第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析

第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言2.2序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬

信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系2.5序列的Z變換2.6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性

信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法：時(shí)域分析方法和頻域分析方法。

在模擬領(lǐng)域中，信號(hào)用連續(xù)變量時(shí)間t的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。為了在頻率域進(jìn)行分析，用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時(shí)間域函數(shù)轉(zhuǎn)換到頻率域。在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中，信號(hào)用序列表示，其自變量僅取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無定義，而系統(tǒng)則用差分方程描述。頻域分析是用Z變換或傅里葉變換數(shù)學(xué)工具。2.1引言信號(hào)、系統(tǒng)分析信號(hào)在時(shí)間分布上的特性和運(yùn)算：直觀，物理概念會(huì)比較的清楚。分析信號(hào)在頻率分布上的特性和運(yùn)算：這給了我們換個(gè)視角觀察信號(hào)的機(jī)會(huì)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)許多在時(shí)間域上得不到的特性和運(yùn)算。時(shí)間域頻率域FT、ZTIFT、IZT一、序列分類對(duì)一個(gè)序列長度未加以任何限制，則一個(gè)序列可分為：

無限長序列：n=-∞~∞或n=0~∞或n=-∞~

0

有限長序列：0≤n≤N-1有限長序列在數(shù)字信號(hào)處理是很重要的一種序列。由于計(jì)算機(jī)容量的限制，只能對(duì)過程進(jìn)行逐段分析。二、DFT的引入

由于有限長序列(序列絕對(duì)可和)，引入DFT

(離散傅里葉變換)。

DFT它是反映了“有限長”這一特點(diǎn)的一種有用工具。

DFT變換除了作為有限長序列的一種傅里葉表示，在理論上重要之外，而且由于存在著計(jì)算機(jī)DFT的有效快速算法--FFT,

因而使離散傅里葉變換(DFT)得以實(shí)現(xiàn)，它使DFT在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心的作用。三、四種不同傅里葉變換對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)(FS):

連續(xù)時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換。連續(xù)傅里葉變換(FT):

連續(xù)時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT):離散時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換.離散傅里葉變換(DFT):

離散時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換1.傅里葉級(jí)數(shù)(FS)周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)非周期離散頻譜密度函數(shù)。周期為Tp的周期性連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)可展成傅里葉級(jí)數(shù)X(jkW0),是離散非周期性頻譜,表示為:FS例子通過以下變換對(duì)可以看出時(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù),而頻域的離散頻譜就與時(shí)域的周期時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng).(頻域采樣，時(shí)域周期延拓)2.連續(xù)傅里葉變換(FT)非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過連續(xù)傅里葉變換

(FT)得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。例子從以下變換對(duì)可以看出時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜,而是時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜.3.離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)非周期離散的時(shí)間信號(hào)DTFT(經(jīng)過單位圓上的z變換)得到周期性連續(xù)的頻率函數(shù)。例子同樣可看出,時(shí)域的離散造成頻域的周期延拓

,而時(shí)域的非周期對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)

.4.離散傅里葉變換(DFT)

上面討論的三種傅里葉變換對(duì),都不適用在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算,因?yàn)橹辽僭谝粋€(gè)域(時(shí)域或頻域)中,函數(shù)是連續(xù)的

.因?yàn)閺臄?shù)字計(jì)算角度,我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況,這就是我們這里要談到的離散傅里葉變換.周期性離散時(shí)間信號(hào)從上可以推斷：

周期性時(shí)間信號(hào)可以產(chǎn)生頻譜是離散的離散時(shí)間信號(hào)可以產(chǎn)生頻譜是周期性的。得出其頻譜為周期性離散的。也即我們所希望的。DFT的變換

總之，一個(gè)域的離散必然造成另一個(gè)域的周期延拓二、四種傅里葉變換形式的歸納時(shí)域頻譜周期離散非周期連續(xù)連續(xù)非周期離散周期時(shí)間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期（T0）非周期和離散(Ω0=2π/T0)離散（T）和非周期周期(ΩS=2π/T)和連續(xù)離散和周期周期和離散2.2序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)

2.2.1序列傅里葉變換的定義

定義(2.2.1)為序列x(n)的傅里葉變換，用DTFT表示（有時(shí)也稱FT）。

DTFT成立的充分必要條件是序列x(n)絕對(duì)可和，即滿足下式：(2.2.2)

