數(shù)學(xué)分析簡明教程答案09再論實(shí)數(shù)系

第九章再論實(shí)數(shù) 實(shí)數(shù)連續(xù)性的等價(jià)描述求數(shù)列{xn的上、下確界（若{xn無上（下確界，則稱()是{xn的上（下確界1（1）xn1n（2）xnn[2(2)]n1（3）x2kk,x2k11 (k1,2,3)（4）xn[1(1)nn（5）xn12n(1)n

n；n；（6）xn

nn

．3解（1）sup{xn1inf{xn0（2）sup{xn},inf{xn}（3）sup{xn},inf{xn}1sup{xn}3,inf{xn}0sup{xn} 5,inf{xn}1sup{xn}1,inf{xn}2f(xDsup{f(x)}inf{f inf{f(x)}sup{f 證明(1)設(shè)inff(xa，則xDf(x)a，因而f(x)a0，都xDf(xa，因而f(xasup{f(x)}inf{f (2)設(shè)sup{f(xb，則xDf(x)b，從而f(x)b，又由于都xDf(xb，從而f(xbinf{f(x)}sup{f 3supEEE中可選取數(shù)列{xnxnlimxEnsupEE(1)xEx(2)0xEx對(duì)1x1E1x1 對(duì)2

x1}，x2E2

x2x2x1x1對(duì)

x2x3x2x2 …如此繼續(xù)下去，得數(shù)列{xnxn互不相同，并且limxnEE1，則supE1x互不相同的數(shù)列{xn 使limx1n證明(1)由于收斂數(shù)列是非空有界數(shù)列，且既有上界又有下界，因而有確界定理知其設(shè)limxn，則NnNxn0，因而min{x1x2xN,0}{xn}的下界，由確界原理知數(shù)列{xn}存在下確界設(shè)limxn，則NnNxn0，因而max{x1x2xN,0}n{xn}的上界，由確界定理知數(shù)列{xn}存在上確界解（1）有上確界無下確界的數(shù)列，如{xnn有上確界sup{xn1

nn1(1)n既含有上確界又含有下確界的數(shù)列，如{xn}

n2k1,kZx

n2k,kZ 實(shí)數(shù)閉區(qū)間的 若{xn存在子列{xn}是常數(shù)列，則{xn}是{xn 若{xn不存在是常數(shù)列的子列，下證{xn有收斂子列，為此設(shè)X

{xn|n反設(shè){xn}沒有收斂的子數(shù)列，則x[a,b]都不是{xn}的任一子數(shù)列的x[ab]IxuxvxxIxIxX是有限集（的任一開區(qū)間(ux,vx)都有X的無窮項(xiàng)，則x是{xn}的某一子列的極限此所m

[a,b]Ix [a,b]X(Ix)X(IxX)(IxX)(IxX)(IxX) 注意到上式右端每一項(xiàng)都是有限集，故[a,b]X為有限集，綜合（1（2）{xn}必有一收斂的子數(shù)列有收斂子數(shù)列{xn}，設(shè)limxnc，則由{xn單調(diào)遞增知c必為數(shù)列{xn k n據(jù)數(shù)列極限的定義知0,K,當(dāng)kK時(shí)，有 c，nkc

cn cnKNnk1nNnk1時(shí)，由數(shù)列{xn單調(diào)遞增且cc xccnK xc，從而limxc n同理可證{xn}單調(diào)遞減有下界時(shí)必有極限，因而單調(diào)有界原理成立證明bRax1x2xnb，下證數(shù)列{xnbaabb，二等分區(qū)間[aba1b1a1b1仍為{x 則令aa,ba1b1；若a1b1不是{x}的上界，即存在m，使 a1b1， aa1b1bb[aba2b2a2b2為{x a,ba2b2；若a2b2不是{x a2b2,bb 依此類推得一閉區(qū)間套[anbn]，每一個(gè)區(qū)間的右端點(diǎn)都是{xn}的上界，由閉區(qū)間套定理知存在唯一的cR，使得c屬于所有閉區(qū)間，下證數(shù)列{xn的極限為c．b由于lim(bnan)lim 0，故根據(jù)數(shù)列極限的定義，0，存在N， nN時(shí)，都有bnan2，而c[anbn][an,bn](c,c) 另一方面，由閉區(qū)間套的構(gòu)造知KanxKbn，故對(duì)nKxnxK，anxKxnbn（*）知cxncxnc，從而limxnc 1n分析（1）若將閉區(qū)間列改為開區(qū)間列，結(jié)果不真．如開區(qū)間列 滿足n lim100且010,1010,1rr n

