質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理理論力學(xué)課件

優(yōu)選質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理理論力學(xué)課件現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日2.質(zhì)心的力學(xué)意義①

若質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量相等，則：1/n與i無(wú)關(guān)，為公因子。

式中:ri系數(shù)1/n

表示第

i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量在質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中所占的比例，質(zhì)心的矢徑rc即為各質(zhì)點(diǎn)的平均矢徑。（12.11）現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日②若質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量不相等。則有：

ri

的系數(shù)表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量在質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量所占的比例，質(zhì)心的矢徑rc為即為各質(zhì)點(diǎn)按其質(zhì)量在質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中所占的比例的平均位置。③質(zhì)心的作用

由討論可見(jiàn)，質(zhì)心的位置與質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)量分布狀況有關(guān)，它在一定程度上反映了質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量分布狀況，所以質(zhì)心的概念是動(dòng)力學(xué)的重要概念之一。（12.12）現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日④質(zhì)心的坐標(biāo)計(jì)算質(zhì)心位置時(shí)，常用上式在直角坐標(biāo)系的投影形式，即式中mi點(diǎn)為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，xi、yi、zi，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，m為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量。

質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)系中特定的一個(gè)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心也在運(yùn)動(dòng)?？梢?jiàn)，如果把質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量都集中于質(zhì)心做為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，那么此質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量就等于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，可見(jiàn)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)具有特殊意義?，F(xiàn)在是4頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日

可見(jiàn)物體在重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，重心與質(zhì)心相重合。但應(yīng)當(dāng)注意，質(zhì)心與重心是兩個(gè)不同的概念。⑤質(zhì)心與重心的比較：若將上列各式等號(hào)右端的分子與分母同乘以重力加速度g，就得到質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)公式。重心僅在質(zhì)點(diǎn)系受到重力作用（即在地球表面附近）時(shí)才存在，而質(zhì)心則與質(zhì)點(diǎn)系是否受到重力作用無(wú)關(guān)，它隨質(zhì)點(diǎn)系的存在而存在。因此，質(zhì)心概念的適用范圍遠(yuǎn)較重心廣泛。（12-13）現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日或2、質(zhì)心速度質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)速度可根據(jù)式（12.10）導(dǎo)出：式（12.15）為計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的簡(jiǎn)便方法。由上式可知，不論質(zhì)點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量時(shí)均可不考慮其中每一質(zhì)點(diǎn)的速度，而只需知道質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量和質(zhì)心的速度就足夠了。（12.14）（12.15）現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日

設(shè)其角速度為w，質(zhì)心C至轉(zhuǎn)軸的距離為e，則由式（12.15）可知，此剛體動(dòng)量的大小為w例如繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，顯然，當(dāng)剛體質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸上時(shí)，則不論轉(zhuǎn)動(dòng)角速度多大，其動(dòng)量恒等于零?，F(xiàn)在是7頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日3、質(zhì)心加速度將式（12.14）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

上式表明，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和。同時(shí)指出：內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。

形式上，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)基本方程完全相似，因此質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理也可敘述如下：（12.17）

質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，猶如一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，此質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，且作用于此質(zhì)點(diǎn)上的力等于作用于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系上的外力的矢量和?，F(xiàn)在是9頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在坐標(biāo)軸上投影：——質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心加速度在某一軸上的投影的乘積等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力的主矢量在同一軸上的投影，該式稱(chēng)為投影形式的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可采用投影形式。（12.18）（12.17）現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日①如果三、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒

如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某一軸上投影的代數(shù)和恒等于零。則質(zhì)心沿該軸的坐標(biāo)保持不變。以上結(jié)論，稱(chēng)為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律。則質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；②若開(kāi)始靜止，則質(zhì)心位置始終保持不變?，F(xiàn)在是11頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日③注意：只有外力才影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，內(nèi)力不影響質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，且沒(méi)有外力時(shí)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒，原為靜止的質(zhì)點(diǎn)系保持靜止。

如汽車(chē)在光滑路面上發(fā)動(dòng)，如果路面沒(méi)有摩擦力，則輪子空轉(zhuǎn)不動(dòng)，即輪心不向前運(yùn)動(dòng)，必須要有外力才能使其運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在是12頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日

有很多實(shí)例都可用來(lái)說(shuō)明質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)完全取決于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力而與內(nèi)力無(wú)關(guān)。

