「第八章矢量算法與場論初步張量算法與黎曼幾何初步SECTION2」

§2 場論初步一、場論的基本概念及梯度、散度與旋度［標(biāo)量場］空間區(qū)域D的每點(diǎn)M(x,y,0對應(yīng)一個數(shù)量值①(X,y,0，它在此空間區(qū)域D上就構(gòu)成一個標(biāo)量場，用點(diǎn)M(x,y,z)的標(biāo)函數(shù)①(x,y,0表示若M的位置用矢徑r確定，則標(biāo)量中可以看作變矢r的函數(shù)①二①(r).例如溫度場u(x,y,0,密度場P(x,y,z)，電位場e(x,y,z)都是標(biāo)量場.［矢量場］空間區(qū)域D的每點(diǎn)M(x,y,z)對應(yīng)一個矢量值R(x,y,Z),它在此空間區(qū)域D上就構(gòu)成一個矢量場，用點(diǎn)M(x,y,z)的矢量函數(shù)R(x,y,Z)表示.若M的位置用矢徑r確定,則矢量R可以看作變矢r的矢函數(shù)R(r)：R(r)=X(x,y,z)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k例如流速場°(x,y,z)，電場E(X,y,z)，磁場H(x,y,z)都是矢量場.與標(biāo)量場的情況一樣,矢量場概念與矢函數(shù)概念，實(shí)質(zhì)上是一樣的.沿用這些術(shù)語(標(biāo)量場、矢量場)是為了保留它們的自身起源與物理意義．［梯度］grad①=(3,8,8)=V①=型i+8j+碼kdx dydz d.x dy dz式中V=i￡+j色+k邑稱為哈密頓算子，也稱為耐普拉算子.grad中有的書刊中記作deldx dy dz中.grad中的方向與過點(diǎn)(x,y,z)的等量面①=C的法線方向N重合,并指向中增加的一方，是函數(shù)中變化率最大的方向,它的長度等于8.dN梯度具有性質(zhì):

grad（九①+日W）=九grad①+日gradV（九、日為常數(shù)）grad(①V)=①gradV+Vgrad①gradF(①)=F'Cpbrad①［方向?qū)?shù)］曳二1，g「adp=8cosa+勁cosP+曳cosy

dl dx dy dz式中l(wèi)=(cosa,cosP,cosy)為方向l的單位矢量，a,P,y為其方向角.方向?qū)?shù)為p在方向l上的變化律，它等于梯度在方向l上的投影.［散度］divR=三+空+?=V?R=div(X,Y,Z)Sx dy dz式中V為哈密頓算子.散度具有性質(zhì)：div(九a+nb)=九diva+日diVb(九、日為常數(shù))div(pa)=pdiva+agTadpdiv(axb)=b?「ota-a-Totb［旋度］SZ SY、.SZ SY、.，SX SZ、.力Y SX、，rotR=(一—一)i+(——一)+(一———)k=VxR=Sy Sz Sz Sx Sx Sy3 3sSx Sy SzX Y Z式中V為哈密頓算子，旋度也稱渦度，rotR有的書刊中記作cu「1R.旋度具有性質(zhì)：rot(九a+nb)=九rota+日rotb(九、日為常數(shù))「ot(pa)=prota+axgradprot(axb)=(b-V)a-(a-V)b+(divb)a-(diVa)b［梯度、散度、旋度混合運(yùn)算］運(yùn)算grad作用到一個標(biāo)量場＜p產(chǎn)生矢量場gradcp，運(yùn)算div作用到一個矢量場R產(chǎn)生標(biāo)量場divR,運(yùn)算rot作用到一個矢量場R產(chǎn)生新的矢量場rotR.這三種運(yùn)算的混合運(yùn)算公式如下：divrot/?=0TOC\o"1-5"\h\zrotgrad(p =0? 。2中 。2平 32(0divgrad(p=-- +—-+--=A(PJ 6x2 dy2 &2grad div R=V(WR)rotrotx(VXR)divgrad(X(p+|LiVdiVgrad(p+|LidivgradV(九、N為常數(shù))divgrad(cpy)=(pdivgrad\|/+Vdivgradq)+2grad(p-grad\|JgraddivR-TotrotR=AR式中 V為哈密頓算子，△=VV=V2為拉普拉斯算子.［勢量場(守恒場)］ 若矢量場X,y,z)是某一標(biāo)函數(shù)(p )的梯度，即R=grad(p或X=四■，丫=四.,Z二西

dxdydz則R稱為勢量場，標(biāo)函數(shù)(P稱為R的勢函數(shù).矢量場K為勢量場的充分必要條件是：rotK=0,或dX_dYdY_dZdZ_dXdydx5dzdy'dx&勢函數(shù)計(jì)算公式

