高一數(shù)學(xué)必修二課件第三章 第八節(jié)應(yīng)用舉例

第八節(jié)應(yīng)用舉例1.三角形中常用的面積公式(1)S=ah(h表示邊a上的高).(2)S=bcsinA=________=_________.(3)S=r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).2.實際問題中的有關(guān)概念(1)仰角和俯角:在視線和水平線所成的角中，視線在水平線_____的角叫仰角，在水平線____的角叫俯角(如圖①).上方下方(2)方位角:從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②).(3)方向角:相對于某一正方向的水平角(如圖③)(i)北偏東α°即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標(biāo)方向；(ii)北偏西α°即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標(biāo)方向；(iii)南偏西等其他方向角類似.(4)坡角與坡度①坡角:坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)；②坡度:坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度).坡度又稱為坡比.判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)面積公式中其實質(zhì)就是面積公式

(h為相應(yīng)邊上的高)的變形.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為［0,］.()(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系.()(4)方位角大小的范圍是［0,2π)，方向角大小的范圍一般是［0,).()【解析】(1)正確.如即為邊a上的高.(2)錯誤.俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角.(3)正確.方位角與方向角均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系的.(4)正確.方位角是由正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，故大小的范圍為［0,2π)，而方向角大小的范圍由定義可知為［0,).答案:(1)√(2)×(3)√(4)√1.在△ABC中,A=AB=1,AC=2,則S△ABC的值為()【解析】選C.由已知得A=AB=c=1,AC=b=2,2.在△ABC中,則cosA等于()【解析】選D.由已知得3.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的方向為()(A)北偏西5°(B)北偏西10°(C)北偏西15°(D)北偏西20°【解析】選B.由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴燈塔A位于燈塔B的北偏西10°.4.已知A，B兩地的距離為10km,B，C兩地的距離為20km,現(xiàn)測得∠ABC=120°，則A，C兩地的距離為______km.【解析】如圖所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700，∴AC=(km).答案:5.某運動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為

米(如圖所示)，則旗桿的高度為____米.【解析】如圖所示，依題意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°.即旗桿的高度為30米.答案:30考向1

與三角形面積有關(guān)的問題【典例1】(1)已知O為△ABC內(nèi)一點，滿足則△OBC的面積為()(2)(2013·衡陽模擬)在△ABC中，若A=30°，b=2，且則△ABC的面積為()(3)(2013·北京模擬)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，角A是銳角，且①求角A的度數(shù);②若a=7，△ABC的面積為求△ABC的周長.【思路點撥】(1)先確定O點的位置，可知O為△ABC的重心，再利用向量關(guān)系求得△ABC面積即可求得S△OBC.(2)利用已知條件求邊a,b,角C，即可求得面積.(3)利用正弦定理得角A，再利用余弦定理得b+c，從而可求周長.【規(guī)范解答】(1)選B.可知O為△ABC的重心，由得c·bcos∠BAC=2,(2)選B.方法一:由正弦定理得2sinAcosB=sinC=sin(A+B),得2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，故sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,又A,B是△ABC的內(nèi)角,故A-B=0,∴A=B,∴a=b=2,∵A=30°,∴B=30°,∴C=120°.由S△ABC=absinC得S△ABC=方法二：由余弦定理得，即a=b=2,∴A=B,又A=30°,∴B=30°,∴C=120°.(3)①由已知得由正弦定理得又A為銳角,故②由余弦定理得即b2+c2-49=bc,由得bc=40,故b2+c2=89，得(b+c)2=169,又b＞0，c＞0,∴b+c=13.故△ABC的周長為20.【互動探究】若將本例題(1)中“”修改為“O為△ABC中線AD的中點”，其他條件不變，則△OBC的面積又該如何求解?【解析】由得cbcosA=2,【拓展提升】三角形的面積公式(1)已知一邊和這邊上的高:(2)已知兩邊及其夾角：(3)已知三邊：(4)已知兩角及兩角的共同邊：(5)已知三邊和外接圓半徑R，則【變式備選】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知

(1)求的值.(2)若cosB=b=2,求△ABC的面積S.【解析】(1)方法一:在△ABC中，由及正弦定理可得即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，則cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB，sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=π，則sinC=2sinA，即方法二：在△ABC中，由可得，bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB，考向2測量距離問題【典例2】(1)(2013·聊城模擬)如圖,設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為()(2)(2011·上海高考)在相距2千米的A，B兩點處測量目標(biāo)點C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°,則A，C兩點之間的距離為____千米.(3)某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛.公路的走向是M站的北偏東40°.開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米.此時汽車離汽車站的距離是_____.【思路點撥】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理得∠ABC，再利用正弦定理可解.(2)利用已知角求得∠ACB，再利用正弦定理求解.(3)先畫出圖形，利用已知條件及余弦定理求角C的余弦值，再利用正弦定理求解即可.【規(guī)范解答】(1)選A.由∠ACB=45°，∠CAB=105°,得∠ABC=30°,由正弦定理得(2)由∠CAB=75°,∠CBA=60°,得∠ACB=180°-75°-60°=45°.答案:(3)由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進20千米后到達B處.在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得在△MAC中，由正弦定理得從而有MB=MC-BC=15(千米),所以汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站.答案:15千米【互動探究】若將本例題(1)中A，B兩點放到河岸的同側(cè)，但不能到達，在對岸的岸邊選取相距

km的C，D兩點，同時，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，則兩點A，B之間的距離又如何求解?【解析】如圖所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理可得BC＝在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，∴AB＝

