小專題復(fù)習(xí)課（四）立體幾何

小專題復(fù)習(xí)課（四）立體幾何熱

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報(bào)

熱點(diǎn)一：空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算問題1.此類問題常以三視圖為載體，通常是給出某幾何體的三視圖，要求考生求解該幾何體的表面積或體積2.試題以選擇題、填空題為主，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題熱

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報(bào)熱點(diǎn)二：有關(guān)線、面位置關(guān)系和命題真假的判斷1.此類問題涉及知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，通常是考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)2.試題以選擇題的形式出現(xiàn)，考查學(xué)生的空間想象能力及分析問題、解決問題的能力熱點(diǎn)三：空間位置關(guān)系的證明1.此類問題多以多面體為載體，考查線線、線面、面面間的平行與垂直之間的相互轉(zhuǎn)化2.試題多為解答題，考查學(xué)生的推理能力和空間想象能力熱

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報(bào)熱點(diǎn)四：折疊問題1.此類問題通常是把平面圖形折疊成空間幾何體，并以此為載體考查線線、線面、面面的位置關(guān)系及有關(guān)計(jì)算2.試題以解答題為主，考查學(xué)生的空間想象能力和知識(shí)遷移能力熱點(diǎn)五：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1.此類問題多以多面體(棱柱、棱錐)為載體，考查空間位置關(guān)系的證明及空間角的求法，特別是線面角和二面角的求法2.試題多以解答題的形式出現(xiàn)，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力熱

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報(bào)熱點(diǎn)：空間幾何體的三視圖1.此類問題多為考查三視圖的還原問題，且常與空間幾何體的表面積、體積等問題結(jié)合命題2.試題多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查學(xué)生的空間想象能力及運(yùn)算能力，屬中檔題熱點(diǎn)一

空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算問題1.(2013·濟(jì)南模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則此幾何體的表面積是()(A)(80+)cm2(B)84cm2(C)(96+)cm2

(D)96cm2【解析】選A.由三視圖可得該幾何體是正四棱錐與正方體的組合，S表面積＝2.若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積為()(A)cm3(B)70πcm3(C)cm3(D)100πcm3【解析】選A.由三視圖可知，該幾何體上部是一個(gè)圓臺(tái)，下部是一個(gè)半球，故其體積為故選A.3.(2013·株洲模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積是()(A)(B)(C)(D)【解析】選B.根據(jù)三視圖還原幾何體為一個(gè)如圖所示的三棱錐D-ABC，其中平面ADC⊥平面ABC，△ADC為等邊三角形.取AC的中點(diǎn)為E，連接DE，BE，則有DE⊥AC，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥EB.由圖中數(shù)據(jù)知AE=EC=EB=1，設(shè)此三棱錐的外接球的球心為O，則它落在高線DE上，連接OA，則有所以故球O的半徑為故所求幾何體的外接球的表面積故選B.4.(2013·岳陽(yáng)模擬)某幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，側(cè)視圖與正視圖相同，且圖中的四邊形都是邊長(zhǎng)為2的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是()(A)(B)(C)6(D)4【解析】選A.由三視圖知，該幾何體是正方體挖去一個(gè)以正方體的中心為頂點(diǎn)，以正方體的上面為底面的四棱錐后的剩余部分，其體積為故選A.熱點(diǎn)二