①（x,y,z）=①（xo,y z0）+JXX（x,J,zh+fyYQ,j,z'y0 0 0 0 0x0 y0+JJZQ,y,zLz0［無散場（管形場）］若矢量場R的散度為零即divR=0,貝UR稱為無散場.這時必存在一個無散場「使R二rotT,對任意點(diǎn)M有1 frotRT=—— dV4兀 r式中?為dV到M的距離，積分是對整個空間進(jìn)行的［無旋場］若矢量場R的旋度為零，即rotR=0,則R稱為無旋場.勢量場總是一個無旋場，這時必存在一個標(biāo)函數(shù)6使R=grad①，而對任意點(diǎn)M有fdivR^7①="——J dV4兀 r式中r為dV到M的品距離積分是對整個空間進(jìn)行的.二、梯度、散度、旋度在不同坐標(biāo)系中的表達(dá)式.單位矢量的變換［一般公式］假定x—f（白,”<）,y=g（0，”工）,z—h（0,月工）把（白,月工）空間的^個區(qū)域 一對一地連續(xù)映射為（X,y,z）空間的一個區(qū)域2并假定f,g,h都有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),因?yàn)閷?yīng)是一對一的，所以有<=①（x,y,z）,n=W（x,y,z）,。=/（x,y,z）再假定9W,X也有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有ccc

ddd

axccc

ddd

ax一洸②苑&一洸

+++

ddd

ax所力所&所

+++

己口白

ddd

k-白一己上一己

s-S3-S3

===

dxdy出或逆變換出讓出

+++

出讓出

+++

dydydy

+++

dxdxdx

沿dX,dy,出方向的單位矢量記作i,j,k，沿非,d\dC方向的單位矢量記作e,e,e，則有&nG\Ts&s&S&??——i+——j+——S\Ts&s&S&??——i+——j+——Sn Sn Sn\\SnSnSn、2、2、2［圓柱面坐標(biāo)系的單位矢量］SG對于圓柱面坐標(biāo)系（圖8.11）xx=pcos①y=psin中(0<p<8,0<^<2兀,一8<z<8)單位矢量為e=cos①i+sin①jp<e=-sin①i+cos①j中e=kz它們的偏導(dǎo)數(shù)為―p_=e,―=-e,—z=0=0S① 9S①pS=0=0［球面坐標(biāo)系的單位矢量］對于球面坐標(biāo)系（圖8.12）x=rsin。cos［球面坐標(biāo)系的單位矢量］對于球面坐標(biāo)系（圖8.12）x=rsin。cos①<y=rsin。sin①z=rcos。(0<r<8,0<^<2兀,0<0<k)單位矢量為e=sin0cos①i+sin0sin。+cos0kr<e。=cos0cos①i+cos0sin^j-sin0ke=-sin①i+cos。i中它們的偏導(dǎo)數(shù)為de r

drde—于=e,-030 0303e 3e 3J—j=sin0e,―0-=cos0e,―必=3① 93① 93中-sin0er-cos0e0.矢量的坐標(biāo)變換［一般公式］一個由（x,y,z）坐標(biāo)系所表達(dá)的矢量可以用（?！惫ぃ┳鴺?biāo)系來表達(dá):j+Uk=ue+ue+ue

z &&nnGG式中3nH3&3&(3&]13n3n13n%(3&(3&3H3&3&(3&]13n3n13n%(3&(3&3&R3n3n13n3n3n「3x)T3&(3&(3&3n3n［圓柱面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互換］由圓柱面坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的變換公式'u=ucos①一usin①xVu=usin①+ucos中yPu=xVu=usin①+ucos中yPu=u■zz由直角坐標(biāo)系到圓柱面坐標(biāo)系的變換公式。=ucos①+usin中JuP=-usin①+ucos中Q xu=u

zz［球面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互換］由球面坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的變換公式u=usin0cos①+ux《uyuzr=urcos0cosQ-usinQ0 Qsin0sin①+ucos0sin①+ucos中

0 9=ucos0-usin9由直角坐標(biāo)系到球面坐標(biāo)系的變換公式u=usin0cos①+usin0sin①+ucosO<u0u

l①=-usin①+ucos①=ucosO<u0u

l①=-usin①+ucos①.各種算子在不同坐標(biāo)系中的表達(dá)式設(shè)U=U(X,y,z)是一個標(biāo)函數(shù)，V=V(x,y,z)是一個矢函數(shù).［在圓柱面坐標(biāo)系中各種算子的表達(dá)式］哈密頓算子 V=e2+e-且+e-pap qpaQ zaz度 ~auiau au度gradU= VU=e +e +e—pap qpaQzaz度divv=V-V=——papQu)+piau au ?-+zpa① az(iau aurotV=IP「au—pIazauz

