2016-2020年高考理科數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)試題分析及教學(xué)對(duì)策研究 -以全國(guó)Ⅰ卷為例

2020Ⅰ2016-2020Ⅰ本科畢業(yè)綜合訓(xùn)練Ⅱ摘要概率與統(tǒng)計(jì)在高考試題中有著越來(lái)越重要的位置。高中階段的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)不僅是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要組成部分，同時(shí)也是大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用．本文對(duì)2016—2020年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷(理科)中的“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行分析，從試題的難度、分布、題型等方面，探索試題的規(guī)律和特點(diǎn)。并針對(duì)試題的特點(diǎn)探究相關(guān)教學(xué)對(duì)策和方法。關(guān)鍵詞：教學(xué)對(duì)策；概率與統(tǒng)計(jì)；試題分析；題型分布；高考試題AbstractProbabilityandstatisticsplayanincreasinglyimportantroleinthecollegeentranceexamination.Theknowledgeofprobabilityandstatisticsinseniorhighschoolisnotonlyanimportantpartofseniorhighschoolmathematicscurriculum,butalsothebasisofUniversityprobabilityandstatisticslearning,whichplaysaconnectingroleBasedontheanalysisofthe"probabilityandstatistics"testquestions,thispaperexplorestherulesandcharacteristicsofthetestquestionsfromtheaspectsofdifficulty,distributionandtypes.Andaccordingtothecharacteristicsofthetestquestionstoexploretherelevantteachingcountermeasuresandmethods.Keywords:teachingstrategies;probabilityandstatistics;analysisoftestquestions;Thedistributionofquestiontypes;Collegeentranceexaminationquestions目錄TOC\o"1-3"\u摘要 IAbstract II0引言 11歷年全國(guó)I卷概率與統(tǒng)計(jì)試題分析 11.1 歷年試題題型分布分析： 11.2歷年選擇題及填空題考察知識(shí)點(diǎn)及能力分析： 21.3歷年簡(jiǎn)答題考察知識(shí)點(diǎn)及能力分析： 32課堂教學(xué)的啟示 52.1歷年典型試題分析： 52.1.1與數(shù)學(xué)文化相結(jié)合的問(wèn)題 62.1.2綜合性較強(qiáng)的決策問(wèn)題 82.2課堂教學(xué)對(duì)策 113小結(jié) 12參考文獻(xiàn) 14第第1-頁(yè)共18頁(yè)P(yáng)AGE0引言統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué)，概率的概念是數(shù)據(jù)分析的理論基礎(chǔ)，貫穿數(shù)據(jù)分析的整個(gè)過(guò)程，是數(shù)據(jù)分析各階段的思想基礎(chǔ)．高中階段的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)不僅是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要組成部分，同時(shí)也是大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用．?dāng)?shù)學(xué)高考試題的分析研究歷來(lái)都是數(shù)學(xué)教育方面的專家、學(xué)者以及廣大中學(xué)教師研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷理科試題中，“概率統(tǒng)計(jì)”解答題是考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，主要是通過(guò)概率與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，考查考生閱讀理解、數(shù)據(jù)的分析與處理、以及運(yùn)算求解等能力．2017年、2018年、2019年、2020年全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)中，概率統(tǒng)計(jì)解答題分別位于19、20、21、19題的位置，尤其是2019年，它取代了導(dǎo)數(shù)試題而成為壓軸題，這意味著難度有了一定的增加,已逐漸成為高考試題不可或缺的一部分。綜上可知，概率與統(tǒng)計(jì)在高考試題中有著越來(lái)越重要的位置。為了對(duì)高考試題中“概率與統(tǒng)計(jì)”試題內(nèi)容的規(guī)律與特點(diǎn)進(jìn)一步研究，本文在上述研究的基礎(chǔ)上，對(duì)2016—2020年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷(理科)中的“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行分析，探索試題的分布規(guī)律和特點(diǎn)。