DTFT反變換定義為：(2.2.4)(2.2.1)和(2.2.4)式組成一對(duì)傅里葉變換公式。一些絕對(duì)不可和的序列（如周期序列，不滿足絕對(duì)可和），其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來,即周期序列的傅里葉變換。（2.3節(jié)介紹）

【例2.2.1】設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。

解

當(dāng)N=4時(shí)，其幅度與相位隨頻率ω的變化曲線如圖2.2.1所示。2.2.2序列傅里葉變換的性質(zhì)1.DTFT的周期性在定義式(2.2.1)中，n取整數(shù)，下式成立：M為整數(shù)(2.2.6)序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。這樣X(ejω)可以展成傅里葉級(jí)數(shù)，(2.2.1)式就是傅里葉級(jí)數(shù)的形式，x(n)是其系數(shù)。由于FT的周期性，一般只分析±π或0~2π之間的FT(2.2.1)2.線性

則

設(shè)

式中a,b為常數(shù)。

3.時(shí)移與頻移

設(shè)X(ejω)=FT[x(n)]，則：(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)

）4.對(duì)稱性先了解共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱以及它們的性質(zhì)：定義：設(shè)序列xe(n)滿足xe(n)=x*e(-n)則稱xe(n)為共軛對(duì)稱序列。共軛對(duì)稱序列的性質(zhì)：將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示：xe(n)=xer(n)+jxei(n)

兩邊n用–n代替，并取共軛，得：

x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)

xer(n)=xer(-n)(2.2.11)

xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)

共軛對(duì)稱序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。兩式相等，對(duì)比得：實(shí)偶虛奇共軛反對(duì)稱序列的性質(zhì)：將x0(n)用實(shí)部與虛部表示：

xo(n)=xor(n)+jxoi(n)-x*o(-n)=-(xor(-n)-jxoi(-n))=-xor(-n)+jxoi(-n)

兩式相等，對(duì)比得：

xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)

xoi(n)=xoi(-n)(2.2.15)

共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。定義：滿足下式的序列稱共軛反對(duì)稱序列：

xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13)實(shí)奇虛偶

時(shí)域中，一般序列可用共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列之和表示，即：

x(n)=xe(n)+xo(n)=xe*(-n)-xo*(-n)(2.2.16)將(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共軛得到：

x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.2.17)

比較兩式，得：(2.2.18)

(2.2.19)

在頻域，函數(shù)X(ejω)也有類似的概念和結(jié)論：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)(2.2.20)

共軛對(duì)稱部分Xe(ejω)和共軛反對(duì)稱部分Xo(ejω)滿足：

Xe(ejω)=X*e(e-jω)(2.2.21)Xo(ejω)=-X*o(e-jω)(2.2.22)

同樣有下面公式：(2.2.23)

(2.2.24)

DTFT的對(duì)稱性

(a)

將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)

x(n)=xr(n)+jxi(n)

進(jìn)行FT，得：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)式中

xr(n)和xi(n)都是實(shí)數(shù)序列。Xe(ejω)具有共軛對(duì)稱性，其實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。Xo(ejω)具有共軛反對(duì)稱性質(zhì)，其實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。結(jié)論：

x(n)=xr(n)+jxi(n)

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)

(b)

將序列分成共軛對(duì)稱部分xe(n)和共軛反對(duì)稱部分xo(n)，即：

x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)

由(2.2.18)式和(2.2.19)式：

將上面兩式分別進(jìn)行FT，得：(FT［x*(-n)］=X*(ejω))

FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)

因此對(duì)(2.2.25)式進(jìn)行FT得到：

X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)(2.2.26)結(jié)論：

x(n)=xe(n)+xo(n)X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)總結(jié)時(shí)域頻域?qū)嵅抗曹棇?duì)稱虛部共軛反對(duì)稱共軛對(duì)稱實(shí)部共軛反對(duì)稱虛部x(n)=xe(n)+xo(n)X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)x(n)=xr(n)+jxi(n)

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)利用DTFT的對(duì)稱性，可得以下結(jié)論：（1）x(n)為實(shí)序列（xi(n)=0），得X(ejω)=Xe(ejω)為共軛對(duì)稱函數(shù)，即X(ejω)=X*(e-jω)（2）x(n)為實(shí)因果序列：實(shí)數(shù)x(n)=x*