apJ~Vx

a^pu) ^(P即拉普拉斯算子 AU=d1vgradU=工JLpap1a2Ua2u+ + p2ap2 az2［在球面坐標(biāo)系中各種算子的表達(dá)式］哈密頓算子a1a一+e——-

arerae1a+e ——prsineapgradU=vu=au1au1au——+e——+e——-——

ar eraeprsineaprsineae(sineu)

e1 au+—rsineap~rotV=vxVsine(ae1 au rrsineap1g(rurar 中11aurae1a(ru) e—rar拉普拉斯算子AU=divgradUrsineae+ r2sin2eap2三、曲線積分、曲面積分與體積導(dǎo)數(shù)［矢量的曲線積分及其計(jì)算公式］矢量場R(r)沿曲線r的曲線積分定義為JR(r).dr二lim￡R(~)-Ariir 八八 iArf0.inf8iT式中Ari_i=r廠ri「右邊極限與r的選擇無關(guān)，曲線r由A到B(圖8.13)若矢函數(shù)R(r)是連續(xù)的(就是它的三個分量是連續(xù)函數(shù))，曲線r也是連續(xù)的，且有連續(xù)轉(zhuǎn)動的

切線，則曲線積分存在.?dr就等于把若R(r)為一力場,則P=J?dr就等于把一質(zhì)點(diǎn)沿著r移動時力r所作的功.矢量曲線積分的計(jì)算公式如下:JR().dr=Jr(Xdx+Ydy+Zdz)J R(r).dr=JR。).dr+JRQ).dr (圖8.14)riJRC)dr=-JR(r)?drJR。)+TG)1dr=JRG).dr+JTG)drJkR(r).dr=kJRG).drr(k為常數(shù))［矢量的環(huán)流］如果「為一閉曲線，則沿曲線T的曲線積分JR。).dr=J(Xdx+Ydy+Zdz)r稱為矢量場R(r)沿閉曲線r的環(huán)流.且它的勢函數(shù)為①時，則曲線積分勢量場沿任何閉曲線的環(huán)流都等于零如果R(r)且它的勢函數(shù)為①時，則曲線積分JR1)dr=卜R(r).dr=①(B)-①(A)與連接A,B兩點(diǎn)的路徑無關(guān),只依賴于A,B兩點(diǎn)的位置(圖8.15).［矢量的曲面積分］設(shè)S為一曲面，令N=(cosa,cosP,cosy)表示在曲面S上一點(diǎn)的法線單位矢量△而dS=NdS表示面積矢量元素又設(shè)中(r)=①(x,y,z)是定義在曲面S上的連續(xù)標(biāo)函數(shù),R(r)=(X(x,y,Z),Y(x,y,z),Z(X,y,z))是定義在曲面S上的連續(xù)矢函數(shù),這里規(guī)定法線單位矢量與曲面分布在切面的兩側(cè).vv.0圖8.16yzSzx圖8.16yzSzxxy則曲面積分有如下的三種形式:1°標(biāo)量場的通量（或流量）J1① dS=JJ① dydzi +JJ① dzdxj+JJ① dxdykS S S Syz. zx xy式中Syz,Sx,S移分別表示曲面S在Oyz平面Qzx平面,oXy平面上的投影.Sxy的正負(fù)號規(guī)定如下：當(dāng)從z軸正方向看去時，看到的是曲面S的正面，認(rèn)為Sxy為正，如果看到的是曲面的反面，則認(rèn)為Sxy為負(fù)（圖8.16）.2°矢量場的標(biāo)通量JJRdS=JJXdydz+JJYdzdX+JJZdXdy式中Syz等的意義同1°.3°矢量場的矢通量JJRxdS=JJ(Zj-Yk)dydz+JJ(Xk-Zi)dzdx+JJ(Yi-Xj)dxdySyz.xySyz.xyzx式中Syz等的意義同1。.［矢量的體積導(dǎo)數(shù)］如果S是包圍體積v的閉曲面，并包含點(diǎn)r，則沿閉曲面S的曲面積分（J①dS,JRdS,JRxdS）與體積V之比,當(dāng)v趨于零時（即它的直徑T0）的極限稱S S S為標(biāo)量場中（或矢量場R）在點(diǎn)r處的體積導(dǎo)數(shù)（或空間導(dǎo)數(shù)）.1°標(biāo)量場中的體積導(dǎo)數(shù)就是它的梯度：JpdSgrad①=lims v.0v°矢量場R的體積導(dǎo)數(shù)之一是它的散度：JR.dSdivR二lim-S °矢量場R的另一個體積導(dǎo)數(shù)是它的旋度:rot R二-lim-s v.0 V四、矢量的積分定理［高斯公式］JJJdivRdV=JJRdS=JJRNdSdxdydz=JJ(Xcosa+Ycosp+ZcosyA