并針對(duì)試題的特點(diǎn)探究相關(guān)教學(xué)對(duì)策和方法。歷年全國(guó)I卷概率與統(tǒng)計(jì)試題分析1.1歷年試題題型分布分析數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷試卷中主要有3種題型,每種題型有其各自特點(diǎn),通過(guò)整2016——2020年的理科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷,可以看出概率與統(tǒng)計(jì)是2016——2020年高考理科全國(guó)卷的試題中考查的重點(diǎn)內(nèi)容,試卷的3種題型中均考查了概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn),但主要在選擇題和解答題中考查,填空題考查次數(shù)較少。并且從不同的的角度,發(fā)現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)的題型,有以下特點(diǎn):（1）試題形式固定,試題數(shù)量穩(wěn)定.歷年的選擇題數(shù)量大多為1道。解答題每年均有1道題，填空題考查的較少只有在2018年和2019年各出現(xiàn)了1道題。所以從歷年的試題來(lái)看，概率與統(tǒng)計(jì)試題每卷三道題左右,共計(jì)13道題,題型分布如表1所示。（2）由表1可知,解答題數(shù)量一般是和選擇題、填空題數(shù)量的一半,從題型角度看,5套試卷每卷兩題,選擇題中共計(jì)6題,分值是是5分;填空題僅有2題,分值也是5分;至于解答題則每卷必考1題,分值12分.每份卷子中概率與統(tǒng)計(jì)試題的分值在17分到27分，占考試總分的11.3%-18%.總之,概率與統(tǒng)計(jì)方面的試題在選擇題與填空題方面出現(xiàn)題量差異較大,而在解答題的題量方面保持穩(wěn)定.由此可見(jiàn),概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)是高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.表1試題題型分布的情況試題類型選擇題填空題解答題總分值2016年101172017年101172018年211272019年111222020年10117總計(jì)9251.2歷年選擇題及填空題考察知識(shí)點(diǎn)及能力分析：通過(guò)如表2的歸納分析對(duì)2016—2020年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷中“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行總體分析可以看出,概率統(tǒng)計(jì)選擇及填空題常考的知識(shí)點(diǎn)主要集中在：1、幾何概型（3次）2、古典概型（2次）。綜上所述，概率與統(tǒng)計(jì)選擇或填空題主要考查兩方面，一是基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況;二是對(duì)圖形的相關(guān)知識(shí)及分析與理解的能力，以及抽象概括與運(yùn)算求解的能力。且考查的知識(shí)點(diǎn)比較單一，難度也一般屬于中等偏下。表2選擇題及填空題歷年知識(shí)點(diǎn)的分布情況（單位：次）考點(diǎn)2016年2017年2018年2019年2020年總計(jì)1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣、用樣本估計(jì)總體0000002.數(shù)學(xué)期望、樣本方差0000003.頻率分布直方圖、頻率0000004.莖葉圖、柱形圖、折線圖、扇形圖0010015.平均數(shù)、樣本平均數(shù)0000006.散點(diǎn)圖判斷回歸方程、線性回歸方程0000117.相關(guān)系數(shù)、回歸方程進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)﹑獨(dú)立性檢驗(yàn)0000008.隨機(jī)事件的概率0001019.互斥事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)率、隨機(jī)變量概率00000010.古典概率00110211.幾何概型111003獨(dú)立事件的概率000000知識(shí)點(diǎn)總計(jì)11321分析比較歷年的選擇題，可以發(fā)現(xiàn)難度在逐漸的加大，并且將概率統(tǒng)計(jì)與古今中外的數(shù)學(xué)文化相結(jié)合。2016年的問(wèn)題背景是公交車發(fā)車問(wèn)題，與學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合。從2017年開(kāi)始根據(jù)2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透”這一原則在問(wèn)題背景中融入中國(guó)的太極和《周易》以及古希臘數(shù)學(xué)家希波拉克底。這使概率統(tǒng)計(jì)選擇題更加的靈活，也更具有趣味性。而歷年的填空題的問(wèn)題背景往往與中學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合，貼近學(xué)生的日常生活與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，更加考查數(shù)學(xué)應(yīng)用性。1.3歷年簡(jiǎn)答題考察知識(shí)點(diǎn)及能力分析概率統(tǒng)計(jì)的簡(jiǎn)答題相對(duì)于選擇填空題來(lái)說(shuō)難度較大。簡(jiǎn)答題考查的知識(shí)點(diǎn)比較廣泛，不僅僅考查單一知識(shí)點(diǎn)，試題綜合性較強(qiáng)。簡(jiǎn)答題往往將不同的知識(shí)點(diǎn)融入一道題目中，每大題一般有2-3個(gè)小題，每道題考查1-2個(gè)知識(shí)點(diǎn)。這就需要學(xué)生將概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)掌握充分，才能拿到較高的分值。