2 n若將定理其它條件不變，去掉條件[a1b1[a2b2，則定理仍不成立， n

1 若去掉定理?xiàng)l件bnan0，則定理仍不成立，如閉區(qū)間序列1 ,3

a（a為有限數(shù)kmkkmkk證明由于{xn ，故kN，都存在xn，使得kk

k，因而limnk n

又由于{xn不是無窮大量，根據(jù)無窮大量否定的正面陳述知M0，對(duì)K0m mkK，使得|xm|M0.從而對(duì)于K0，數(shù)列{xm}為有界數(shù)列，從而必有收斂子列{x m k

a, b(ab)kmkkmk證明由于{xn}為有界數(shù)列，由性定理知數(shù)列{xn}必有收斂的子列{xn}，不妨kk nk a(k，又因?yàn)閿?shù)列{xna，故從{xn中去掉{xnk nk無窮多項(xiàng)(否則數(shù)列{xna)．記其為數(shù)列{xn}，又因?yàn)閧xn}為有界數(shù)列，故有收斂子列，設(shè)此子列的極限為bab，而此子列也是{xn的子列，故設(shè)其為{xmkm而limkmk

b(ab)k求證：數(shù)列{an}有界的充要條件是，{an}的任何子數(shù)列{an}都有收斂的子數(shù)列．證明必要性：由性定理知結(jié)論成立．kk充分性：反設(shè)數(shù)列{an} 子列 ；若{an}不是無窮大量，則由第5題知{an}有一子列{an}是無窮大量，從kkkf(x在[abf(x在[ab對(duì)t[ab]f(x在t處的極限存在，故設(shè)limf(xA，則對(duì)10存在t0x，當(dāng)0|xt|t時(shí)，有f(xA1，從而f(x)|A|1 Mmaxf(t),|A|1xtttt)

f(x)Mf(x)在區(qū)間n對(duì)所有t[ab，在1下所取的t為半徑的開區(qū)間(tt,tt|t[ab]構(gòu)成閉區(qū)間[ab]上的一個(gè)開覆蓋，由有限覆蓋定理知，存在t1t2tn[a,b]，使得n[a,b](tit,tit) 在[ab上有界9．設(shè)f(x)在[a,b]，求證：存在c[a,b]，對(duì)任意0，函數(shù)f(x)(c,c)[a,b]上n反設(shè)結(jié)論不真，即c[ab，c0f(x在(cccc[ab上有界，則對(duì)所c(cccc)|c[ab]構(gòu)成區(qū)間[ab的一個(gè)開覆蓋，由有限覆n蓋定理知其有有限子覆蓋，即c1c2cn[ab]，使[ab(ciccic 于函數(shù)在每一個(gè)(ciccic[abnf(x在[ab f(x是(ab

f(x),

f(xf(x在(ab上有上界，故M0，對(duì)xab),f(x)M

f(x(abx0g(x)

f(x)f(x0，x則由f(x)是(a,b)上的凸函數(shù)知g(x)在(x0,b)上遞增，在(x0,b)中任取一點(diǎn)x1，區(qū)間(x1b)x(x1b)，由于g(x)f(x)f(x0)Mf(x0)x x1g(x)在(x1bg(x)在(x1b上單調(diào)遞增且有上界，由定理3．12limg(xlimg(x)A

lim

)

f(x)f(x0)f

)A(b

)f(x

lim xb

x

0 0

f(x

f(xf(x是(abg(x在(ax0在(a,x0)中任取一點(diǎn)x2 區(qū)間(a,x2)，x(a,x2)，由g(x)f(x)f(x0)f(x0)f(x)f(x0)Mx