(km).即兩點A，B之間的距離為

km.【拓展提升】解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)讀懂題意，理解問題的實際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系.(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將所求量放到三角形中去，將實際問題抽象成解三角形問題.(3)選擇正弦定理、余弦定理或其他相關(guān)知識求解.(4)將三角形的解還原為實際問題的解.【變式備選】如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點需要多長時間？【解析】由題意知AB=5(3+)海里，∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°.∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.在△ABD中，由正弦定理得又∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°，BC=20海里，在△DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC故救援船到達D點需要1小時.考向3

測量高度、角度問題【典例3】(1)如圖，當(dāng)甲船位于A處時獲悉在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，則sinθ的值等于()(2)某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C處進行該儀器的垂直彈射，觀測點A，B兩地相距100米，∠BAC=60°，在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚秒.在A地測得該儀器至最高點H時的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340米/秒)【思路點撥】(1)先根據(jù)題意作出圖象，在△ABC中，利用余弦定理求得BC，然后根據(jù)正弦定理求得sin∠ACB，則cos∠ACB可得，進而利用sinθ=sin(30°+∠ACB)，根據(jù)正弦函數(shù)的兩角和公式解決.(2)利用已知條件先求AC，再利用正切求CH即可.【規(guī)范解答】(1)選D.根據(jù)題目條件可作圖，如圖:在△ABC中，AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠CAB=202+102-2×20×10cos120°=700,所以sinθ=sin(30°+∠ACB)=sin30°cos∠ACB+cos30°sin∠ACB(2)由題意，設(shè)AC=x,則BC=x-×340=x-40,在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,即(x-40)2=10000+x2-100x,解得x=420.在△ACH中，AC=420,∠CAH=30°,∠ACH=90°,所以CH=AC·tan∠CAH=140(米).故該儀器的垂直彈射高度CH為140米.【拓展提升】1.處理高度問題的注意事項(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個關(guān)鍵.(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.【提醒】高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合.2.測量角度問題的一般步驟(1)在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離.(2)用正弦定理或余弦定理解三角形.(3)將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.同時注意把所求量放在有關(guān)三角形中，有時直接解此三角形解不出來，需要先在其他三角形中求解相關(guān)量.【變式訓(xùn)練】要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度.【解析】如圖，設(shè)電視塔AB的高為xm，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，由∠ADB＝30°，得BD＝在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即()2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴電視塔高為40米.【滿分指導(dǎo)】三角形中面積公式的應(yīng)用【典例】(12分)(2012·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c，已知

(1)求證：(2)若求△ABC的面積.【思路點撥】已知條件條件分析利用正弦定理邊化角再展開整理可證利用B+C=π-A和已知條件得B，C，利用正弦定理得b，c，進而可求面積【規(guī)范解答】(1)由bsin(+C)-csin(+B)=a，應(yīng)用正弦定理，得sinBsin(+C)-sinCsin(+B)=sinA,①………………3分整理得sinBcosC-cosBsinC=1,即sin(B-C)=1,……………5分

②…6分因此

…………………………8分③…10分所以△ABC的面積④………………12分【失分警示】(下文①②③④見規(guī)范解答過程)1.(2013·瀏陽模擬)如果在測量中，某渠道斜坡的坡度為設(shè)α為坡角，那么cosα等于()(A)(B)(C)(D)【解析】選B.∵坡度為∴cosα=2.(2013·太原模擬)如圖，D，C，B三點在地面同一直線上，DC=a，從C，D兩點測得A點的仰角分別是β,α(α＜β)，則A點離地面的高度AB等于()【解析】選A.由已知得∠DAC=β-α,由正弦定理得，3.(2013·濰坊模擬)小明的爸爸開汽車以80km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，小明坐在車?yán)锵蛲庥^察，在點A處望見電視塔P在北偏東30°方向上，15分鐘后到點B處望見電視塔在北偏東75°方向上，則汽車在點B時與電視塔P的距離是____km.【解析】如圖所示，∠BAP=30°,∠CBP=75°,∴∠BPA=45°,由已知得AB=80×=20(km),答案:4.(2013·長沙模擬)如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°方向上，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10:00到達B處，且與燈塔S相距8nmile.此船的航速是32nmile/h，則燈塔S對于點B的方向角是____.【解析】由已知可得,又0°＜∠ASB＜180°，得∠ASB=45°或135°,若∠ASB=45°，則∠ABS=105°，此時，S在點B的北偏東75°方向上；若∠ASB=135°，則∠ABS=15°,此時，S在點B的南偏東15°方向上.答案:北偏東75°或南偏東15°5.(2012·新課標(biāo)全國卷)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acosC+a