2016年的試題將二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望與柱形圖相結(jié)合。2017年將正態(tài)分布、二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望和均值與標(biāo)準(zhǔn)差相結(jié)合，并在問(wèn)題背景中輔以大量的數(shù)據(jù)，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力。2018年除了考查了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率和二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望,也與n次函數(shù)的最值點(diǎn)做了結(jié)合，將倒數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)進(jìn)行結(jié)合。2019年概率統(tǒng)計(jì)試題與數(shù)列進(jìn)行結(jié)合，相對(duì)于2018年增加了難度。2020年則考查了獨(dú)立事件概率的計(jì)算。從上述分析中還可以發(fā)現(xiàn)，二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望在簡(jiǎn)答題中出現(xiàn)的頻率較高。將近幾年的概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)答題進(jìn)行比較（見(jiàn)表3），五年的簡(jiǎn)答題中有四年均涉及了決策問(wèn)題。2016年以機(jī)器零件的損壞為背景。2017年與2018年都是以產(chǎn)品生產(chǎn)線的抽樣為背景。2019年概率統(tǒng)計(jì)試題以兩種新藥的選取為背景。這些背景雖然貼合實(shí)際，但又與學(xué)生的日常生活相距較遠(yuǎn)。作為應(yīng)用性問(wèn)題，概率統(tǒng)計(jì)試題能夠考查考生的閱讀能力和提取關(guān)鍵信息的能力。概率統(tǒng)計(jì)題最大的特點(diǎn)就是收集并處理大量的數(shù)據(jù),從而探索數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)并進(jìn)行分析，對(duì)數(shù)據(jù)要進(jìn)行正確且有效的分析則是這一部分的重點(diǎn)。在通過(guò)對(duì)隨機(jī)事件中不確定因素發(fā)生的概率大小數(shù)量化，利用概率中數(shù)學(xué)期望和方差的思想計(jì)算出生產(chǎn)中的平均最大可能值以及發(fā)生的偏差的大小，進(jìn)而為生產(chǎn)生活提供更完善和全面的決策.在這些內(nèi)容理解透徹后,最重要的就是正確處理數(shù)據(jù)的過(guò)程,即對(duì)考生運(yùn)算能力與數(shù)據(jù)處理能力的考查.通過(guò)以上的分析不難看出，簡(jiǎn)答題中概率統(tǒng)計(jì)試題的難度在逐漸增加。并且漸漸不僅僅局限于考查概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)，將概率統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，例如等比數(shù)列的錯(cuò)位相減。注重考查學(xué)生知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)能力與創(chuàng)新思維能力。試題的篇幅相對(duì)于其他來(lái)說(shuō)也相對(duì)較長(zhǎng)，題干中的問(wèn)題條件表述復(fù)雜，這就需要考生具備較強(qiáng)的閱讀分析能力，并在短時(shí)間內(nèi)從題干中提取出有效的關(guān)鍵信息。概率與統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)答題是高考全國(guó)卷多年來(lái)重點(diǎn)考查的內(nèi)容，是考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的最佳素材。近五年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)答題背景源自生活實(shí)際，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用。廣大考生對(duì)試題背景熟悉，設(shè)問(wèn)新穎，有一定的綜合性與創(chuàng)新性。試題的解答綜合考查學(xué)生通過(guò)試題有效提取信息的能力、數(shù)據(jù)處理能力、抽象概括能力、推理論證能力、數(shù)學(xué)建模能力以及運(yùn)算求解能力等。表3歷年簡(jiǎn)答題比較分析年份題號(hào)問(wèn)題背景知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題意圖創(chuàng)新點(diǎn)201619機(jī)器零件的損壞二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望、柱形圖意在考查考生的邏輯推理能力和數(shù)據(jù)處理能力。將柱狀圖與二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望相結(jié)合201719零件生產(chǎn)線的抽樣檢查正態(tài)分布、二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望、均值與標(biāo)準(zhǔn)差意在考查考生的運(yùn)算能力和數(shù)據(jù)處理能力，提取和利用信息能力。