x0

x0g(x在(ax2g(x在(ax23．12的推limg(x存在，設(shè)limg(x)B，則lim

)

f(x)f(x0)f

)(a

)Bf(x

lim xa

x

0 0

f(xf(x在[ab(x)f(x0)f(x0)求證：任意0,(xx,00，在[ab上使(x,記[abab，二等分區(qū)間[a,b，則在a

a1b1

a1b1b 1個(gè)區(qū)間含有無限多個(gè)x使(x)0，記此區(qū)間為[a2b2，再二等分區(qū)間[a2b2a,a2b2,a2b2,

x使(x 2 [a3b3],，如此繼續(xù)下去，得閉區(qū)間套[anbn]，且每個(gè)區(qū)間[anbn]中含有無限多個(gè)x(x)0f(x在[abr[abf(r0)f(r0)設(shè)f(r0)

f(r0)B，則對(duì)上述0010xrr1) f(x)A 2f(x)A2，從而 (x0；同理存在20xr2r(x)0．取min1,2，則(rr上滿足(x)0r一個(gè)NnN時(shí)，都有[an,bn](r,r)從而在[an,bn]中最多只能有一個(gè)點(diǎn)，使得(x)0，這與區(qū)間套的構(gòu)造 f(x在[0,上連續(xù)且有界，對(duì)a,f(x)a在[0,

f(xf(x在[0,f(x在[0,v，下界為u，若uv

f(x)uv，結(jié)論必然成立，故以下假定uv令[uvuv]，二等分區(qū)間[uvu1v1f(xu1v1在 1 f(x連續(xù)，因而X

0,xX

f(x)u1v12f(xu1v1f(xu1v1，令[uvu1v1v，若f(xu1v1 2 1 [uv] u1v1，因此xXf(x[uv，即uf(x)v． u1 二等分區(qū)間[uv]u2v2f(xu2v2在[0, 或無根且f(x)連續(xù)，故 X,xX時(shí)，有f(x)u2v2或f(x)u2v2． f(x)u2v2，令[u,v]u2v2,v，反之令[u,v] u2v2，因此 2 u2 xX2f(x[u3v3，即u3f(xv3{[unvn，而且由區(qū)間套的構(gòu)造知，XnXn1xXn時(shí)，unf(xvn

f(x)r事實(shí)上，對(duì)0，由閉區(qū)間套{[unvnNnN[un,vn](r,r)f(x[uN1vN1rrrf(xr

f(x)r

f(x)rf(x 實(shí)數(shù)的完備性設(shè)f(x)在(abf(x)在(ab

f(x

f(x證明f(x在(ab一致連續(xù)知，0,0，xxab且|xx|時(shí)，都有f(xf(x)xxaa)xxf(xf(x)Cauchy

f(x

f(x證法 0，由

f(x)存在知1，xxaa1)f(x)f(x

，又由于

f(x)也存在，故2xxb2b)時(shí)，f(x)f(x)取min12baf(x在(aabb 續(xù)，而又因?yàn)閒(x)在[a,b上連續(xù)，因而一致連續(xù)，因此f(x)在(aa[ab、[bbf(x在(ab

f(x

f(x)

f(x)A,

f(x)BA xa;F(x)f(x) B xBF(x在[abF(x在(abF(x在(ab上就是f(x)，因而f(x)在(ab)上一致連續(xù)．

1nn1取0

0,N0nN，則2nN121

xn

11n11n

111n 111nn

1

1 11 當(dāng)n時(shí)的極限不存在11 n（1）xna0a1qa2q2an (|q|1,|ak|M)

