控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述課件

1、狀態(tài)變量和狀態(tài)變量模型2、狀態(tài)空間表達式的建立3、狀態(tài)空間表達式的線性變換4、傳遞函數(shù)矩陣5、組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣第一章

控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述4/2/20231第一節(jié)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量和狀態(tài)變量模型4/2/20232動力學(xué)系統(tǒng)：能儲存輸入信息的系統(tǒng)，系統(tǒng)中要有儲能元件。[術(shù)語]：

狀態(tài)：指系統(tǒng)的運動狀態(tài)（可以是物理的或非物理的）。狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)記憶，t=t0時刻的初始狀態(tài)能記憶系統(tǒng)在t<to時的全部輸入信息。狀態(tài)變量：完全描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。完全描述：如果給定t=t0時刻這組變量值，和t>=t0時輸入的時間函數(shù)，那么，系統(tǒng)在t>=t0任何瞬間的行為就完全確定。最小個數(shù)：意味著這組變量是互相獨立的。減少變量，描述不完整，增加則一定存在線性相關(guān)的變量，毫無必要。4/2/20233狀態(tài)方程：由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程。反映系統(tǒng)中狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系，也反映每個狀態(tài)變量對時間的變化關(guān)系。方程形式如下：其中n是狀態(tài)變量個數(shù)，r是輸入變量個數(shù)；是線性或非線性函數(shù)。通式為：4/2/20235將通式化為矩陣形式有：其中：4/2/20236輸出方程：在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的函數(shù)關(guān)系。反映系統(tǒng)中輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系。方程形式如下：其中n是狀態(tài)變量個數(shù)，r是輸入變量個數(shù)，m是輸出變量個數(shù)，是線性或非線性函數(shù)。通式為：4/2/20237(2)狀態(tài)空間表達式非唯一性,這是和傳遞函數(shù)明顯區(qū)別的地方。狀態(tài)變量非唯一，導(dǎo)致矩陣A,B,C,D非唯一。(1)為描述系統(tǒng)方便，經(jīng)常用代表一個動力學(xué)系統(tǒng)。[說明]：動態(tài)方程或狀態(tài)空間表達式：將狀態(tài)方程和輸出方程聯(lián)立，就構(gòu)成動態(tài)方程或狀態(tài)空間表達式。一般形式如下：其中：A、B、C、D矩陣含義同上。4/2/20239(3)定常系統(tǒng)：A,B,C,D各元素與時間無關(guān)；時變系統(tǒng)：A,B,C,D中的各元素一部分或全部是時間的函數(shù)；

