0在0,上恒成立，所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,。f'(x)0，得xa；由f'(x)0，得0xa。33因此，當a0時，fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0,a，fx的單調(diào)遞增區(qū)間為a,。33（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）問的結論可知：（1）當a0時，fx在0,上單調(diào)遞增，從而fx在0,2上單調(diào)遞增，所以gaf00。（2）當a0時，fx在0,a上單調(diào)遞減，在a,上單調(diào)遞增，所以：33精品資料______________________________________________________________________________________________________________①當a0,2，即0a6時，fx在0,a上單調(diào)遞減，在a,2上單調(diào)遞增，333所以gaa2aa2a3a。f3393②當a2,，即a6時，fx在0,2上單調(diào)遞減，所以gaf222a。30,a0綜上所述，ga2aa,0a63322a,a~6（ii）令6ga2。①若a0，無解；②若0a6，由62aa2解得3a6；33③若a6，由622a2解得6a232。綜上所述，a的取值范圍為3a232。三、求導后，導函數(shù)為零有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式）,導函數(shù)為零的實根也落在定義域內(nèi)，但不知這些實根的大小關系，從而引起討論。例3（2007年高考天津理科卷）已知函數(shù)fx2axa21R，其中aR。x21x（Ⅰ）當a1時，求曲線yfx在點2,f2處的切線方程；（Ⅱ）當a0時，求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（Ⅰ）當a1時，曲線yfx在點2,f2處的切線方程為6x25y320。2ax212x2axa212axax10，所以f'xa（Ⅱ）由于a。x212x212由f'x0，得x11,x2a。這兩個實根都在定義域R內(nèi)，但不知它們之間的大小。因此，需對參數(shù)a的a取值分a0和a0兩種情況進行討論。（1）當a0時，則x1x2。易得fx在區(qū)間,1，a,內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間1,a為增函數(shù)。故aa函數(shù)fx在x11處取得極小值f1a2；函數(shù)fx在x2a處取得極大值fa1。aa精品資料______________________________________________________________________________________________________________（2）當a0時，則x1x2。易得fx在區(qū)間(,a)，(1,)內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間(a,1)為減函數(shù)。故函aa數(shù)fx在x111a2；函數(shù)fx在x2afa1aa以上三點即為含參數(shù)導數(shù)問題的三個基本討論點，在求解有關含參數(shù)的導數(shù)問題時，可按上述三點的順序?qū)?shù)進行討論。因此，對含參數(shù)的導數(shù)問題的討論，還是有一定的規(guī)律可循的。當然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點或三點，這時的討論就更復雜一些了，需要靈活把握。例4（07高考山東理科卷改編）設函數(shù)fxx2blnx1，其中b0，求函數(shù)fx的極值點。解：由題意可得fx的定義域為1,，f'x2xb12x2x2xb，f'x的分母x1在定義域1,x1上恒為正，方程2x22xb0是否有實根，需要對參數(shù)b的取值進行討論。（1）當48b0，即b1時，方程2x22xb0無實根或只有唯一根x1，所以gx2x22xb022在1,上恒成立，則f'x0在1,上恒成立，所以函數(shù)fx在1,上單調(diào)遞增，從而函數(shù)fx在1,上無極值點。（2）當48b0，即b1時，方程2x22xb0，即f'x0有兩個不相等的實根：2x1112b,x2112b。22這兩個根是否都在定義域1,內(nèi)呢？又需要對參數(shù)b的取值分情況作如下討論：（ⅰ）當b0時，x1112b1,x2112b1，所以x1,,x1,。2221此時，f'x與fx隨x的變化情況如下表：x1,x2x2x2,f'x0fx遞減極小值遞增由此表可知：當b0時，fx有唯一極小值點x2112b2。（ⅱ）當0b1時，x1112b1,x2112b1，所以x11,,x21,。222此時，f'x與fx隨x的變化情況如下表：精品資料______________________________________________________________________________________________________________x1,x1x1x1,x2x2x2,f'x00f遞增極大值遞減極小值遞增x0b1x1112bx2112b由此表可知：當時，fx有一個極大值點2和一個極小值點2。2綜上所述：（1）當b0時，fx112b有唯一極小值點x2；（2）當0b1x有一個極大值點x112bx112b；時，f2和一個極小值點22（3）當b1時，fx無極值點。2從以上諸例不難看出，在對含參數(shù)的導數(shù)問題的討論時，只要把握以上三個基本討論點，那么討論就有了方向和切入點，即使問題較為復雜，討論起來也會得心應手、層次分明，從而使問題迎刃而解。（2010重慶文數(shù)）(19)( 本小題滿分 12分),( Ⅰ)小問5分，(Ⅱ)小問7分.)已知函數(shù) f(x) ax3 x2 bx(其中常數(shù)a,b∈R),g(x) f(x) f(x)是奇函數(shù).(Ⅰ)求f(x)的表達式;(Ⅱ)討論g(x)的單調(diào)性，并求 g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值 .精品資料______________________________________________________________________________________________________________（2010山東文數(shù)）（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)lnxax1a1(aR)x1（I）當a1時，求曲線yf(x)在點(2,f(2))處的切線方程；（II）當af(x)的單調(diào)性.時，討論2解：（Ⅰ）當a1時，f(x)lnxx21,x(0,),所以f'(x)x2x2,x(0,)xx2因此，f（2）1，即曲線yf(x)在點（2，f(2))處的切線斜率為1，.