(n），傅里葉變換只包含共軛對(duì)稱部分因?yàn)閤e(n)有實(shí)偶虛奇特點(diǎn)，xo(n)有實(shí)奇虛偶特點(diǎn)，所以對(duì)實(shí)因果序列而言虛部位0，xe(n)為x(n)的偶數(shù)部分，xo(n)為x(n)奇數(shù)部分，則有

x(n)=xe(n)+xo(n)，

x(-n)=xe(n)-xo(n)xe(n)=1/2[x(n)+x(-n)]

x

o(n)=1/2[x(n)-x(-n)]

如h(n)是實(shí)序列，則得到

h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］

ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因?yàn)閔(n)是實(shí)因果序列，按照上面兩式he(n)和ho(n)可以用下式表示：[例2.2.3]

x(n)=anu(n)，0<a<1，求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。

解：

x(n)=xe(n)+xo(n)xe(n)=1/2[x(n)+x(-n)]

x

o(n)=1/2[x(n)-x(-n)]5.時(shí)域卷積定理

設(shè)y(n)=x(n)*h(n),

則Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(2.2.32)

定理說明，兩序列卷積的FT，服從相乘的關(guān)系。對(duì)LTI系統(tǒng)，其輸出的FT等于輸入信號(hào)的FT乘以單位脈沖響應(yīng)的FT。因此求系統(tǒng)的輸出信號(hào)，

(1)可以在時(shí)域用卷積公式(1.3.7)；

(2)可以在頻域按照(2.2.32)式，求出輸出的FT，再作逆FT求出輸出信號(hào)。6.頻域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)·h(n)，則：(2.2.33)

定理說明，在時(shí)域兩序列相乘，對(duì)應(yīng)頻域?yàn)榫矸e關(guān)系。7.帕斯維爾(Parseval)定理

定理表明了時(shí)域能量和頻域能量的關(guān)系。這里頻域總能量是指|X(ejω)|2在一個(gè)周期中的積分再乘以1/(2π)。(2.2.34)序列傅里葉變換的性質(zhì)

2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)

及傅里葉變換表示式

2.3.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以N為周期的周期序列，由于周期性，可以展成傅里葉級(jí)數(shù)：(2.3.1)式中ak是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。-∞<k<∞(2.3.3)令：ak也周期為N的周期序列。(2.3.4)

上式中是一個(gè)以N為周期的周期序列，稱為的離散傅里葉級(jí)數(shù)，用DFS表示。(2.3.4)

兩式構(gòu)成一對(duì)DFS。

將周期序列分解成N次諧波：

基波分量的頻率是2π/N，幅度是。第k次諧波頻率為ωk=(2π/N)k,k=0,1,2…N-1，幅度為。所以：一個(gè)周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。

(2.3.6)(2.3.7)

[例2.3.1]設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS［］。解

其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。

2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式

設(shè)周期序列以N為周期，其FT為：(2.3.10)

上式中的()為單位沖激函數(shù)[(n)表示單位脈沖序列]。式中為周期序列的DFS。由于不滿足絕對(duì)可和條件，因此對(duì)周期序列求FT時(shí)，要先計(jì)算，再計(jì)算X(ejω)。序列傅里葉變換有限長序列的傅里葉變換周期序列的傅里葉變換（通過DFS，并引入奇異函數(shù)()

）其中為周期序列的DFS。時(shí)域連續(xù)信號(hào)傅里葉變換

表2.3.2基本序列的傅里葉變換[例2.3.3]

令，2π/ω0為有理數(shù)，求其FT。解：將用歐拉公式展開：由(2.3.9)式，得其FT：

cosω0n的FT，是在ω=±ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為π，且以2π為周期進(jìn)行延拓，如圖所示。

(2.3.9)

2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬

信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系

模擬信號(hào)xa(t)的一對(duì)傅里葉變換式定義如下：(2.4.1)(2.4.2)t與Ω(-∞,+∞)

采樣信號(hào)可用下式描述：的傅里葉變換為：模擬信號(hào)和采樣信號(hào)傅里葉變換的關(guān)系序列x(n)的一對(duì)傅里葉變換式為：(2.2.1)(2.2.4)