定常系統(tǒng)；時變系統(tǒng)(5)系統(tǒng)輸出與狀態(tài)的區(qū)別：系統(tǒng)輸出：希望從系統(tǒng)中測得的信息，物理上可以量測到；系統(tǒng)狀態(tài)：描述系統(tǒng)內(nèi)部行為的信息，物理上不一定可觀測。(4)非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式：和是x與u的某類非線性函數(shù)。可以用線性系統(tǒng)來近似。4/2/202310由電路知識，可列出以下方程：[例]用RLC網(wǎng)絡(luò)說明如何用狀態(tài)變量描述動力學(xué)系統(tǒng)。狀態(tài)變量的性質(zhì)（1）狀態(tài)變量的選擇不是唯一的，但個數(shù)是唯一的。線性非奇異變換是最直接的佐證。（2）狀態(tài)變量的個數(shù)等于系統(tǒng)獨立的儲能元件的個數(shù)。（3）狀態(tài)變量可以完整地描述系統(tǒng)的時域行為。4/2/202311常用符號：[系統(tǒng)動態(tài)方程的模擬結(jié)構(gòu)圖]：積分器比例器加法器注：1、積分器個數(shù)與狀態(tài)變量個數(shù)一致。2、加法器不標(biāo)“＋”、“－”號，一律默認為加法“＋”。[小結(jié)]：模擬結(jié)構(gòu)圖：4/2/202313第二節(jié)狀態(tài)空間表達式的建立1、由系統(tǒng)物理機理建立動態(tài)方程2、由微分方程建立動態(tài)方程3、由傳遞函數(shù)建立動態(tài)方程（系統(tǒng)實現(xiàn)問題）4、由結(jié)構(gòu)圖建立動態(tài)方程4/2/202314[狀態(tài)變量的選取]：建立狀態(tài)空間表達式的前提系統(tǒng)儲能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其各階導(dǎo)數(shù)使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量（對角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）一、從系統(tǒng)物理機理建立動態(tài)方程系統(tǒng)分析和設(shè)計步驟：（與古典控制的相似性）建立狀態(tài)空間表達式，定量分析，定性分析，設(shè)計4/2/2023152）根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2個回路的微分方程：整理得：4/2/2023173）狀態(tài)空間表達式為：4/2/202318[例]R-C-L網(wǎng)絡(luò)如圖2所示。e(t)-輸入變量，-輸出變量。試求其狀態(tài)空間描述[解]：1.)確定狀態(tài)變量兩個儲能元件C和L，故選和為狀態(tài)變量，組成狀態(tài)向量x=[]R1LucuR2R2ciciL圖24/2/202319右電路圖可知:所以輸出方程為：所以系統(tǒng)各矩陣為：4/2/202321[例]試列出在外力f作用下，以質(zhì)量的位移為輸出的動態(tài)方程。[解]：該系統(tǒng)有四個獨立的儲能元件。取狀態(tài)變量如下：質(zhì)量塊受力圖如下：4/2/202322則有：及：將所選的狀態(tài)變量代入上式并整理出狀態(tài)方程得：輸出方程：狀態(tài)方程：4/2/202323二、由微分方程寫動態(tài)方程——可以轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為在經(jīng)典控制理論中,控制系統(tǒng)的時域模型為：解決問題:選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量,并由定出相應(yīng)的系數(shù)矩陣A、B、C、D.兩類問題：1、微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項2、微分方程中包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項注：此處僅討論SISO系統(tǒng)，MIMO系統(tǒng)見傳遞函數(shù)最小實現(xiàn)。4/2/202325微分方程形式:1、微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項（無零點）2）將上兩邊對t求導(dǎo)，化為狀態(tài)變量的一階微分方程組。1）選擇狀態(tài)變量.若給定初始條件則系統(tǒng)行為被完全確定。故選擇為系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量——輸出及其各階導(dǎo)數(shù)令:4/2/202326[例]設(shè)系統(tǒng)輸入-輸出微分方程為下式，求其狀態(tài)空間表達式。[解]：若選，可導(dǎo)出系數(shù)矩陣A，B，C

模擬結(jié)構(gòu)圖4/2/2023292、微分方程中包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項

（傳函有零點，兩種實現(xiàn)方法）微分方程形式：第一種方法：取拉氏變換后，用傳遞函數(shù)的可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)第二種方法：用可觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)注：兩種方法見傳遞函數(shù)的直接實現(xiàn)一節(jié)。4/2/202330三、由傳遞函數(shù)列寫狀態(tài)空間表達式傳遞函數(shù)的實現(xiàn)方式：1）直接分解（可控標(biāo)準(zhǔn)型、可觀標(biāo)準(zhǔn)型）2）串聯(lián)分解3）并聯(lián)分解（對角線標(biāo)準(zhǔn)型、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）注：傳遞函數(shù)實現(xiàn)方法很多，為了和第3章傳遞函數(shù)（陣）的最小實現(xiàn)相結(jié)合，此處給出幾種和教材不同的實現(xiàn)方法。4/2/2023311、[直接分解的實現(xiàn)]：（可控標(biāo)準(zhǔn)型、可觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)）引入中間變量，有：令：傳遞函數(shù)為：1）可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)步驟：注意：如果分母中的系數(shù)不為1，則先化為1。4/2/202332選擇狀態(tài)變量如下：對應(yīng)的微分方程分別為（（2）式左邊不含有導(dǎo)數(shù)項）：則：4/2/202333寫成矩陣形式有：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型，見后。當(dāng)時有：4/2/202334模擬結(jié)構(gòu)圖為：4/2/202335[例]：求的狀態(tài)空間表達式。[解]：分子、分母同除以4得：可得：4/2/202336對應(yīng)的微分方程為：注意：如果分母中的系數(shù)不為1，則先化為1。2）可觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)步驟：（略，課后練習(xí)）傳遞函數(shù)為：4/2/202337狀態(tài)變量選擇如下：整理可得：4/2/202338寫成矩陣形式有：第二能觀標(biāo)準(zhǔn)型（對偶于第二能控標(biāo)準(zhǔn)型），見后。當(dāng)時有：4/2/202339模擬結(jié)構(gòu)圖為：4/2/202340[例]：求的狀態(tài)空間表達式。[解]：分子、分母同除以4得：可得：4/2/202341預(yù)備知識：兩個典型一階子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及其狀態(tài)空間描述思路：首先整理上式得：1）既有零點也有極點2、[串聯(lián)分解的實現(xiàn)]：（傳遞函數(shù)由零極點形式給出）4/2/202342

