浙江省安吉縣上墅私立高級中學(xué)人教A版數(shù)學(xué)選修4-1 3.3平面與圓錐面的截線 教案

平面與錐面的線一考學(xué)簡平面截圓錐面（過頂點(diǎn)）得的截，可以是、橢圓雙曲線及物線，這些知識在教材中并涉及，只在章頭圖中驚鴻一.觀浙江卷題及各模擬卷均時(shí)有以此為背景的試，簡潔而動(dòng)考生往往無所適從“小題大”，主原因是對節(jié)知識的缺失過本節(jié)課的習(xí)學(xué)生了此類問題本掌握解決類問題的方法教師在教學(xué)時(shí)可以參人教A版修4-3的相關(guān).二教目1.通過態(tài)演示（或圖示）觀察平面圓錐面的境，讓生感知截的四種形；2.利用Dandelin雙球證截線為橢的情形；3.能利結(jié)論判斷平面截圓錐面所得線形.三教重難教學(xué)重點(diǎn)：1.面截圓錐面所得截線狀的三個(gè)論；2.平截圓錐面所得截線形狀的判.教學(xué)難點(diǎn)：1.圓截線的證明；2.三結(jié)論的綜合應(yīng)用四教策1.直性原則通過動(dòng)畫或圖示讓學(xué)生直感知知識的形成過.2.探性原則應(yīng)利用探究性、作學(xué)習(xí)等式，加深對知識的理.3.適性原則根據(jù)學(xué)情活把握教學(xué)難度學(xué)選教學(xué)內(nèi),必要面面俱,學(xué)生只要掌握相關(guān)結(jié)論即可,定理證明只是了幫助學(xué)更好地解相關(guān)結(jié),強(qiáng)求定性明五教過【環(huán)一】

平面截圓錐面的種情形

1.觀察列兩幅圖，感知平面（不過錐頂點(diǎn)）圓錐面得截線的種情況圖2【設(shè)意圖】過圖示（有條件動(dòng)畫演示讓學(xué)生直感知截線的四種情.于本知識在教材中有介紹，不宜做過度拓.【環(huán)2面截圓錐面定兩個(gè)實(shí)驗(yàn)：利用何畫板探平面截圓錐面定.【驗(yàn)1】圖3是等三角形底上的高，，與直線l與AD相交于點(diǎn)P，與AD的角為【探1當(dāng)滿足么關(guān)系時(shí)有1）l（或其延長相交l與AB

2

).不相交）l交.

與AB的延長、AC都相

論】如圖4，可得如下結(jié)：AB的長線都相時(shí),設(shè)l與(或的長)交E與AC交于F因是的角所必然有反之,l與AB(或延長線)、AC都相交

//AB相交時(shí),則l/,時(shí)有反之當(dāng)交.

時(shí),l//ABl與AB不相ACl

BAG因?yàn)榈慕?所那l與的延長線都相交【設(shè)意圖】

實(shí)驗(yàn)1從面圖形出，通過探讓學(xué)生知三個(gè)結(jié)，而這三結(jié)論恰恰是定理的核心內(nèi).于是平面形學(xué)生能很容易解，教師直接讓學(xué)回答，可不必用幾何畫板演.【實(shí)2將圖3中等三角形拓為圓錐直線拓展為平面通過合推理則得到圖2.（實(shí)只需演示，不必讓學(xué)生探究【實(shí)結(jié)果】果一平面去截一個(gè)正圓，而且這平面不過圓錐的點(diǎn)，則到如下結(jié)論：1.如平面與一條母線平行（相當(dāng)于中相交，這時(shí)交線是條拋物線2.如平面與母線不平行，則有兩種形：

么平面只與圓錐的一半（）（）【設(shè)意圖】以適當(dāng)引申

時(shí)，平面只與圓的一半相，這時(shí)交線是橢圓；時(shí)，平面與圓錐兩部分都交，這時(shí)交線是雙曲通過演示，讓學(xué)直觀感知論，無需過多拓.然對條件較好的學(xué)?！径ā靠臻g中，取直線

l

為軸，直線

l

/

與

l

相交于O點(diǎn)，其夾角為

，

l

/

圍繞

l

旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為點(diǎn)，l為母線圓錐面，取平面，若它與軸l交角為