序列x(n)的FT----X(ejω)與模擬信號(hào)xa(t)的FT----Xa(jΩ)之間的關(guān)系為（ω=TΩ）：(2.4.7)

結(jié)論：序列的FT和模擬信號(hào)的FT之間的關(guān)系，與采樣信號(hào)和模擬信號(hào)的FT之間關(guān)系是一樣的，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T進(jìn)行周期延拓，頻率軸上取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系為ω=ΩT。模擬信號(hào)和序列傅里葉變換的關(guān)系2.5序列的Z變換2.5.1Z變換的定義

序列x(n)的Z變換定義為(2.5.2)模擬信號(hào)和系統(tǒng)中：傅里葉變換進(jìn)行頻域分析拉普拉斯變換是其推廣，對(duì)信號(hào)進(jìn)行復(fù)頻域分析時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中：序列的傅里葉變換進(jìn)行頻域分析Z變換是其推廣，對(duì)序列進(jìn)行復(fù)頻域分析單邊Z變換的求和限是從零到無限大，因此對(duì)于因果序列，用兩種Z變換定義計(jì)算出的結(jié)果是一樣的。如不另外說明，均用雙邊Z變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。雙邊Z變換單邊Z變換

Z變換存在的條件是|X(z)|有界，即等號(hào)右邊級(jí)數(shù)絕對(duì)可和：收斂域的定義：

對(duì)于序列x(n)，滿足

所有z值組成的集合稱為z變換F(z)的收斂域。

常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示：零點(diǎn)----分子多項(xiàng)式P(z)的根，極點(diǎn)-----分母多項(xiàng)式Q(z)的根。

要點(diǎn)：

x(n)Z變換[

X(z)，收斂域]即對(duì)一個(gè)確定的x(n)，其Z變換X(z)的表達(dá)式和收斂域是一個(gè)整體，二者共同、唯一確定x(n)。(2.5.4)

與序列的傅里葉變換定義式比較，得到FT和ZT之間的關(guān)系：

(2.2.1)

(2.5.1)式中z=ejω表示在z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。(2.5.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。傅里葉變換是Z變換的特例。如果已知序列的Z變換，可用上式方便的求出序列的FT，條件是收斂域中包含單位圓。[例2.5.1]

x(n)=u(n)，求其Z變換。解：|z|>1X(z)存在的條件是|z-1|<1，因此收斂域?yàn)閨z|>1，由X(z)表達(dá)式表明，極點(diǎn)是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓,因此其傅里葉變換不存在。該例說明一個(gè)序列的傅里葉變換不存在，在一定收斂域內(nèi)Z變換是存在的。

該序列的FT不存在，但如果引進(jìn)奇異函數(shù)δ(ω)，其傅里葉變換可以表示出來(見表2.3.2)。2.5.2序列特性對(duì)收斂域的影響

序列的特性決定其Z變換收斂域，了解序列特性與收斂域的一些關(guān)系，有助于Z變換的使用。x(n)n1≤n≤n2

x(n)=0其它其Z變換為：1.有限長序列如序列x(n)滿足：x(n)為有界序列，由于是有限項(xiàng)求和，整個(gè)z平面均收斂(可能除0與∞兩點(diǎn))。有限長序列的收斂域表示如下：n1<0，

n2≤0，0≤|z|＜∞:n1<0，n2>0，

0<|z|＜∞:n1≥0，n2>0，0<|z|≤∞:若：n1<0，可能為反因果序列或雙邊序列，則收斂域不包括z=∞點(diǎn)；若：n2>0，可能為因果序列或雙邊序列，則收斂域不包括z=0點(diǎn)；[例2.5.2]

求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。解：

這是一個(gè)因果的有限長序列，因此收斂域?yàn)?<z≤∞。從X(z)的分母看到z=1似乎是X(z)的極點(diǎn)，但同時(shí)分子多項(xiàng)式在z=1時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)，極零點(diǎn)對(duì)消，X(z)在單位圓上仍存在，所以收斂域包含z=1（0<z≤∞）。2.右序列右序列是在n≥n1時(shí)，序列值不全為零，而在n<n1