例如，人在完全沒(méi)有摩擦的光滑路面上行走是不可能的；汽車(chē)開(kāi)動(dòng)時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)汽缸內(nèi)的燃?xì)鈮毫?duì)汽車(chē)整體來(lái)說(shuō)是內(nèi)力，不能使車(chē)子前進(jìn)，只是當(dāng)燃?xì)馔苿?dòng)活塞，通過(guò)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)帶動(dòng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，地面對(duì)主動(dòng)輪作用了向前的摩擦力，而且這個(gè)摩擦力大于總的阻力時(shí)，汽車(chē)才能前進(jìn)?，F(xiàn)在是13頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日

例3設(shè)有一電動(dòng)機(jī)用螺旋栓固定在水平地面上，如圖，電動(dòng)機(jī)外殼連同定子的質(zhì)量為m1，它們的質(zhì)心為c1，在轉(zhuǎn)子的軸線上，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2。由于制造不夠精確，因而其質(zhì)心與轉(zhuǎn)子軸線相距為e，試求當(dāng)電動(dòng)機(jī)以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，螺旋栓所受的水平剪力和地面的鉛垂反力?，F(xiàn)在是14頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日解：（1）研究整個(gè)電動(dòng)機(jī)看作一個(gè)整體，受力分析如圖：作用于質(zhì)心上的外力有：重力m1g、m2g；螺栓的約束反力Rx、Ry。現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日（2）建立靜坐標(biāo)如圖：電動(dòng)機(jī)質(zhì)心C的方程為：式中：x1=y1=0，是外殼與定子的質(zhì)心c1的坐標(biāo)；

x2、y2是轉(zhuǎn)子c2的坐標(biāo)。設(shè)初瞬時(shí)，c2位于x軸上，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，轉(zhuǎn)角φ＝ωt，于是有：（1）（2）現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日(3)代入質(zhì)心坐標(biāo)公式得質(zhì)心c的運(yùn)動(dòng)方程：（1）（2）（3）現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日將質(zhì)心c的運(yùn)動(dòng)方程等式兩端微分得：（3）（4）現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日(4)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程：從而可得到：現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日Rx——是螺栓給電動(dòng)機(jī)的水平動(dòng)反力，它與電動(dòng)機(jī)的角速度有關(guān)，而電動(dòng)機(jī)給螺栓的剪力則與Rx等值反向。Ry—電動(dòng)機(jī)在鉛垂方向上所受的全反力，當(dāng)Ry>0時(shí)，其方向向上，它來(lái)自地面；當(dāng)Ry<0時(shí)，其方向向下，故知它必來(lái)自螺栓拉力，這時(shí)電動(dòng)機(jī)有跳離地面的趨勢(shì)所以地面未受壓而不會(huì)給電動(dòng)機(jī)反力。現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日

通過(guò)本例可知，由于機(jī)器上轉(zhuǎn)子的質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上，質(zhì)心的位置要隨時(shí)間而改變，因而，基座就受到了周期性壓力的作用。

這種隨時(shí)間而作周期性變化的動(dòng)壓力往往引起基座的振動(dòng)，以至影響機(jī)器的正常工作或損壞其零件。

為防止這種現(xiàn)象發(fā)生，在機(jī)器的設(shè)計(jì)和安裝中必須盡可能地使其轉(zhuǎn)動(dòng)部分的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸，以便減小基座所受的動(dòng)壓力?，F(xiàn)在是21頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日

習(xí)題12.19

均質(zhì)桿AB，長(zhǎng)2L，鉛直地靜置于光滑水平面上受到微小擾動(dòng)后，無(wú)初速地倒下。求桿AB在倒下過(guò)程中，點(diǎn)A的軌跡方程?，F(xiàn)在是22頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日

解：以均質(zhì)桿AB為研究對(duì)象，并以桿AB鉛直時(shí)的軸線為

y軸，建立圖示坐標(biāo)系。AB桿倒下過(guò)程中所受外力有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN，桿在倒下的過(guò)程中有：即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量在x方向上守恒，又：t=0時(shí)桿處于靜止故質(zhì)心運(yùn)動(dòng)在x方向上守恒，有：現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日設(shè)任一瞬時(shí)，桿AB與x軸的夾角為θ，則有：所以點(diǎn)A的軌跡方程為：即：A點(diǎn)沿橢圓軌跡運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在是24頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日