有關(guān)線、面位置關(guān)系和命題真假的判斷1.設(shè)l,m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()(A)若l⊥m,m?α,則l⊥α(B)若l⊥α,l∥m,則m⊥α(C)若l∥α,m?α，則l∥m(D)若l∥α,m∥α,則l∥m【解析】選B.根據(jù)線線、線面位置可知，A中l(wèi)可在α內(nèi)或者與α相交但不垂直或者l與α平行，C中l(wèi)與m也可以垂直或異面，D中l(wèi)與m也可以異面或相交.故選B.2.(2013·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)α，β，γ為平面，l，m,n為直線，則m⊥β的一個(gè)充分條件為()(A)α⊥β,α∩β=l,m⊥l(B)n⊥α,n⊥β,m⊥α(C)α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ(D)α⊥γ,β⊥γ,m?γ，m⊥α【解析】選B.如圖①知A錯(cuò)；如圖②知C錯(cuò)；如圖③在正方體中，兩側(cè)面α與β相交于l,都與底面γ垂直，γ內(nèi)的直線m⊥α，但m與β不垂直，故D錯(cuò)；由n⊥α,n⊥β,得α∥β.又m⊥α,則m⊥β，故B正確.3.(2013·武漢模擬)設(shè)α,β為兩個(gè)不重合的平面，m,n是兩條不重合的直線，給出下列命題：①若m⊥n,m⊥α,則n∥α;②若n?α,m?β,α與β相交且不垂直，則n與m不垂直；③若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n⊥β;④若m∥n,n⊥α,α∥β,則m⊥β.其中所有真命題的序號(hào)是_______.【解析】若m⊥n,m⊥α,則n∥α或n?α,①是假命題；②中的n與m可以垂直，假命題；③中n⊥β，或n?β,或n與β相交，但不垂直，或n∥β，假命題；④是真命題.答案:④熱點(diǎn)三

空間位置關(guān)系的證明1.如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中點(diǎn)，AF=.(1)求證：AF∥平面BCE.(2)求證：平面BCE⊥平面CDE.(3)求此多面體的體積.

【解析】(1)取CE的中點(diǎn)P，連接FP，BP，∵F為CD的中點(diǎn)，∴FP∥DE，且FP=DE.又AB∥DE，且AB=DE，∴AB∥FP，且AB=FP，∴四邊形ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP.又∵AF平面BCE，BP?平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵AD=AC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD.∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD.又AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.又∵BP?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.(3)此多面體是一個(gè)以C為頂點(diǎn)，以四邊形ABED為底面的四棱錐，又AF=AC=AD=2，AF⊥CD，∴CD=2，∴△ACD為等邊三角形.S四邊形ABED=平面ABED⊥平面ADC，∴等邊三角形ACD中AD邊上的高就是四棱錐的高，∴2.如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，AC⊥CD，E是AA1上的一點(diǎn).(1)求證：CD⊥平面ACE.(2)若平面CBE交DD1于點(diǎn)F，求證:EF∥AD.【證明】(1)因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為直四棱柱，所以AA1⊥平面ABCD.因?yàn)镃D?平面ABCD，所以AA1⊥CD，即AE⊥CD.因?yàn)锳C⊥CD，AE?平面AEC，AC?平面AEC，AE∩AC=A，所以CD⊥平面AEC.(2)因?yàn)锳D∥BC，AD?平面ADD1A1，BC平面ADD1A1，所以BC∥平面ADD1A1.因?yàn)锽C?平面BCE，平面BCE∩平面ADD1A1=EF，所以EF∥BC.因?yàn)锳D∥BC，所以EF∥AD.熱點(diǎn)四