模擬結(jié)構(gòu)圖：（1）令則：對上兩式進行拉氏反變換，可得到如下的狀態(tài)空間描述：(1)4/2/202343（2）令模擬結(jié)構(gòu)圖：說明：再次表明了狀態(tài)空間描述的非唯一性對上兩式進行拉氏反變換，得到如下的狀態(tài)空間描述：(2)則：4/2/2023442）

模擬結(jié)構(gòu)圖：無零點，僅有極點（1）令則：對上兩式進行拉氏反變換，可得到如下的狀態(tài)空間描述：(3)4/2/202345（2）令

模擬結(jié)構(gòu)圖：說明：無零點與有零點的不同，D＝0。以上變換等同于傳遞函數(shù)的有效變換。則：對上兩式進行拉氏反變換，可得到如下的狀態(tài)空間描述：(4)4/2/202346[串聯(lián)分解的實現(xiàn)]：1）對傳遞函數(shù)進行因式分解；2）畫模擬結(jié)構(gòu)圖，并選擇狀態(tài)變量；（使用預(yù)備知識講述的兩種子系統(tǒng)，并從右至左對每個子系統(tǒng)選擇狀態(tài)變量x1、x2、x3、…。）3）由模擬結(jié)構(gòu)圖直接得到狀態(tài)空間表達式。解題步驟：4/2/202347[例]求以下傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間表達式。[解]：1）首先進行因式分解，得到：2）畫模擬結(jié)構(gòu)圖：4/2/2023483）寫出動態(tài)方程：說明：

根據(jù)3個子系統(tǒng)分配的位置不同，可以寫出不同的動態(tài)方程4/2/2023493、[并聯(lián)分解的實現(xiàn)]：對角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型不失一般性，討論此系統(tǒng)：也有一個k重極點：分析：既有互異極點：實現(xiàn)方法：整理得：4/2/202350（1）對于互異極點部分：令拉氏反變換可得：系數(shù)為待定系數(shù)，其中，采用留數(shù)定理計算：4/2/202351（2）對于重極點部分：令則：聯(lián)立上兩式得：拉氏反變換可得：聯(lián)立(1)、(2)、(4)可得：4/2/202352由(3)、(6)、(7)可得狀態(tài)空間描述為：4/2/202353模擬結(jié)構(gòu)圖為：4/2/202354[例]設(shè),試求其狀態(tài)空間描述。[解]:因式分解得,故求得系數(shù)c為狀態(tài)空間描述為：4/2/202355四、由結(jié)構(gòu)圖求動態(tài)方程［例］：結(jié)構(gòu)圖如下：［關(guān)鍵］：利用串聯(lián)分解中的預(yù)備知識，將積分部分單獨表述出來，對結(jié)構(gòu)圖進行等效變換。等效變換如下：4/2/202356圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖：則有：寫成矩陣形式：4/2/202357由系統(tǒng)的機理列寫動態(tài)方程：

—物理方程的列寫，狀態(tài)變量的選擇（任意，個數(shù)確定）由微分方程寫動態(tài)方程：

—不含輸入導(dǎo)數(shù)項：選輸出及其各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量；

—含有輸入導(dǎo)數(shù)項：能觀標(biāo)準(zhǔn)型或轉(zhuǎn)變?yōu)閭鬟f函數(shù)后，用能控標(biāo)準(zhǔn)型；由傳遞函數(shù)求動態(tài)方程：（特殊形式：標(biāo)準(zhǔn)型）