又 f(2) ln2 2, 所以曲線y f(x)在點（2，f(2))處的切線方程為 y (ln2 2) x 2,即xyln20.（Ⅱ）因為f(x)lnxax1a1，x所以f'(x)1a1ax2x1a)，xa2x2x(0,x令g(x)ax2x1a,x(0,),（1）當a0時,h(x)x1,x(0,)所以，當x(0,1)時,h(x)0,此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x(1,)時，h(x)0，此時f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞（2）當a0時,由f(x)=0即ax2x1a0，解得x11,x2111a①當a時，x1x2,h(x)0恒成立，2此時f(x)0，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；②當0a1時,11102ax(0,1)時，h(x)0,此時f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x(1,11)時，h(x)0,此時f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；ax(11,)時,h(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；a0時，由于1③當a10ax(0,1)時，h(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x(1,)時，h(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。綜上所述：精品資料______________________________________________________________________________________________________________當a0時，函數(shù)f(x)在（０，１）上單調(diào)遞減；函數(shù)f(x)在（１，＋∞）上單調(diào)遞增；當a1時，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；21當0a時，函數(shù)f(x)在（0，1）上單調(diào)遞減；2函數(shù)f(x)在(1,11)上單調(diào)遞增；a1函數(shù)f(x)在( 1, )上單調(diào)遞減，2010山東理數(shù)）(22)(本小題滿分14分)已知函數(shù)1af(x)lnxax1(aR).x1(Ⅰ)當a 時，討論 f(x)的單調(diào)性；2（Ⅱ）設g(x)x22bx4.當a1時，若對任意x1(0,2)，存在x21,2，使4f(x1)g(x2)，求實數(shù)b取值范圍.解：（Ⅰ）因為f(x)lnxax1ax1，所以'1a1ax2x1a)，f(x)ax2x(0,xx2令h(x)ax2x1a,x(0,)，①當a1時，x1x2,h(x)≥0恒成立，此時f'(x)≤0，函數(shù)f(x)在（0，+）上單調(diào)遞減；2②當0＜a＜1時，1 1＞1＞0，a(0,1)時，h(x)＞0，此時f'(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x (1,1 1)時h(x)＜0，此時f'(x)＞0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增；a(11,)時，h(x)＞0，此時f'(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；a精品資料______________________________________________________________________________________________________________③當a＜0時，由于1 1＜0，ax (0,1)，h(x)＞0,此時f'(x)＜0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減；x(1,)時，h(x)＜0，此時f'(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.綜上所述：0（Ⅱ）因為a=1(0,1)，由（Ⅰ）知，x1=1，x2=3(0,2)，當x(0,1)時，f'(x)p0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞42減；g(x)ming(2)84b0b(2,)1b17,當x(1,2)時，f'(x)f0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，28所以f(x)在（0，2）上的最小值為f(1)1。2由于“對任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)”等價于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值1”（*）2又g(x)=(xb)24b2，x11,2，所以①當bp1時，因為g(x)ming(1)52bf0，此時與（*）矛盾②當b1,2時，因為g(x)min4b20，同樣與（*）矛盾③當b(2,)時，因為g(x)ming(2)84b，解不等式8-4b1，可得b1728綜上，b的取值范圍是17,。8（2010遼寧文數(shù)）（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)(a1)lnxax21.（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）設a2，證明：對任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.解：(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+)，f(x)a12ax2ax2a1xx.當a≥0時，f(x)＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當a≤－1時，f(x)＜0,故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當－1＜a＜0時，令f(x)＝0,解得x=a1當x∈(0,a1時,f(x)＞；.)02a2ax∈(a1，+)時，f(x)＜0,故f(x)在（0,a1a12a）單調(diào)增加，在（2a，+）單調(diào)減少.2a(Ⅱ)不妨假設x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以f(x)f(x)4xx等價于1212精品資料______________________________________________________________________________________________________________f(x1) f(x2)≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,則a1g(x)2ax+4x＝2ax24xa1.x于是g(x)≤4x24x1＝(2x1)2≤0.xx從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故對任意x1,x2∈(0,+)，f(x1)f(x2)4x1x2.