折疊問題1.將如圖①所示的直角梯形ABEF(圖中數(shù)字表示對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度)沿直線CD折成直二面角，連接部分線段后圍成一個(gè)空間幾何體，如圖②所示.(1)證明：BE∥平面ADF.(2)設(shè)M是FB的中點(diǎn)，求證：EM⊥平面BDF.【證明】(1)∵CE∥DF，CE平面DAF，DF?平面DAF，∴CE∥平面DAF.又∵BC∥AD，BC平面DAF，AD?平面DAF，∴BC∥平面DAF.∵CE∩BC=C，∴平面CBE∥平面DAF.又∵BE?平面CBE，∴BE∥平面ADF.(2)取BD的中點(diǎn)O，連接MO，CO.則MO∥FD，且MO=FD?EC∥MO且EC=MO?四邊形MECO為平行四邊形?ME∥CO.由已知FD⊥DC，平面FDC⊥平面ABCD，平面FDC∩平面ABCD=CD，∴FD⊥平面ABCD，∴FD⊥OC.又易知BD⊥OC，BD∩FD=D，∴CO⊥平面BDF.∴EM⊥平面BDF.2.(2013·吉首模擬)已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，點(diǎn)E在CD上且CE=1，如圖(1).把△DAE沿AE向上折起到D′AE的位置，使二面角D′-AE-B的大小為120°，如圖(2).(1)求四棱錐D′-ABCE的體積.(2)求CD′與平面ABCE所成角的正切值.(3)設(shè)M為CD′的中點(diǎn)，棱AB上是否存在點(diǎn)N，使MN∥平面D′AE？若存在，試求出點(diǎn)N位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】(1)取AE的中點(diǎn)P，連接DP，D′P,由DA=DE，D′A=D′E?DP⊥AE,D′P⊥AE.故∠D′PD=60°?△DD′P為等邊三角形，D′在平面ABCD內(nèi)的射影H為PD的中點(diǎn)，∴(2)由題意知∠D′CH即為CD′與平面ABCE所成的角.在三角形CDH中，DH=，CD=3，∠CDH=45°,由余弦定理可得CH=?tan∠D′CH=(3)取CE的中點(diǎn)F，連接MF，則MF∥D′E，在平面ABCE內(nèi)過F作FN∥AE交AB于N，連接MN.又MF∩NF=F，D′E∩AE=E，則平面MFN∥平面D′AE，又MN在平面MFN內(nèi)，故MN∥平面D′AE，此時(shí)AN=EF=CE=，故存在點(diǎn)N使MN∥平面D′AE.熱點(diǎn)五空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.如圖所示，在多面體ABCD-A1B1C1D1中，上、下兩個(gè)底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB=2A1B1=2DD1=2a.(1)求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值.(2)已知F是AD的中點(diǎn).求證：FB1⊥平面BCC1B1.(3)在(2)的條件下，求二面角F-CC1-B的余弦值.【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2a,0,0),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),F(a,0,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a).(1)∵=(-a,a,a),=(0,0,a),∴即異面直線AB1與DD1所成角的余弦值為(2)∵=(-a,-a,a),=(-2a,0,0),=(0,a,a),∴∴FB1⊥BB1，F(xiàn)B1⊥BC.∵BB1∩BC=B，∴FB1⊥平面BCC1B1.(3)由(2)知，為平面BCC1B1的一個(gè)法向量，設(shè)n=(x1,y1,z1)為平面FCC1的一個(gè)法向量，又∵=(0,-a,a),=(-a,2a,0).由令y1=1,則x1=2,z1=1,∴n=(2,1,1),∴

即二面角F-CC1-B的余弦值為2.(2013·益陽(yáng)模擬)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC1=2,點(diǎn)D，E分別是AA1，CC1的中點(diǎn).(1)求證：AE∥平面BC1D.(2)證明：平面BC1D⊥平面BCD.(3)求CD與平面BC1D所成角的正切值.【解析】(1)在矩形ACC1A1中，由C1E∥AD,C1E=AD，得四邊形AEC1D是平行四邊形，所以AE∥DC1.又AE平面BC1D，C1D?平面BC1D，所以AE∥平面BC1D.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥CC1，AC⊥BC，CC1∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1，而C1D?平面ACC1A1，所以BC⊥C1D.在矩形ACC1A1中，從而DC2+DC12=CC12，所以C1D⊥DC，又DC∩BC=C，所以C1D⊥平面BCD，而C1D?平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面BCD.(3)方法一:由(2)可知平面BC1D⊥平面BCD，所以，斜線CD在平面BC1D上的射影在BD上，∠BDC即為直線CD與平面BC1D所成的角.又由(2)可知，BC⊥平面ACC1A1，所以，BC⊥CD，所以，三角形BCD是直角三角形，BC=1,CD=所以所求值為方法二：以C1為原點(diǎn)，射線C1A1，C1B1,C1C為x,y,z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,2),D(1,0,1),C1(0,0,0),B(0,1,2)，則

=(-1,0,1)，=(1，0，1)，=(0，-1，-2).設(shè)平面BC1D的一個(gè)法向量為n=(x,y,1)，由n

·=0,得x+1=0，由n

·=0,得y+2=0，由以上兩式解得x=-1,y=-2,∴n=(-1,-2,1)，設(shè)n與的夾角為θ，則即CD與平面BC1D所成角的正弦值為故所求值為熱點(diǎn)空間幾何體的三視圖1.