將正態(tài)分布放人大題中進(jìn)行考查，注重考查考生的數(shù)據(jù)處理能力，所給題目信息量相對(duì)以較大.201820產(chǎn)品是否合格的檢驗(yàn)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率，二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望,n次函數(shù)的最值點(diǎn)意在考查考生的運(yùn)算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力，提取和利用信息能力。將導(dǎo)數(shù)與概率進(jìn)行結(jié)合考查.命題角度新穎，給人煥然一新的感覺(jué).201921治療疾病研發(fā)的新藥選擇離散型隨機(jī)變量的分布列，等比數(shù)列錯(cuò)位相減意在考查考生的邏輯推理能力和數(shù)據(jù)處理能力，提取和利用信息能力。將數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)進(jìn)行結(jié)合考查，出題思路新穎別致.202019三人羽毛球比賽的勝率獨(dú)立事件概率的計(jì)算意在考查考生的運(yùn)算能力和數(shù)據(jù)處理能力。關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，屬于中等題2課堂教學(xué)的啟示2.1歷年典型試題分析在對(duì)2016—2020年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷(理科)中的“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行分析，探索試題的分布規(guī)律和特點(diǎn)之后。結(jié)合教育實(shí)習(xí)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出解決概率統(tǒng)計(jì)試題的難點(diǎn)大致有以下幾點(diǎn)：對(duì)于相關(guān)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)掌握不充分，例如對(duì)方差概念理解不夠?qū)е率д`；對(duì)題目的分析不夠透徹，僅停留在試題的表面，對(duì)題目的本質(zhì)挖掘不透徹；數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及建立數(shù)學(xué)模型的能力不足，未能建立概率統(tǒng)計(jì)模型思想；試題的問(wèn)題背景的篇幅逐漸增大，無(wú)法迅速提取出有效信息；平時(shí)訓(xùn)練的中的試題難度、考查角度以及新穎程度均不如高考試題，從而缺乏對(duì)應(yīng)強(qiáng)度的訓(xùn)練，以至于面對(duì)高考試卷中的概率統(tǒng)計(jì)大題，無(wú)法迅速分析數(shù)據(jù)得到解題思路。接下來(lái)舉例分析考查頻率較高的幾類題型：選擇題中的與數(shù)學(xué)文化相結(jié)合的問(wèn)題和綜合性強(qiáng)的決策問(wèn)題。2.1.1與數(shù)學(xué)文化相結(jié)合的問(wèn)題美國(guó)著名數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家克萊因（M.Kline）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)在人類文明中一直是一種主要的文化力量，數(shù)學(xué)是一種理性精神?！睌?shù)學(xué)是人類精神文明的碩果，它不僅閃耀著人類智慧的光芒，而且它的發(fā)展也充分體現(xiàn)了人類為真理而生生不息、孜孜以求的精神。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)在各行各業(yè)中的應(yīng)用也日益廣泛。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是非常注重實(shí)用性的，《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》等書(shū)中記載的數(shù)學(xué)問(wèn)題基本上都是與人們的生產(chǎn)、生活實(shí)際相關(guān)的，實(shí)用性是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的典型特征。數(shù)學(xué)與人類的生產(chǎn)、生活緊密相關(guān)，生活中許多問(wèn)題都涉及數(shù)學(xué)，在這“數(shù)學(xué)化”日益加重的當(dāng)代社會(huì)，要提高國(guó)民的整體素質(zhì)，就應(yīng)該大力加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的教育，惟有這樣，數(shù)學(xué)的應(yīng)用才能成為人們的一種自覺(jué)行為，數(shù)學(xué)也才能真正成為國(guó)民的一種文化素養(yǎng)。

近年，數(shù)學(xué)文化的重視程度逐漸增加，高考全國(guó)卷的命題也越來(lái)越將數(shù)學(xué)文化融入到試題當(dāng)中去。例如2017年第五題的中國(guó)古代的太極圖，2018年第十題古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形還有2019年第五題《周易》中的六爻卦象。接下來(lái)就對(duì)這幾道試題做一個(gè)詳盡的分析。例1（2017年全國(guó)I（理科）卷）如圖1，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是圖SEQ圖\*ARABIC1A．14 C．12 B．π8 答案：B分析：該題考查的是面積型幾何概型的有關(guān)問(wèn)題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。由題意可知，此點(diǎn)取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個(gè)面積的比例。