—三種實現(xiàn)方式，直接、并聯(lián)或串聯(lián)實現(xiàn)由結(jié)構(gòu)圖求動態(tài)方程：

—將結(jié)構(gòu)圖等效為比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的形式，選擇積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量[小結(jié)]:4/2/202358第三節(jié)動態(tài)方程的線性變換1、將狀態(tài)空間表達式變換成對角線標(biāo)準(zhǔn)型2、將狀態(tài)空間表達式變換成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型3、將狀態(tài)空間表達式變換成能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)型4/2/202359[線性非奇異變換]：含義：如果P是一個非奇異陣，則將變換稱為線性非奇異變換。滿足：疊加原理齊次性條件用途：通過線性變換，可將狀態(tài)方程變成對角線或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。[系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性]：含義：同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量可通過線性變換互相得到。4/2/202360兩組狀態(tài)變量的關(guān)系：其中：P不同則得到不同的。[例]：關(guān)于非奇異變換陣和狀態(tài)方程的非唯一性考慮系統(tǒng)為：非奇異變換后4/2/2023611）若選非奇異變換陣P為：結(jié)論：不同的非奇異變換陣，對應(yīng)不同的狀態(tài)方程，非唯一性2）若選非奇異變換陣P為：對角線矩陣4/2/202362對于系統(tǒng)矩陣A，若存在一非零向量，使得：[系統(tǒng)的特征值和特征向量]則：矩陣A的特征值（A特征方程的根）矩陣A的特征方程矩陣A的特征矩陣矩陣A對應(yīng)于特征值的特征向量矩陣A的特征多項式使，則稱為A的對應(yīng)于的特征向量。設(shè)為A的一個特征值，若存在某個n維非零向量由定義知：4/2/2023631）一個n維系統(tǒng)的方陣A，有且僅有n個獨立的特征值。[特征值及傳遞函數(shù)陣的性質(zhì)]：3）對系統(tǒng)作線性非奇異變換，其特征值和傳遞函數(shù)陣不變。2）A為實數(shù)方陣，則n個特征值或為實數(shù)，或為共軛復(fù)數(shù)對。系統(tǒng)2:特征多項式，傳遞函數(shù)陣系統(tǒng)1:特征多項式，傳遞函數(shù)陣則：且其中：特征值和傳遞函數(shù)陣的不變性，證明作為課后練習(xí)。（注：傳遞函數(shù)陣的不變性等到第4節(jié)講完后，再行證明）4/2/2023645）若系統(tǒng)矩陣A具有形式：則其特征多項式為：特征方程為：4）設(shè)為系統(tǒng)矩陣A的特征值,是A屬于特征值的特征向量。當(dāng)兩兩相異時，線性無關(guān)，因此由這些特征向量組成的矩陣P必是非奇異的。4/2/202365[特征向量的計算]：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對于每個特征值，計算其特征向量。注意：對于每個特征值，其獨立特征向量個數(shù)為矩陣特征值的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)：矩陣重特征值的總重數(shù)，稱為的代數(shù)重數(shù)，如3重特征值的代數(shù)重數(shù)為3。稱為的幾何重數(shù)(即獨立特征向量個數(shù))。循環(huán)矩陣：滿足以下條件的矩陣：即矩陣所有互不相同的特征值，各自只對應(yīng)一個線性獨立的特征向量。或者其所有特征值的幾何重數(shù)都為1，即，只要有一個重特征值，其幾何重數(shù)大于1，就是非循環(huán)矩陣。矩陣A為循環(huán)矩陣的條件：1）A的所有特征值互異；2）A有重特征值，但所有重特征值的幾何重數(shù)都為1。4/2/202366[例]：求下列矩陣A的特征向量。[解]：1)計算特征值A(chǔ)的特征方程為：A的特征值：,，2）計算特征向量特征向量：特征向量：特征向量：4/2/202367一、將狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型1、狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）每個特征值，計算其特征向量。由此組成非奇異變換陣P?；癁閷蔷€標(biāo)準(zhǔn)型的條件：1）A的所有特征值互異；2）A有重特征值，但所有重特征值的幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)相等。即特征值的代數(shù)重數(shù)和它對應(yīng)的獨立特征向量數(shù)相等。在這兩種情況下，A獨立的特征向量的個數(shù)仍然為n個。，2個獨立特征向量，1個獨立特征向量4/2/202368定理1：對于線性定常系統(tǒng)，如果A特征值互異，則必存在非奇異變換矩陣P，通過變換，將原狀態(tài)方程化為對角線規(guī)范形式。其中：證明：1）找非奇異變換陣由特征值性質(zhì)4)知，由A特征向量構(gòu)成的矩陣是非奇異的，故可選P為變換陣。3）由變換矩陣P和矩陣A，B，C求出，其中對角陣可以由特征值直接寫出，只需求出即可。4/2/2023692）求上式兩端左乘得：證畢！特征值定義4/2/202370[例]線性定常系統(tǒng)，其中：將此狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型.當(dāng)時，2)確定非奇異矩陣P[解]:1)求其特征值:4/2/202371取:當(dāng)時，取:同理當(dāng)時，得:4/2/2023723）求對角線標(biāo)準(zhǔn)型為：4/2/202373證明：略(提示，根據(jù)特征值和特征向量的定義證明)。