時(shí)，序列值全為零的序列。如果n1>=0,則為因果序列，收斂域定為R<|z|≤∞，圓外區(qū)域。

例2.5.3求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域解：

在收斂域中必須滿足|az-1|<1，因此收斂域?yàn)閨z|>|a|。

-1

如果n2<0,則為反因果序列，其收斂域?yàn)?≤|z|<R，圓內(nèi)區(qū)域。3.左序列左序列是在n≤n2時(shí)，序列值不全為零，而在n>n2，序列值全為零的序列。其Z變換為：

例2.5.4

求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。X(z)存在要求|a-1z|<1，即收斂域?yàn)閨z|<|a|4.雙邊序列一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和，其Z變換為：X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域。如果R1>R2，其收斂域?yàn)镽1<|z|<R2

，這是一個(gè)環(huán)狀域如果R1<R2

，兩個(gè)收斂域沒有公共區(qū)域，X(z)沒有收斂域，因此，X(z)不存在。

[例2.5.5]

x(n)=a|n|,a為實(shí)數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。解第一部分收斂域?yàn)閨az|<1，得|z|<|a|－1;第二部分收斂域?yàn)閨az－1|<1,得到|z|>|a|。如果|a|<1,兩部分的公共收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a|－1,其Z變換如下式:如果|a|≥1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。當(dāng)0<a<1時(shí)，x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。通過以上例題及分析，我們得到以下結(jié)論：同一個(gè)Z變換函數(shù)，收斂域不同，所對(duì)應(yīng)的序列是不相同的如例2.5.3,2.5.4。收斂域中無極點(diǎn)，收斂域總是以極點(diǎn)為界的。常用序列的z變換：

(n)←→1，z>0u(n)

←→，z>1u(-n-1)

←→，z<1anu(n)←→，z>a(-a)nu(n)←→，z>a(-b)nu(-n-1)←→，z<bbnu(-n-1)←→，z<b6.1z變換

n←→，z>1因果序列反因果序列2.5.3逆Z變換序列的Z變換及逆Z變換表示如下：

式中c是X(z)收斂域中一條逆時(shí)針的閉合曲線，如上圖所示。直接計(jì)算圍線積分比較麻煩，實(shí)際中常用三種方法求逆z變換:

1.用留數(shù)定理求逆Z變換

2.冪級(jí)數(shù)法(長除法)3.部分分式展開法(2.5.5)

x(n)=被積函數(shù)X(z)zn-1在極點(diǎn)z=z1k的留數(shù),x(n)為圍線c內(nèi)所有極點(diǎn)留數(shù)之和1.用留數(shù)定理求逆Z變換設(shè)被積函數(shù)用F(z)表示，即

設(shè)F(z)在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)為z1k，在圍線c外的極點(diǎn)為z2k，根據(jù)留數(shù)定理:x(n)=或x(n)為圍線c外所有極點(diǎn)留數(shù)之和取反

使用(2.5.9)式的條件是F(z)的分母階次(z的正次冪)比分子階次必須高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z)，則P(z)與Q(z)分別是M與N階多項(xiàng)式即：N-(M+n–1)≥2

N-M-n≥1

(2.5.10)(2.5.7)如果zk是N階極點(diǎn)，則:(2.5.8)

求極點(diǎn)留數(shù)的方法：如果zk是單階極點(diǎn)，則:

如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒有多階極點(diǎn)，可以根據(jù)留數(shù)輔助定理(2.5.9)改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和，使問題簡化。[例2.5.6]

已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|>a，求其逆Z變換x(n)。解：用留數(shù)定理求解，要先找出F(z)的極點(diǎn)，極點(diǎn)有：（1）z=a

（2）當(dāng)n<0時(shí)，z=0也是極點(diǎn)其中極點(diǎn)z=0與n的取值有關(guān)：n≥0時(shí)，n=0不是極點(diǎn),n<0時(shí)，z=0是一個(gè)n階極點(diǎn).(如n=3和n=-3)

因此要分成n≥0和n<0兩種情況求x(n)。回顧部分分式展開法圖2.5.4例中n<0時(shí)F(z)極點(diǎn)分布

（1）n≥0時(shí)，只有一個(gè)極點(diǎn)：

（2）n<0時(shí)，增加z=0的n階極點(diǎn)，不易求留數(shù)，采用留數(shù)輔助定理求解，檢查(2.5.10)式是否滿足，由于n<0，只要N-M≥0，(2.5.10)式就滿足。本例滿足(2.5.10)式。N-M-n≥1(2.5.10)