解析：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則圓的半徑為a2，正方形的面積為a2，圓的面積為12例2（2018年全國(guó)I（理科）卷）下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓組成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則圖SEQ圖\*ARABIC2A.p1=p2B.p1=答案:A解析:設(shè)AC=b,AB=c,BC=a，則有b2從而可以求得ΔABC的面積為S1黑色部分的面積為S=π(c=π?c其余部分的面積為S3所以有S1=S分析:該題考查的是面積型幾何概型的有關(guān)問(wèn)題，題中需要解決的是概率的大小，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關(guān)圖形的面積公式求得結(jié)果。例3我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是圖SEQ圖\*ARABIC3A.516 B.1132 C.2132答案:A解析:由題知，每一爻有2中情況，一重卦的6爻有26情況，其中6爻中恰有3個(gè)陽(yáng)爻情況有C63，所以該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率為C分析:本題主要考查利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計(jì)算是住店問(wèn)題，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻是相同元素的排列問(wèn)題，利用直接法即可計(jì)算．對(duì)利用排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題．本題是重復(fù)元素的排列問(wèn)題，所以基本事件的計(jì)算是“住店”問(wèn)題，滿足條件事件的計(jì)算是相同元素的排列問(wèn)題即為組合問(wèn)題．2.1.2綜合性較強(qiáng)的決策問(wèn)題目前的高考綜合題已經(jīng)由單純的知識(shí)疊加型轉(zhuǎn)化為知識(shí)、方法和能力綜合型尤其是創(chuàng)新能力型試題。綜合題是高考數(shù)學(xué)試題的精華部分，具有知識(shí)容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用以及要求考生具有一定的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力等特點(diǎn)。每個(gè)數(shù)學(xué)綜合題都是由一些特定的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言所組成。解綜合題往往需要較強(qiáng)的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。還需要有把普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力。概率統(tǒng)計(jì)試題新穎別致,能夠很好的考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)據(jù)處理與分析能力.依據(jù)近年的命題形式可以發(fā)現(xiàn)高考對(duì)概率統(tǒng)計(jì)大題的要求越來(lái)越高，另外，近兩年高考概率統(tǒng)計(jì)試題也呈現(xiàn)出了與其它模塊知識(shí)進(jìn)行交匯考查的情況.例1（2019?新課標(biāo)Ⅰ）21.為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得?1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得?1（1）求X的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，p表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8其中a=P(X=?1)假設(shè)α=0.5，β(i)證明：{p(ii)求p4，并根據(jù)p答案:（1）見(jiàn)解析；（2）（i）見(jiàn)解析；（ii）p4解析：（1）由題意可知X所有可能的取值為：?1，0，1∴PX=?1=1?αβ則X的分布列如下：X?101P1?ααβ+α（2）∵α=0.5，β=0.8∴a=0.5×0.8=0.4，b=0.5×0.8+0.5×0.2=0.5，c=0.5×0.2=0.1（i）∵即p整理可得：5∴i=0,1,2,???,7是以p1?p（ii）由（i）知：p∴p8?p作和可得：p∴∴p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p分析:本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解、利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列中的項(xiàng)的問(wèn)題.本題綜合性較強(qiáng)，先是將數(shù)列與概率進(jìn)行結(jié)合，考查了遞推數(shù)列和數(shù)列的證明.另外，最后一問(wèn)同樣設(shè)計(jì)了決策判斷問(wèn)題，通過(guò)對(duì)p.的求解，并需要“根據(jù)pa的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性”.要求學(xué)生能夠熟練掌握數(shù)列通項(xiàng)求解、概率求解的相關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力要求較高.（1）首先確定X所有可能的取值，再來(lái)計(jì)算出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列；（2）（i）求解出a,b,c的取值，可得pi從而整理出符合等比數(shù)列定義的形式，問(wèn)題得證；（ii）列出證得的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，采用累加的方式，結(jié)合p8和p0的值可求得p1本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解、利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列中的項(xiàng)的問(wèn)題.