（2010遼寧理數(shù)）（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)(a1)lnxax21（I）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（II）（II）設a1.如果對任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)4|x1x2|，求a的取值范圍。a12ax2a1解：（Ⅰ）f(x)的定義域為（0，+∞）.f'(x)x2axx.當a0時，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）單調(diào)增加；當a1時，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）單調(diào)減少；當-1＜a＜0時，令f'(x)=0，解得xa1.2a則當x(0,a1)時，f'(x)＞0；x(a1,)時，f'(x)＜0.2a2a故f(x)在(0,a1)單調(diào)增加，在(a1,)單調(diào)減少.2a2a（Ⅱ）不妨假設x1x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）單調(diào)減少，從而x1,x2(0,)，f(x1)f(x2)4x1x2等價于x1,x2(0,)，f(x2)4x2f(x1)4x1①令g(x)f(x)a12ax44x，則g'(x)xa12ax40.①等價于g(x)在（0，+∞）單調(diào)減少，即x精品資料______________________________________________________________________________________________________________從而a4x1(2x1)24x22(2x1)22故a的取值范圍為（-∞，-2].12x212x212x2（2010北京理數(shù)）(18)(本小題共13分)已知函數(shù)f(x)=In(1+x)-x+xx2(k≥0)。2(Ⅰ)當k=2時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間。解：（I）當k2時，f(x)ln(1x)xx2，f'(x)1112xx由于f(1)ln2，f'(1)3f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為，所以曲線y32yln21)即3x2y2ln230(x2（II）f'(x)x(kxk1)，x(1,).1xx當k0時，f'(x)1.所以，在區(qū)間(1,0)上，f'(x)0；在區(qū)間(0,)上，f'(x)0.x故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,).當0k1時，由f'(x)x(kxk1)0，得x10，x21k01xk所以，在區(qū)間(1,0)和(1k,)上，f'(x)0；在區(qū)間(0,1k)上，f'(x)0kk故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(1,0)和(1k,)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1k).kk當k1時，f'(x)x2故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(1,).x1當k1時，f'(x)x(kxk1)0，得x1k(1,0)，x20.1x1k所以沒在區(qū)間(1,1k)和(0,)上，f'(x)0；在區(qū)間(1k,0)上，f'(x)0k(1,1k)和(0,k(1k,0)故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是)，單調(diào)遞減區(qū)間是kk（2010江蘇卷）20、（本小題滿分16分）設f(x)是定義在區(qū)間(1,)上的函數(shù)，其導函數(shù)為f'(x)。如果存在實數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對任意的x(1,)都有h(x)>0，使得f'(x)h(x)(x2ax1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a)。(1)設函數(shù)f(x)lnxb21)，其中b為實數(shù)。x(x1(i)求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)；(ii)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)。給定x1,x2(1,),x1x2,設m為實數(shù)，mx1(1m)x2，(1m)x1mx2，且1,1，若|g()g()|<|g(x1)g(x2)|，求m的取值范圍。精品資料______________________________________________________________________________________________________________[解析] 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導數(shù)等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分 16分。（1）(i)f'(x)1b22x(x12(x2bx1)x(x1)1)∵x1時，h(x)10恒成立，x(x1)2∴函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)；(ii)（方法一）設(x)x2bx1(xb)21b2，(x)與f'(x)的符號相同。24當1b20,2b2時，(x)0，f'(x)0，故此時f(x)在區(qū)間(1,)上遞增；4當b2時，對于x1，有f'(x)0，所以此時f(x)在區(qū)間(1,)上遞增；當b2時，(x)圖像開口向上，對稱軸xb1，而(0)1，2對于x1，總有(x)0，f'(x)0，故此時f(x)在區(qū)間(1,)上遞增；（方法二）當b2時，對于x1，(x)x2bx1x22x1(x1)20所以f'(x)0，故此時f(x)在區(qū)間(1,)上遞增；當b2時，(x)圖像開口向上，對