所以，n＜0時(shí)，改求圓外極點(diǎn)留數(shù)，但本例題中圓外沒有極點(diǎn)(見圖2.5.4)，故n＜0，x(n)＝0。最后得到該例題的原序列為:

x(n)=anu(n)事實(shí)上，該例題由于收斂域是|z|>a，根據(jù)前面分析的序列特性對(duì)收斂域的影響知道，x(n)一定是因果的右序列，這樣n＜0部分一定為零，無需再求。

[例2.5.7]已知,求其逆變換x(n)。解該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。分析X(z)，得到其極點(diǎn)分布如圖2.5.5所示。圖中有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1（a<a－1

），這樣收斂域有三種選法，它們是（1）|z|>|a－1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是因果序列；（2）|z|<|a|，對(duì)應(yīng)的x(n)是左序列；（3）|a|<|z|<|a－1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。下面分別按照不同的收斂域求其x(n)。最后表示成：x(n)=(an－a－n)u(n)。（1）收斂域?yàn)閨z|>|a－1|:這種情況的原序列是因果的右序列，無須求n<0時(shí)的x(n)。當(dāng)n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1，因此（2）收斂域?yàn)閨z|<|a|:這種情況原序列是左序列，無須計(jì)算n≥0情況。n<0時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和。

n<0時(shí),最后將x(n)表示成封閉式：x(n)=(a－n－an)u(－n－1)

（3）收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a－1|:這種情況對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n≥0和n<0兩種情況分別求x(n)。

n≥0時(shí)，c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z=a,x(n)=Res［F(z),a］=an

n<0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有2個(gè)，其中z=0是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n最后將x(n)表示為即x(n)=a|n|2.部分分式展開法對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列，常常用這種部分分式展開法求逆Z變換。設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項(xiàng)式是N階，分子多項(xiàng)式是M階，將X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和，通過查表(參考表2.5.1)求得各部分的逆變換，再相加即得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展成正式

觀察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)A0，在z=zm的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)Am。

求出Am系數(shù)(m=0,1,2,…N)后，很容易求得x(n)序列。

例2.5.10

已知，求逆Z變換。解：x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1) 2<|z|<3

表2.5.1常見序列Z變換2.5.4Z變換的性質(zhì)和定理1.線性設(shè)X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+Y(z)=ZT［y(n)］,Ry-<|z|<Ry+

則ZT［ax(n)+by(n)］

=aX(z)+bY(z),Rm-<|z|<Rm+(2.5.15)其中：Rm+=min［Rx+,Ry+］

Rm-=max［Rx-,Ry-］即Z變換的收斂域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公共收斂域，若無公共收斂域則Z變換不存在。2、移位特性

單邊、雙邊差別大！雙邊z變換的移位：

若x(n)←→X(z),<z<，且對(duì)整數(shù)m>0，則

x(nm)←→zmX(z),<z<對(duì)于雙邊Z變換：移位后序列不會(huì)丟失信息；對(duì)于單邊Z變換：因果序列左移時(shí)丟棄了k<0的部分非因果序列右移時(shí)丟棄了k>0的部分x(n+1)←→zX(z)–n(0)zx(n+2)←→z2X(z)–n(0)z2

–n(1)z

特例：若x(n)為因果序列，則x(n–m)←→z-mX(z)…單邊z變換的移位：

若x(n)←→X(z),有整數(shù)m>0,則x(n-1)←→z-1X(z)+x(-1)x(n-2)←→z-2X(z)+x(-2)+x(-1)z-1

….右移特性：左移特性：例2：已知x(n)=an(a為實(shí)數(shù))的單邊z變換為

的單邊Z變換解:（1）由于x1(n)=x(n-2)所以X1(z)=z-2X(z)+x(-2)+z-1x(-1)（2）由于x1(n)=x(n+2)所以X2(z)=z2X(z)-x(0)z2-x(1)z3.乘指數(shù)序列an(Z域尺度變換乘)

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+y(n)=anx(n),a為常數(shù)則Y(z)=ZT［anx(n)］=X(z/a)|a|Rx-<|z|<|a|Rx+(2.5.17)例1：求anu(n)的z變換例2：求cos(n)u(n)的z變換6.2z變換的性質(zhì)解：u(n)←→anu(n)←→,z>1cos(n)u(n)=0.5(ejn+e-jn)u(n)

解：=0.5[(ej)n+(e-j)n]u(n)4.序列乘n的Z變換(z域微分)

設(shè)

則(2.5.18)

例：求x(n)=nu(n)的z變換Y(z).