本題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生能夠熟練掌握數(shù)列通項(xiàng)求解、概率求解的相關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力要求較高.例3（2018年全國(guó)I（理科）卷）20.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？答案：(1)p0(2)（i）490.（ii）應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).解析：（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此.令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最大值點(diǎn)為.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).分析：2018年概率統(tǒng)計(jì)大題將導(dǎo)數(shù)與概率進(jìn)行結(jié)合，考查了超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的求導(dǎo)，求最大值點(diǎn)，另外，最后一問(wèn)對(duì)考生的統(tǒng)計(jì)決策思維進(jìn)標(biāo)，意在考查考生通過(guò)數(shù)據(jù)分析進(jìn)行推斷的能力。(1)利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，求得f(p)=C之后對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)，這里要注意0<p<1的條件；(2)先根據(jù)第一問(wèn)的條件，確定出p=0.1，在解（i）的時(shí)候,先求件數(shù)對(duì)應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望；在解（ii）的時(shí)候，就通過(guò)比較兩個(gè)期望的大小，得到結(jié)果.2.2課堂教學(xué)對(duì)策1.將概率統(tǒng)計(jì)課程與信息技術(shù)相結(jié)合中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)模塊的學(xué)習(xí)離不開(kāi)信息技術(shù)的支持，這是因?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)具有較高的抽象性。概率統(tǒng)計(jì)的課堂教學(xué)中需要進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)分析，這就需要我們使用信息技術(shù)來(lái)繪制統(tǒng)計(jì)圖表。大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)也可以通過(guò)信息技術(shù)的模擬，更加直觀和便捷，收集數(shù)據(jù)也更為方便。學(xué)習(xí)概率的統(tǒng)計(jì)的過(guò)程中也充斥著數(shù)學(xué)模型的建立，例如正態(tài)分布模型。由此可見(jiàn)，將信息技術(shù)融入課堂中以幫助教師更加清晰地向?qū)W生展示知識(shí)原理的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，從而可以提高課堂的效率，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶和理解。信息技術(shù)與枯燥的課本與文字相比，由于有趣活潑的動(dòng)畫(huà)效果、生動(dòng)直觀的彩色圖形，所以對(duì)學(xué)生更加具有吸引力。在課堂上利用信息技術(shù)，可以扭轉(zhuǎn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)乏味枯燥的印象，可以使學(xué)生們處于興奮狀態(tài)和積極的思維狀態(tài)，有利于學(xué)生注意力的集中，也能夠加強(qiáng)學(xué)生的記憶效率。2.重視數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用數(shù)學(xué)作為一門(mén)自然科學(xué)，不僅邏輯性和思維性較強(qiáng)，同時(shí)也具有悠久的歷史。因此，在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師也要有意識(shí)地加強(qiáng)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的滲透，使學(xué)生可以從數(shù)學(xué)的發(fā)展史中學(xué)到前人思考問(wèn)題的方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化功能。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，這對(duì)數(shù)學(xué)教師提出了新的要求——數(shù)學(xué)教師不僅要有基本教學(xué)技能和基本學(xué)科知識(shí)，同時(shí)也要認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)文化，明確數(shù)學(xué)文化對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的意義。教師可以在平時(shí)授課的過(guò)程中融入或者引申出有趣的數(shù)學(xué)文化，也可以在平時(shí)的訓(xùn)練與作業(yè)中加入數(shù)學(xué)文化的因素。