定理2：對線性定常系統(tǒng)，如果其特征值互異，且系數(shù)矩陣A是以上的友矩陣，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異矩陣P是一個范德蒙矩陣，具有如下形式：4/2/202374[例]：線性定常系統(tǒng)，其中將狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型.[解]：1）確定系統(tǒng)特征值.由特征值性質(zhì)5）有：得：4/2/2023752)確定非奇異變換陣P說明：的另一種求法：求得特征值后，可以直接寫出對角線標(biāo)準(zhǔn)型的，所以可以用待定系數(shù)法求得。所以A和已知，可以解出4/2/202376故在本例中：由上式得：求得：4/2/2023773)求系統(tǒng)狀態(tài)方程對角線標(biāo)準(zhǔn)型為：4/2/202378二、將狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（系統(tǒng)具有重特征根）注：以后不特別指明，A的每個重特征值各自僅對應(yīng)一個獨立的特征向量，等同于每個約當(dāng)塊僅有一個線性獨立的特征向量。此時進行線性變換，需增加廣義特征向量，來構(gòu)成Q變換陣。，1個獨立特征向量，1個獨立特征向量化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的條件：A有重特征值，且A特征值對應(yīng)的獨立特征向量的個數(shù)小于n。即A的某些重特征值，其幾何重數(shù)小于其代數(shù)重數(shù)。A有重特征值，且A特征值對應(yīng)的獨立特征向量的個數(shù)小于n。4/2/2023791、約當(dāng)矩陣定義：約當(dāng)塊：約當(dāng)矩陣：由約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角線矩陣。其中：是約當(dāng)塊塊數(shù)，等于獨立特征向量的個數(shù)。即每個約當(dāng)塊有且僅有一個線性獨立的特征向量。由此看出，對角陣是一種特殊形式的約當(dāng)矩陣。4/2/202380說明：對角線標(biāo)準(zhǔn)型：各狀態(tài)變量間是完全解耦的。約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：各狀態(tài)變量間最簡單的耦合形式，每個變量至多和下一個變量有關(guān)聯(lián)。條件：約當(dāng)塊階數(shù)等于特征值重數(shù)的條件是——對應(yīng)該重特征值的獨立特征向量的個數(shù)為1個，即。每個獨立特征向量對應(yīng)一個約當(dāng)塊。例如：當(dāng)某個重特征值的重數(shù)為3，而對應(yīng)于該特征值的獨立特征向量數(shù)為2時，約當(dāng)塊塊數(shù)為2。此時：某個重特征值對應(yīng)多個約當(dāng)塊4/2/202381其中：2、變換矩陣Q的確定：討論的前提：每個重特征值只對應(yīng)一個獨立特征向量的情況，只有一個約當(dāng)塊。假設(shè)系統(tǒng)有個特征值。則：4/2/202382關(guān)鍵：要確定Q，必須推導(dǎo)出，目的是確定個廣義特征向量推導(dǎo)過程：將式(1)代入(4)得：即：將(2)(3)代入上式(6)得：4/2/202383由式(7)可以解出：其中：對應(yīng)于的特征向量，其余為廣義特征向量。這些向量構(gòu)成。即：4/2/202384陣的求法分為兩塊，一塊是互異部分；另一塊是重根部分。則的求法為：由此求得：[結(jié)論]：Q的求解步驟假設(shè)系統(tǒng)有m個重特征根，其余為n-m個互異特征根，則上式中，為重根對應(yīng)的特征向量； 為互異特征根對應(yīng)的特征向量。設(shè)：4/2/2023853、狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對于每個特征值，計算其特征向量，對于重特征值，還要計算其廣義特征向量。并由此組成非奇異變換陣Q。3）由變換矩陣Q和矩陣A，B，C求出，其中約當(dāng)矩陣可以由特征值直接寫出，只需求出即可。[例]：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：將此化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型.4/2/202386[解]:1)確定系統(tǒng)特征值2)確定系統(tǒng)特征向量，得到Q4/2/202387所以：3）求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為：，其中如上。4/2/202388[例]：試將下列狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：[解]：求特征值：另一廣義特征向量：（二重根）時的特征向量為：特征向量：4/2/202389有：4/2/202390定理：如果系數(shù)矩陣A是友矩陣如果其特征值是m重根，是兩兩相異的，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為Jordan約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異矩陣Q，其形式為：[小結(jié)]：4/2/202391第四節(jié)傳遞函數(shù)矩陣4/2/202392一、傳遞函數(shù)陣的引入：2）MIMO系統(tǒng)，多輸入對多輸出，故引入傳遞函數(shù)陣G(s)，G(s)是一個矩陣，可以表征多個輸入對系統(tǒng)輸出的影響；狀態(tài)空間表達式：二、傳遞函數(shù)陣定義：根據(jù)傳遞函數(shù)定義，式(1)拉氏變換，并令，得式(2)：1）SISO系統(tǒng)，一輸入對一輸出，用傳遞函數(shù)G(s)描述，G(s)是一個元素；整理（2）式得