（與l

平行，記著β＝：（）（）（）

，平面π與錐交線為橢；，平面π與錐交線為拋線；，平面π與錐交線為雙線

5

利用Dandelin雙（這兩球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位平面π的方，一個(gè)位于平面的下方，并且面π及圓錐均相切）下面只證明

時(shí)，平面與錐的交線為圓證明如，設(shè)截面兩球的切分別為FA為截線上任一點(diǎn)過點(diǎn)A的母線與兩球的切點(diǎn)分別為B、，則易得

，所以AFAC

定值，由橢圓定，則點(diǎn)A的軌跡為橢.【設(shè)意圖】

進(jìn)一步強(qiáng)化結(jié)論.定理證明以橢為例，其他兩種情況不做要.這只需要學(xué)生掌握結(jié)即可【環(huán)3定理用例：直接利用理解決下問.（）面

與圓錐的母線平，則它們交線為拋物;離心__1__;（）圓面的母線軸線成角當(dāng)用一與軸線成30不過頂點(diǎn)的平面去截錐時(shí)，則所截得的截線（C）A.橢B.雙曲C.物線D.兩條相交直線（）知錐面S其母線與線所成角30，軸線上取點(diǎn)C，過點(diǎn)C作截面使它與軸線所成角為則截出的曲是（）A.圓B.橢C.雙曲D.物線【設(shè)意圖】1的個(gè)小題均可接利用定求解主要是為讓學(xué)生熟定理結(jié)論及其簡單應(yīng)用例：求解下列題（）錐頂角為60

，平面

與母線所成的角

，則截面所截得截線是（）A.圓B.橢C.雙曲D.物線提示：截面與軸直，所以線為圓，故選A.（浙江文7如圖6斜線段所成的角為，為足，平面上的動(dòng)點(diǎn)

滿足

，則點(diǎn)

的軌跡是（C）A．直線B．拋線．橢圓D雙曲線的支

提示：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)在空間，滿足條的AP繞旋形圖6成一錐，一個(gè)圓錐

的平截圓所得圖形為橢.故選C.【式2016金衢十二校理8如圖7AB是面α固定的斜線段B為足．若點(diǎn)C在面

內(nèi)運(yùn)動(dòng)且CAB等直AB與平面

所成的角，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡()A．圓．橢圓

C雙曲線．拋物線

圖7【設(shè)意圖】

通過兩個(gè)問題和個(gè)變式加對定理理解對于問題(及變式需要模型建構(gòu),才能利定理進(jìn)行判,是對生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培.例：活用定理決下列問.（2008年浙江10）如圖8AB是平面

的斜線段，為斜足，若點(diǎn)在面

內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使三角ABP的面積定值則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（B）A．圓．橢圓C一條直線D．兩平行直線

圖82015湖州月l

小120

AB

l

動(dòng)點(diǎn)C滿AC與成角則點(diǎn)C在平面和平面上軌分別是（）A．橢圓、B雙曲線、橢圓C．雙線、圓D．拋物、圓【設(shè)意圖】

強(qiáng)化定理的靈活用，培養(yǎng)生的理性思【反練習(xí)】1.如圖，直線PO平面M，足為O直線ＰＡ是平面Ｍ的條斜線，足為Ａ其中

，過點(diǎn)Ｐ的動(dòng)直ＰＢ交平Ｍ于點(diǎn)，

APB

，則下列說法正的是＿（１）（２）

，則動(dòng)點(diǎn)Ｂ的軌是一個(gè)圓，則動(dòng)點(diǎn)Ｂ的軌是一條直；（３）

，則動(dòng)點(diǎn)Ｂ的軌是拋物線圖9（４）答案（２）

，則動(dòng)點(diǎn)Ｂ的軌是雙曲線

2.如圖10平面

的斜線AB交于B點(diǎn)，且