線性代數(shù)與空間解析幾何改進(jìn)

金融數(shù)學(xué)教研室線性代數(shù)2.3線性方程組與初等變換方程組的同解變換（高斯消元法）引例同解變換其基本思想是通過(guò)消元變形，把方程組化成容易求解的同解方程組。方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系克拉默法則①②①②②-2①

③-3①

②+2①

③+3①

③×(1/3)③×3①-

②

①-

③

①+②

①+③

方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:一、矩陣的初等變換

定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．

用高斯消元法解線性方程組的過(guò)程實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于對(duì)其增廣矩陣施行初等行變換！1、在進(jìn)行線性方程組的求解中，只能對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，換言之，只有初等行變換才能保證方程組的同解性。2、初等變換后的矩陣跟原矩陣相等嗎？注意:矩陣的等價(jià)關(guān)系

如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B

就稱矩陣A與B等價(jià)記作A~B

特點(diǎn)：（1）可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階高度只跨一行;定義3行階梯形矩陣（3）階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元.下列矩陣是行階梯形矩陣嗎？不是是不是是行最簡(jiǎn)階梯形矩陣特點(diǎn)：1、首先應(yīng)是行階梯形矩陣；2、非零行的第一個(gè)非零元1；3、這些第一個(gè)非零元“1”所在的列的其它元素都為零。備注：行階梯形是不唯一，但行最簡(jiǎn)形是唯一的。是不是是下列矩陣是行最簡(jiǎn)階梯形矩陣嗎？定理2.3任意一個(gè)矩陣

A

經(jīng)過(guò)有限次初等變換，的矩陣，稱之為A的標(biāo)準(zhǔn)形.

總可以化為形如

方法：首先利用初等行變換化A為行階梯形，進(jìn)而化為行最簡(jiǎn)形，最后利用初等列變換化標(biāo)準(zhǔn)形。例例解線性方程組(1)解把增廣矩陣化行階梯形，進(jìn)而化行最簡(jiǎn)形行階梯形矩陣

行最簡(jiǎn)形矩陣

x1=-1,x2=-1,x3=-1定義2.4由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.二、初等矩陣要解決的問(wèn)題：1。初等矩陣有什么性質(zhì)？2。初等矩陣與初等變換有什么關(guān)系？1、初等矩陣有什么性質(zhì)？（1）初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣。（2）初等矩陣都是可逆矩陣，且逆矩陣還是初等矩陣。2、初等矩陣與初等變換有什么關(guān)系？由以上討論可得：定理2.3設(shè)A是m×n矩陣，則（1）對(duì)A施行一次初等行變換所得到的矩陣，等于用同種m階初等矩陣左乘A。（2）對(duì)A施行一次初等列變換所得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘A。:對(duì)換的

兩行；

:對(duì)換的

兩列．

：用非零數(shù)

乘

的第

行；

：用非零數(shù)乘

的第

列．

：的第

行乘以

加到第

行

;

：的第

列乘以

加到第

列．

總結(jié)：由前面知識(shí)可知：用初等變換標(biāo)準(zhǔn)形推論2.3證明由于初等矩陣均可逆,則從而r=n,證明:三、利用初等行變換求矩陣的逆

解例１解例2設(shè)矩陣A和B滿足關(guān)系式：

其中

求矩陣X.思考題

小結(jié)

1、初等變換：初等行變換和初等列變換

2、矩陣的三種形式