同步發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

同步發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型第1頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三7同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

電力系統(tǒng)中的電源是同步發(fā)電機(jī)。同步發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)特性或者說(shuō)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型是研究電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的基礎(chǔ)。在研究建立同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型的近百年歷史中有兩個(gè)重要的里程碑。一個(gè)是20世紀(jì)20年代的雙反應(yīng)理論的建立另一個(gè)是20世紀(jì)30年代提出的Park變換。帕克在合適的理想化假設(shè)條件下，利用電機(jī)的雙反應(yīng)原理推導(dǎo)出了采用dq坐標(biāo)系的同步電機(jī)基本方程。1基本前提2同步電機(jī)的原始方程3dq0坐標(biāo)系的同步發(fā)電機(jī)方程同步電機(jī)方程的實(shí)用化暫態(tài)電勢(shì)與暫態(tài)電抗轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程同步電機(jī)實(shí)用模型第2頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三幾個(gè)概念一、法拉第電磁感應(yīng)定律

若回路為多匝，上式改為：

式中ψ

為鏈過(guò)整個(gè)回路的磁鏈．ψ＝ωφ，ω為回路的匝數(shù)．二、磁路歐姆定律（安培全電流定律）磁路中的磁通等于作用在磁路上的磁勢(shì)除以磁路的總磁阻．

磁勢(shì)F=ωI,磁阻R,磁導(dǎo)Λ（磁阻的倒數(shù)）三、電感L=ψ/i

四、旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)與電樞反應(yīng)（雙反應(yīng)理論）第3頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1基本前提一、理想同步電機(jī)二、假定正方向的選取第4頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、理想同步電機(jī)不計(jì)磁路飽和、磁滯、渦流等的影響，即假定電機(jī)的導(dǎo)磁系數(shù)為常數(shù)；疊加原理。電機(jī)轉(zhuǎn)子在結(jié)構(gòu)上關(guān)于dq軸分別對(duì)稱；定子abc三相繞組在空間互差120°，在氣隙中產(chǎn)生正弦分布的磁動(dòng)勢(shì)；電機(jī)空載，轉(zhuǎn)子恒速旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)子繞組的磁動(dòng)勢(shì)切割定子繞組所感應(yīng)的空載電勢(shì)為時(shí)間的正弦函數(shù)；不計(jì)定子和轉(zhuǎn)子的槽和通風(fēng)溝對(duì)其電感的影響。第5頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三具有阻尼繞組的凸極機(jī)繞組布置定子側(cè)：a、b、c三個(gè)繞組；轉(zhuǎn)子側(cè)：勵(lì)磁繞組f、縱軸阻尼繞組D和橫軸阻尼繞組Q。說(shuō)明：水輪發(fā)電機(jī)：阻尼繞組模擬阻尼條阻尼作用；汽輪發(fā)電機(jī)：模擬實(shí)心轉(zhuǎn)子渦流所起的阻尼作用。除了D、Q繞組外，有時(shí)在交軸上再增加一個(gè)等值阻尼繞組，記為g繞組。g繞組和Q繞組分別用于反映阻尼作用較強(qiáng)和較弱的渦流效應(yīng)。g繞組位置角第6頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、假定正方向的選取同步發(fā)電機(jī)的定子、轉(zhuǎn)子各繞組的回路電壓電流正方向第7頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三同步發(fā)電機(jī)各繞組軸線的正方向各繞組磁軸線正方向同該繞組磁鏈的正方向；對(duì)本繞組產(chǎn)生正向磁鏈的電流為該繞組的正電流；定子電流的正方向?yàn)閺睦@組的中性點(diǎn)流向端點(diǎn)的方向；各相感應(yīng)電勢(shì)的正方向同相電流的方向；電壓的正方向?yàn)橄蛲怆娐匪统稣螂娏鞯姆较?；轉(zhuǎn)子各繞組感應(yīng)電勢(shì)的正方向同本繞組電流的正方向；向勵(lì)磁繞組提供正向勵(lì)磁電流的電壓方向?yàn)閯?lì)磁電壓的正方向；D、Q阻尼繞組的外加電壓為零。轉(zhuǎn)子橫(q)軸落后于縱(d)軸90度第8頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2同步發(fā)電機(jī)的原始方程一、電勢(shì)方程和磁鏈方程二、電感系數(shù)第9頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第10頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、電勢(shì)方程和磁鏈方程1.回路電勢(shì)方程：根據(jù)以上假定正方向，可得定轉(zhuǎn)子各繞組的電勢(shì)矩陣方程式為式中，v為各繞組端電壓，i各繞組電流，r定子各相繞組電阻，ψ各繞組總磁鏈。第11頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相應(yīng)的分塊矩陣為式中，分別為定子和轉(zhuǎn)子的電阻矩陣。第12頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中，Laa為繞組的自感系數(shù)；Lab繞組a和繞組b之間的互感系數(shù)；其余類推．２．繞組的磁鏈方程（ψ＝Li）總磁鏈＝本繞組電流產(chǎn)生的磁鏈＋其它繞組電流產(chǎn)生的與本繞組交鏈的磁鏈用矩陣形式表示為第13頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，定、轉(zhuǎn)子繞組的相對(duì)位置不斷變化，電機(jī)的許多自感、互感系數(shù)也隨之變化，因而也是轉(zhuǎn)子位置的函數(shù)。也可用分塊矩陣表示為第14頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、電感系數(shù)⒈定子各相繞組的自感系數(shù)以a相為例分析如下：a相繞組電流正弦分布的磁勢(shì)(d軸分量)(q軸分量)α角為d軸與a相繞組軸線的夾角第15頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果用λad和λaq分別表示沿d軸和q軸方向氣隙磁通路徑的磁導(dǎo)，則由定子磁勢(shì)Fa沿兩個(gè)軸向產(chǎn)生的氣隙磁通為Fa產(chǎn)生的定子繞組漏磁通為第16頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由電流ia產(chǎn)生的與a相繞組交鏈的磁鏈為于是有第17頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中由此可見，定子繞組的自感系數(shù)是轉(zhuǎn)子位置角α的周期函數(shù)，其周期為π。自感系數(shù)有最大值和最小值的轉(zhuǎn)子位置。第18頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第19頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由于定子三相繞組對(duì)稱，同理可得⒉定子繞組間的互感系數(shù)由定子a相電流產(chǎn)生的磁通交鏈到b相繞組的部分也是由氣隙磁通和漏磁通兩部分組成。若假定漏磁通路徑的磁導(dǎo)為λmσ，則a、b相繞組間的漏磁通為第20頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三“-”號(hào)是因?yàn)閮上嗬@組軸線互差120°，a相正電流產(chǎn)生的磁通將從反方向穿入b相繞組。取b相繞組的等效匝數(shù)為wb，則由a相電流產(chǎn)生交鏈于b相繞組的磁鏈為第21頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三假定wa=wb=w，則定子a、b相間的互感系數(shù)為式中第22頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第23頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三同理可得⒊轉(zhuǎn)子上各繞組的自感系數(shù)和互感系數(shù)⑴自感系數(shù)