1sin1sin2sinn x111(1)n11

1|q

| MNnmN時(shí)（mnxnxmxn1xn2xmxn1xn2xn1xn2xm| ||q|n1| ||q|n2 M|q

|q

n2

|q1|q

1|q

1|q|

220，由lim10NnN1NnmN時(shí)（n 1mn1

xn

n

n

n

n

1由于 1n

n

(1)mn1m

xn

n

n

(1)mn11mxn

n

n

(1)mn1m

n n

n

n3 m m xn

n

n

(1)mn1m

1n n

n

n3 m 2先考慮數(shù)列{xn的偶子列{x2n} 111 111 2n 2n1111 1 2 4

2n 2n 2n 2n2

11

1

1

2n 2n 故偶子列{x2n}是單調(diào)遞增的數(shù)列，又由 111(1)2n11111 11

3

2n 2n因而偶子列{x2n}是單調(diào)上升且有上界的數(shù)列，由單調(diào)有界原理知{x2n}必有極限存在，lim

a

x2n

且

0

2n

n2n1limx2n1limx2nlim a n2n于是我們證得數(shù)列{xn}的奇、偶子列均收斂而且極限相同，故數(shù)列{xn}證明：極限limf(x存在的充要條件是：對(duì)任意給定00x0xx00xx0時(shí)，恒有f(xf(x)證明limf(xA，則0,0,x,0x由0xx00xx0

xx0，就有f(x)A 2f(x)f(x)(f(x)A)(f(x)A)f(x)Af(x)A 設(shè){xn是任意滿足limxnx0xnx0的數(shù)列，由已知0,00xx00xx0時(shí)，有f(xf(x)對(duì)上述0，由于limxxn mN時(shí)，有0|xmx0|

xnx0，故NnN時(shí)，有0|xnx0|f(xnf(xm)，即f(xn)}Cauchy收斂準(zhǔn)則知limf(x 反設(shè)limxnx0xnx0limxnx0xnx0，但limf(xnlimf(xn

由{yn的構(gòu)造知limynx0ynx0，但limfynnlimf(y)不存在，n

x證明f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的充要條件是 0，存在0，當(dāng)xx0xx0時(shí)，恒有f(xf(x) 證明f(xx0limf(x)x

f(x0，故0,0,x,xx0f(x)f

)x

，x

f(x)f(x)(f(x)f(x0))(f(x)f(x0f(x)f(x0)f(x)f(x0)設(shè){xn是任意滿足limxnx0的數(shù)列，由已知0,0x

xx0時(shí)，就有f(xf(x) n對(duì)上述0，由于limxx，故NnNn

|xnx0|mN |xmx0|，于是f(xnf(xm)，即f(xn)}收斂準(zhǔn)則知limf(xn存在．由{xnx0的實(shí)數(shù)列{xn}limf(xn反設(shè)limxnx0xnx0limxnx0

x0，但limf(xnlimf(xn

x

f(x)存在．特別地，取{xn為恒為x0的常數(shù)列得limf(x)

f(x0limf(x)x

f(x0f(xx0（1）xn

nn

；3n（2）xn12n(1)nnxn n2n)xncosnxntann

3k 3k 3k

3k以得到lim 1．而當(dāng)n3k1時(shí)，

cos2(3k

1 k1

3k

3k

23k而limx3k1k

.{xn}的兩個(gè)子序列極限不等，故{xn}的極限不存在212k

（2）對(duì){x}的奇子列，由于 2k11 2k 2 k

21klimx2k11；對(duì){xn的偶子列x2k2k122k，而22k122k22k22k故limk

由于limn2nn1，故取1NnN n2nn2

141從 1

n2nn111 1 n 4從 n14

n2nn34n2nn34n為偶數(shù)時(shí)，由于sin(nsin22

sinn2n1n為奇數(shù)時(shí)，由于sin(n)sin，從而1

n2n 22因此取0

2 和xn1一個(gè)在 內(nèi)，從而xnxn1 收斂原理的否定形式知數(shù)列{xn}極限不存在取0 2sin1，對(duì)N， 公理知，存在kN，使2kN14 3 在2k,2k 1，從而存在nN，使 4 n12k,2k3 4n22n22cos(n2)cosn2sinn2n2