例1：水平光滑直線軌道上有一小車(chē)，車(chē)上站立一人。設(shè)小車(chē)重W，人重Q，開(kāi)始系統(tǒng)靜止。若人在小車(chē)上走動(dòng)，解：以人和小車(chē)為質(zhì)點(diǎn)系，受力如圖運(yùn)動(dòng)分析：t=0時(shí)系統(tǒng)靜止；WQvrv由受力分析可知可知xyo某瞬時(shí)人相對(duì)小車(chē)的速度為vr，試求此時(shí)的車(chē)速v？t時(shí)刻：車(chē)v，人v+vr現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日車(chē)重W，人重Q，某瞬時(shí)人相對(duì)小車(chē)的速度為vr，試求此時(shí)的車(chē)速v？t=0時(shí)系統(tǒng)靜止；t：車(chē)v，人v+vrWQvrv可知xyo解得：（靜止）現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日

例12.7浮動(dòng)起重機(jī)的質(zhì)量m1＝20000kg，吊起質(zhì)量為m2

＝2000kg的重物，求當(dāng)?shù)鯒UAB由鉛垂線成60度角的位置轉(zhuǎn)到與鉛垂線成30度角的位置時(shí)，起重機(jī)的水平位移。吊桿長(zhǎng)AB＝8m，吊桿重量及水的阻力均不計(jì)，又系統(tǒng)原為靜止。現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日解：（1）研究對(duì)象:

重物和起重機(jī)組成的質(zhì)點(diǎn)系（2）受力分析：鉛垂方向上的重力m1g、m2g；作用線通過(guò)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的浮力F；（3）運(yùn)動(dòng)分析：因只有鉛垂方向上的外力，所以力在水平方向的投影為O，所以質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C在水平方向應(yīng)保持靜止不動(dòng)。現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日當(dāng)?shù)鯒U轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于重物有往右的水平位移，故起重機(jī)必與之相應(yīng)而有往左的水平位移，設(shè)移動(dòng)了一個(gè)S的水平距離。

以A鉸的初位置相重合的點(diǎn)O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系oxy如圖，則在初末兩瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心C的坐標(biāo)分別為：現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日式中，d為起重機(jī)質(zhì)心c1與鉸A的水平距離。因質(zhì)心c無(wú)水平位移，從而xc=xco，故有：現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日即：起重機(jī)往左移動(dòng)了水平距離0.266m。因質(zhì)心c無(wú)水平位移，從而xc=xco，故有：現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日

例圖示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，設(shè)曲柄AB受力偶作用以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊C沿x軸滑動(dòng)。若AB＝BC＝l，AB及BC皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為m1，滑塊的質(zhì)量為m2。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡以及此系統(tǒng)的動(dòng)量。現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日解：設(shè)t＝0時(shí)AB桿水平，則有f＝wt。由式（12.13），質(zhì)心C的坐標(biāo)為上式即為此系統(tǒng)質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程。AB勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，AB＝BC＝l，AB及BC為均質(zhì)桿，質(zhì)量m1，滑塊的質(zhì)量為m2。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡以及此系統(tǒng)的動(dòng)量。xy現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日質(zhì)心C的坐標(biāo)為上式即為此系統(tǒng)質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程。由上二式消去時(shí)間t，得

即質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓。應(yīng)該指出，質(zhì)心一般不在其中某一物體上，而是在空間的某一特定點(diǎn)?，F(xiàn)在是34頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日為了求系統(tǒng)的動(dòng)量，可將式（12.13）沿x、y軸投影，即

px＝mvCxpy＝mvCy此例中m=∑mi=2m1+m2

。由上式得現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日則得系統(tǒng)動(dòng)量沿沿x、y軸投影：

px＝mvCx＝-2（m1+m2）lwsinwtpy＝mvCy＝m1lwcoswt系統(tǒng)動(dòng)量的大小為：動(dòng)量的方向沿質(zhì)心軌跡的切線方向，可用其方向余弦表示?，F(xiàn)在是36頁(yè)\一共有38頁(yè)\編輯于星期日

習(xí)題12.12

均質(zhì)曲柄AB長(zhǎng)r，質(zhì)量為m1，假設(shè)受力偶作用以不變的角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)滑槽連桿以及與它固連的活塞D，如圖所示?；邸⑦B桿、活塞總質(zhì)量為m2，質(zhì)心在點(diǎn)C。在活塞上作用一恒力F。不計(jì)摩擦，求作用在曲柄軸處的最大水平分力Fx。

解：選取整個(gè)機(jī)構(gòu)為研究的質(zhì)點(diǎn)系。作用在水