這不但能夠讓學(xué)生提前適應(yīng)高考的題型，也可以讓學(xué)生更加了解數(shù)學(xué)的歷史與發(fā)展，了解數(shù)學(xué)概念定理的起源，更容易增加記憶點(diǎn)，同時(shí)還能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的博大精深與源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。3.注意題型的多樣性與綜合性數(shù)據(jù)處理在日常生活中的運(yùn)用非常廣泛。在中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)主要集中在概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)塊中。近些年的高考題中，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的考查要求逐漸提高，背景與題型變化多，且在加大綜合性方面進(jìn)行了探索，如2018年與導(dǎo)數(shù)結(jié)合、2019年與數(shù)列結(jié)合充當(dāng)壓軸題。對(duì)于學(xué)生的綜合分析能力的要求也逐漸提高。隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”、大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，人類進(jìn)入智能化時(shí)代后，對(duì)數(shù)學(xué)的分析處理應(yīng)用更是每個(gè)人都必須掌握的一種工作、生活的技能。我們的學(xué)習(xí)、工作和生活越來(lái)越離不開(kāi)數(shù)據(jù)，作為數(shù)據(jù)分析的理論基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的地位和作用也越發(fā)凸顯。因此我們要重視概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)，在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中注意題型的多樣性與綜合性，不要因?yàn)槠y而選擇性放棄，通過(guò)有效教學(xué)及訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生克服畏難情緒。趨勢(shì)越來(lái)越大，所以在進(jìn)行教學(xué)中,要注意將統(tǒng)計(jì)和概率的知識(shí)和其他的知識(shí)進(jìn)行結(jié)合,最簡(jiǎn)單的方式就是在講授新課的時(shí)候，要提前思考是否所要學(xué)習(xí)的知識(shí)能和統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，如果能結(jié)合的話,可以在課堂教學(xué)的時(shí)候就將知識(shí)進(jìn)行融合,讓學(xué)生直接接觸的就是融合的信息，以便在考場(chǎng)上看到問(wèn)題不會(huì)產(chǎn)生慌張的情緒4.提高將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的能力?？疾闊狳c(diǎn)中用回歸方程進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)、正態(tài)分布、方差等主要用于解決實(shí)際問(wèn)題.是提高綜合思維能力的重要途徑之一就是提高解決實(shí)際問(wèn)題能力。培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題能力是數(shù)學(xué)“四基”的要求之一,也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容.所以教師需要提高對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決能力,就要引導(dǎo)學(xué)會(huì)正確的處理數(shù)據(jù),增強(qiáng)對(duì)數(shù)據(jù)的直觀感覺(jué),認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn),體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用的廣泛性和對(duì)于決策的作用。5.加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力的訓(xùn)練近年的高考概率統(tǒng)計(jì)試題的背景篇幅逐漸增大，這就很考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力。這要求學(xué)生仔細(xì)閱讀文字材料后，能迅速?gòu)念}干中找出重點(diǎn)，理解題意，明白要求，并以此來(lái)提出方案，解決問(wèn)題。在中學(xué)數(shù)學(xué)教師的實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，往往會(huì)重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)、數(shù)學(xué)符號(hào)書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性，很少會(huì)重視數(shù)學(xué)能力的強(qiáng)調(diào)。因此教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該增加這方面的教學(xué)計(jì)劃的制訂。例如在課堂中使用的例題或是作業(yè)題中增加相應(yīng)的例題，引導(dǎo)學(xué)生掌握適合自己的閱讀策略等等。3小結(jié)概率與統(tǒng)計(jì)是初高中數(shù)學(xué)中四個(gè)重要的內(nèi)容之一，也是每年高考必考內(nèi)容之一，是一個(gè)?？嫉闹R(shí)點(diǎn)也是一個(gè)熱點(diǎn)，歷年在全國(guó)各地的高考題中所占的分量都較大,具體