2 2sin12

2sin10Cauchy收斂原理的否定形式知數(shù)列{xn}{cosn極限不取

30，對(duì)N， 3k ,kk ,k62362

1，從而在k

N若在k

,k

2n1k, (k1),(k1) 2 tan(n1)tanntanntan(n1)tanntan6

0 若在kk中有兩個(gè)大于N的正整數(shù)點(diǎn)，則取較大的正整數(shù)為n 2n1(k1)k1) 3tan(n1)tanntanntan(n1)tanntan 0 f(x在(a,|f(x|

f(x

limxf(x)0f(xCauchy0,X0xX2x xX

f(x)f ．又因?yàn)閒(x)在(a,)可導(dǎo)，故f(x)在 ,x上2 Lagrange中值定理?xiàng)l件，因而xxf(xfxf(x 2 2 2f(x)fxxf() 2

f(x)

xf(x)xf(x)xf()xf()2f(x)fx22 2 limxf(x)0設(shè)f(x)在(,)可導(dǎo)，且f(x)k1，x0，xn1f(xn n求證：(1)limxn(2)xf(x證明（1）0N

x1

lnknmNnm|xmxn|f(x在(,Lagrangexn1xnf(xn)f(xn1)f()(xnxn1)kxnxn1 xnxn1kxn1xn2,xn1xnknxx01xmxnxmxm1xm1xn1xnxmxm1xn1111km1xx (km1kn1kn)x k1 (knkn1)x x1k1 nN

x1(1x1

lnkk1nlnk

(1kx1x1k1xmk1

x1

nCauchylimxn（2）f(x在(,xn1f(xnnlimxnflimxnlimxnxf(x ab(abaf(abf(babf(a)f(b)f()abkabab f(x在[ab（1）f(x)f(y)kxy,x,y[a,b],0k1（2）f(x的值域包含在[abnlimxn

f(xnn0,1,2,xf(x的解在[ab(1k證明（1）0N

|x1x0xm

lnknmNnmxn1f(xnx0[abf(x的值域包含在[ab內(nèi)，因而對(duì)nxn[ab]xn1xnf(xn)f(xn1)kxnxn1knxx01xmxnxmxm1xm1xn1xnxmxm1xn1111km1xx (km1kn1kn)x k1 (knkn1)x x1x0k1 Cauchylimxn（2）xf(x在[ab上有兩個(gè)不同的解cdcdf(c)f(d)kcdcd 再論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)f(x在[abx0xn[ablimxx

f(xn)f(x0)n x0abx0ax0b對(duì)任意0min{x0abx0f(x在[abf(x在[ax0]、[x0x0]、[x0bf(x在[ax0]、[x0x0、[x0b上均有最大值，顯然f(x)在[x0x0上的最大值為f(x0f(x在[ax0和[x0bMf(x0)Mf(x02

f

)f

知NnNf(x)f(x0)f(x0)M f

)f

)f(x0)M2

f(x0)2

Mf(x在[ax0和[x0bMxnx0x0|xnx0|limxxn f(x在[abminf(x)pmaxf(x)a af(x)pf(x0f(x)p的根只有有限多個(gè)．f(x)p在[ab上有無窮多個(gè)根，設(shè)[a1b1[ab，二等分區(qū)間[a1b1，則f(x)p的無窮多個(gè)根，設(shè)此區(qū)間為[a2b2]，再二等分區(qū)間[a2b2]f(xp為[a3b3．依此類推得一區(qū)間套{[anbn，由區(qū)間套的構(gòu)造知f(x)p在任意[anbn有無窮多個(gè)f(rpg(x)f(xp，g(x也在[abg(r)f(rp0，從而由保號(hào)性知xrrg(x)0f(x)p，而由區(qū)間套知NnN時(shí)[anbnrrf(xp在[anbn．f(rpf(r0，即limf(xf(r)0，從而x，當(dāng)0|xr| xf(xf(r)0f(xp，從而在(rrf(xrx由區(qū)間套知NnN時(shí)[anbnrrf(x)p在[anbn只有一個(gè)根，f(x)p在[abf(x在[abf(a0,f(b0，求證：存在abf(f(x)0(xbEx|x[abf(x0}f(a0,f(b)0f(x在[abEEEsupEf(0事實(shí)上，由于supE，由本章第一節(jié)習(xí)題3E中選取數(shù)列{xnlimxf(xnf()f(limxn)limf(xn)0 又對(duì)于xbxEf(x0f(b0f(x)0，因而結(jié)論必存在區(qū)間[,]，滿足f(M,f(mf(m,f()Mmf(xMxc[abf(cM；d[ab]f(dmmM，故cdmin{cd}max{cd}，則在區(qū)間[（1）f()M,f()mf()m,f()M（2）對(duì)xf(Mf(mf(m,f(MM分別為[abmf(xM5f(x)[0,2a]上連續(xù)，且f(0)f(2a)，求證：存在x[0,a]f(x)f(xa)證明g(x)f(xf(xax[0,a若f(0)f(a)，根據(jù)已知條件f(0)f(2a)可知，取x0xaf(x)f(xaf(0)f(ag(0)f(0)f(ag(a)f(af(2a)f(af(0)g(0)g(a符號(hào)相反，由零點(diǎn)定理知x[0,a]g(x)0f(x)f(xaf(x在[abf(x)f(x不恒為常數(shù)，則x1x2[ab]f(x1f(x2f(x)定理知[a,b]，使得f()c，這與f(x)取值為整數(shù)．f(x在(ababf(x在[abf(x在[ab上一致連續(xù)，故取10，則0x1