解：

5.復(fù)共軛序列的Z變換

設(shè)6.初值定理設(shè)x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］(2.5.20)則

即用象函數(shù)可以直接求得因果序列的初值x(0),而不必求得原序列。7.終值定理若x(n)是因果序列，且其Z變換的極點(diǎn)，除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在z=1(單位圓)上，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則：

終值定理用于由象函數(shù)直接求得序列的終值，而不必求得原序列。

終值定理也可用X(z)在z=1點(diǎn)的留數(shù)表示例1：某因果序列的z變換為（a為實(shí)數(shù)），求x(0)和x(∞)解：6.2z變換的性質(zhì)9.復(fù)卷積定理（了解）8.序列卷積設(shè)

10.帕斯維爾(Parseval)定理（了解）系統(tǒng)初始狀態(tài)

2.5.5利用Z變換解差分方程用Z變換求解差分方程，將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過程簡單。由1.4.1知N階線性常系數(shù)差方程為：利用線性和序列移位性對(duì)于N階差分方程，求其解必須已知N個(gè)初始條件。設(shè)x(n)是因果序列（x(n)=0,n<0），初始條件y(-1),y(-2)…y(-N)。對(duì)(2.5.30)式進(jìn)行Z變換：(2.5.30)

稱為系統(tǒng)函數(shù)h(k)←→H(z)

取逆變換得：[例2.5.11]已知差分方程：y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n)，y(-1)=2，求y(n)。解：對(duì)差分方程進(jìn)行Z變換：

而

所以x(n-1)←→z-1X(z)+x(-1)x(n-2)←→z-2X(z)+x(-2)+x(-1)z-1

收斂域?yàn)椋簗z|>max(|a|,|b|)式中第一項(xiàng)為零輸入解，第二項(xiàng)為零狀態(tài)解。6.4z域分析例1：若某系統(tǒng)的差分方程為

y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)+2f(k–2)，已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(k)=(k)。求系統(tǒng)的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。

解：方程取單邊z變換（用到移位特性）

Y(z)-[z-1Y(z)+y(-1)]-2[z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1]=F(z)+2z-2F(z)

x(n-1)←→z-1X(z)+x(-1)x(n-2)←→z-2X(z)+x(-2)+x(-1)z-1

即(1-z-1-2z-2)Y(z)-(1+2z-1)y(-1)-2y(-2)=F(z)+2z-2F(z)

將y(–1)=2，y(–2)=–1/2，F(xiàn)(z)=z/z-1代入得：例2：

某系統(tǒng)，已知當(dāng)輸入f(k)=(–1/2)k(k)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)

求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)解：h(k)=[3(1/2)k–2(–1/3)k](k)2.6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)

的頻域特性2.6.1頻率響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對(duì)輸入為單位脈沖序列δ(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，對(duì)h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(ejω)(2.6.1)

一般稱H(ejω)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)或傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率特性。

設(shè)h(n)進(jìn)行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對(duì)N階差分方程(1.4.2)式，進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式(2.6.2)

如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(ejω)與H(z)之間關(guān)系如下式：(2.6.3)頻率響應(yīng)函數(shù)是系統(tǒng)函數(shù)的特殊情況2.6.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

因果(可實(shí)現(xiàn))系統(tǒng)其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)n<0時(shí)，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含∞點(diǎn)，即∞點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個(gè)圓的圓內(nèi)，收斂域在某個(gè)圓外。

穩(wěn)定系統(tǒng)要求（P17系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，此條件與P33序列傅里葉變換存在條件相同），序列傅里葉變換存在，對(duì)照Z變換可知，系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含∞點(diǎn)和單位圓，那么收斂域可表示為：r<|z|≤∞，0<r<1

系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，H(z)的極點(diǎn)集中在單位圓的內(nèi)部。具體系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性可由系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布確