f(x1f(x21.取定a1b1aa1a，bb1b，則xaa1，xa1f(xf(a11f(x)f(a11x[b1b)，有xb1f(xf(b11，因而f(x)f(b11f(x在區(qū)間(aa1M10，使得x[a1b1f(x)M1M

f(a1)

f(x)Mf(x在(ab若函數(shù)f(x)在(a,b)上滿足（Lipschitz）條件，即存在常數(shù)K，使f(x)f(x)Kxx，x,x(a,b)f(x在(ab證明0,取1

則對(duì)xxab),xxLipschitzf(x)f(x

KxxK

f(x在(abf(x在[ac和[cbf(x[a,b]上也一致連證明對(duì)0f(x在[ac一致連續(xù)知10，對(duì)x1x2[acx1x21f(x1f(x2

x1x2[cbx1

2時(shí)，就有f(x1)f(x2) 2取min{1,2，則x1x2[abx1x2x1x2同屬于[acf(xf(x)xx同屬于[cb，也有f(xf(x)xx 個(gè)屬于[ac，另一個(gè)屬于[cb]x1

x1c,x2c f(x1)f(x2)f(x1)f(c)

f(c)f(x2)

因而x1x2[abx1x2時(shí)，f(x1f(x2) f(x在[ab

f(x

f(x存在．證明：f在(,對(duì)0

x1x2X1

f(x)f(x

f(xX20意x1x2X2，就有f(x1f(x2)由于f(x)(,)上連續(xù)，故f(x)在區(qū)間[X11X21][X11,X21上一致連續(xù)，由一致連續(xù)的定義知，對(duì)上述0，存在10x1x2[X11X21]x2x11，就有f(x1f(x2)取min{1,1}0，則x1x2,

x1

x1x2同屬區(qū)間(,X1、[X11X21]或X2，由上述討論知，不管在哪種情況下，都有f(x1f(x2)f(x在(,上一致連續(xù)．f(xX（有窮或無窮）中具有有界的導(dǎo)數(shù)，即f(x)MxXf(xX對(duì)0，取

X，只要|x

中值定理，存在x1,x2之間f(x1)f(x2)|f()(x1x2)|Mx1x2Mf(xX求證：f(x) xlnx在(0,)上一致連續(xù)證明由于f(x) xlnx故f(x)1 lnx ，f(x)lnx1 2

ln2

f(x0x1x1f(xx0,1),f(x)0f(x單x1,f(x0f(xx1f(x的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，而f(1)1，從而對(duì)x(0,，f(x)1．f(x)0xe2，在區(qū)間[e2f(x)0，因而在[e20f(x)1，即f(x)1f(x在[e2)

f(x)

xlnx0

x)xx0

xxg(x在[0,2]g(x在(0,2]f(x在(0,2]一致1對(duì)0，由f(x)在[e2,)上一致連續(xù)知 0，對(duì)任意x1,x2[e2,)1x1x21，都有f(x1f(x2f(x在(0,2]20x1x20,2x1x22，也有f(x1f(x2)x1x2[e2,)，從而

f(x1)f(x2)．因此f(x) xlnx在(0,)上一f(x在(a,

f(x)f(x在(a,證明取1，對(duì)0

f(x)，故X0xX f(x)2，任取xX，xxX，雖然有x

2中值定理知，存在x1x1

f(x)

2f(x

f()x 2 1 22 f(x在(a,f(x)xlnx在(0,

f(x)limlnx1) 可積性]（1）f(x在[0,1]x1(n1,2,n（2）f(x)

x x x11（3）f(x) x x xf(x)1

x x解（1）f(x在[0,1M0，對(duì)x[0,1，都有f(x)M故在區(qū)間[0,1]f(x的振幅2M 0，由于limn

0，故NnN時(shí)，都有

，特別地取nnN1時(shí)，也 .由于f(x)在 0，使得對(duì)區(qū)間

即

n,1的任何max(xi1

i' 2 i 1 取min1n，對(duì)[0,1的任意max(xi的分法，下證ixi 01n n

1nn

ii i0 i0 ixiixiixiixi2Mxi2Mi

ii0

ii0 x f 是由于xi 在 ii0 間 ,1可積，因而

i

limn

i

i0ii0 0i01

(n1,2,)和x0，根據(jù) f(x在[0,1f(x)1f(xf(xx0和x nf(x在[0,1上有0f(x)1f(xf(xx1(n1,2,)，由（1）的證明知f(x在[0,1nf(x),f2x),f(x)解f(x),f2x),f(x)f(x)可積，則f(x)f2x

f(x)f2xf(x可積推導(dǎo)f(x)nn由f(x)limi 0

0，而對(duì)于任一所討論區(qū)間[xi1xi中的任意兩點(diǎn)

f(x)

f(x)

f(xf(x)，即*（其中*

f(x)在xi1xi上的振幅，因而0

0(0，即f(x)i

i f(xf2xf(xf(xM0xf(xM而且limx0.對(duì)任一區(qū)間xxxx，由于（設(shè)f2x0 i1

xi1xi上的振幅f2(x)f2(x)f(x)f(x)f(x)f(x)2Mf(x)f(x)n故0

2Mi

0(0)f2x

f(x)f2xf(xf(x)

f(x)f2x1，故在[0,1]上f(x)f2xn，故最后證明f(x)f2xf(x)f2xf2(x)f2(x)f(x)f(xf(x)ff(x)f(xf(x)f2Mf(x)f(x

f(x)f2xf2x可積推導(dǎo)f(x)f2xc(c0)g(x)f2xcg(xf2x有同樣的可積性．對(duì)任一區(qū)間xi1xi中的任意兩點(diǎn)x,x，由于f(x)f(x)f(x)f(x)f2(x)f2(x) f(x)

f(x)

f2(x)f2(x)12f2(x)f2(xff12f2(x)f2(xff(x f(xg(x都在[abM(x)max(f(x), m(x)min(f(x),在[a明M(x)

f(x)g(x)2

f(xg(x)f(x,g(x都在[ab1212f(x)12122因而m(x)f(x在[abf(x)r0

f(x)g(x)

f

在[ab]可積n（2）lnf(x在[abn證明f(x在[ab上可積，故limixi0，即對(duì)0,00n[a,b]的任意max(xi)的分法，都 ixi對(duì)上述[ab的任意的分法，設(shè)

*為函數(shù)

在區(qū)間xx上的振幅 f 1f11f(x并1f11f(xf(x)f(xf(x)f(xf(x)f(x f f(x

f(x)f(x

1r 1

從

xi

i

，即

xi0

在區(qū)間[abrr

2

f對(duì)上述[ab的任意的分法，設(shè)i為函數(shù)lnf(x在區(qū)間xi1xi上的振幅，并設(shè)ilnf(x)lnf(x)，不妨lnf(x)lnf(x，由于 f f ilnf(x)lnf(x

lnf(x)lnf(x)

f(x)ln1f(x)1 x0時(shí)ln(1xx f f f(x)f(x 1 f(x

1

f(x

1

f(x

f(x)f(x) i n

1n

1

n 從而i

r

ir

i

設(shè)f(x)在[a,b]可積，求證 0，存在逐段為常數(shù)的函數(shù)(x)，baf(x)(x)dxb對(duì)0f(x在[ab上可積，故根據(jù)可積的定義知，0，對(duì)[ann由于振幅iMimi，故xxi1xif(xmif(x)Mi．i (x)mi x[x,x),i1,2,,ni mn

x

,xn則(x)是逐段為常數(shù)的函數(shù)，而且在區(qū)間[xi1,xi)f(x)(x)Mi(x)Mimii 因 af(x)(x)dx f(x)(x)dxixi i b故af(x(x)dxbf(x在[abf[a,b]

f(x)

f(x)求證：f[a,b] x,

f(x)f(x)證明

f(x)

f(xf(x在[ab

f(x)

f(x)對(duì)xx[ab]，由于f(x)

f(x),f(x)

f(x|f(x)f(x)|

f(x)

f(x)f[a,因此f[ab是|f(xf(x|在[ab的上界，下證f[ab事實(shí)上，對(duì)任意0

f(x)

f(x

f(xf(x在[ab確界，故x1[ab]f(x1

f(x)2

f(xf(x在[ab界，故x2[abf(x2

f(x 2

1)f(x2 f(x)inff(x)

f(x)

f(x)f[a,b]因此f[ab是|f(xf(x|在[ab的上確界，即f[abf(xx0

x,

f(x)f(x)f

)limff

1,

nf(xx0連續(xù)的充分必要條件是f(x00證明對(duì)0,由f(x)在x0連續(xù)知0,x,xx0時(shí)，都有f(x)f(x0) N

1

1，則nN

1知x

1,x

1xx．從而 n

1,

n

x,x(x1,x1

f(x)f(x0n0 f(x)f(x)

f(x)f(x0)x,x(x1,x1 0n0 x,x(x1,x1) 20n0f從而limf

1,

10，即n n

)0f充分性對(duì)由于limf

1,

10，故NnNnnf

x1,

1nn

f(x)

1f(x) xx0

,x0

xx,x取

n，則xx0x0nf(x)f(x0) f(x) fxx0,x0 f(x)

xx0,x0 f(x) 1 xx1,x1 nxx0n,x0n 0n f(xx0f(x在AB

f(xh)f(x)dx0AabB（這一性質(zhì)稱為積分的平均連續(xù)性f(x在ABf(x在ABM0n得xAB],f(x)MAabB知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[abn0 6的分法，都有ixi 6Nba1Nbaba，因而對(duì)nN ba

，故對(duì)區(qū)間[ab]n等分分法，也

i

i

ai(ba) af(xh)f(x)dx

f(xh)f(x)dx b

h

BbaAxxh都在第i(i1,2,n個(gè)小區(qū)間上，則f(xhf(x)ixxhx位于第i(i1,2,nh0xh位于第i1f(xh)f(x)f(xh)f(xi)f(xi)f(x)i1ih0xh位于第i1f(xh)f

f(xh)f(xi1)f(xi1)f(x)i1i綜合（（）知對(duì)任i1,2,nf(xhf(x)i1ii1，這里當(dāng)i1in02M,n12M

f(xh)f(x)dx

ixi4Mb 4Mba n n ib由于lim

0，故對(duì)上述0,N20nN24Mba baf(xh)f(x)dx bb 綜上所述，取min ,Bb,aA，則當(dāng)h時(shí)，恒有（4）式成立，N 而

f(xh)f(x)dx0f(x)0,f(x)0，對(duì)x[ab f(x)baaf(x)dxf(x在區(qū)間[abf(x在區(qū)間[ab必連續(xù)，由閉區(qū)間上連axx0ax0b時(shí)同理可證，并將區(qū)間[ab分為[ax0和[x0b考慮區(qū)間[ax0，對(duì)x[ax0x1)ax0，則01 af(x)dx0f((1)ax0)(x0a)d(x0a)0f((1)ax0)df(x0f(xf(x)01(xa)f((1)a1

)d

0