由于定子的內(nèi)緣呈圓柱形，故對(duì)于凸極機(jī)和隱極機(jī)，不論其轉(zhuǎn)子的位置如何，其磁路的磁導(dǎo)總是不變的，因而轉(zhuǎn)子上各繞組的自感系數(shù)均為常數(shù)，記為L(zhǎng)f、LD、LQ第24頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

以勵(lì)磁繞組為例分析，若勵(lì)磁繞組的等效匝數(shù)為wf，勵(lì)磁電流為if，則對(duì)勵(lì)磁繞組產(chǎn)生的磁鏈為⑵互感系數(shù)同理，轉(zhuǎn)子各繞組間的互感系數(shù)亦為常數(shù)，具體值為：第25頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三⑴兩個(gè)縱軸繞組（f繞組和D繞組）之間的互感系數(shù)LfD=LDf=常數(shù)；⑵縱軸和橫軸阻尼繞組之間的互感系數(shù)為零（因?yàn)閮衫@組相互垂直），即LfQ=LQf=LDQ=LQD=0。第26頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三⒋定子繞組和轉(zhuǎn)子繞組間的互感系數(shù)無(wú)論是凸極機(jī)還是隱極機(jī)，這些互感系數(shù)都與定子繞組和轉(zhuǎn)子繞組的相對(duì)位置有關(guān)。下面以勵(lì)磁繞組和定子a相繞組間的互感為例分析如下：

當(dāng)勵(lì)磁繞組有電流if時(shí)，其對(duì)定子a相繞組產(chǎn)生的互感磁鏈為因此有第27頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中同理可得第28頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三互感系數(shù)Laf與轉(zhuǎn)子位置角的關(guān)系如圖所示。當(dāng)α=0°或180°時(shí)，互感系數(shù)Laf的絕對(duì)值最大；當(dāng)α=90°或270°時(shí)，互感系數(shù)Laf為零。第29頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三同理可得定子各相繞組與縱軸阻尼繞組間的互感系數(shù)為由于轉(zhuǎn)子橫軸落后于縱軸90°，故定子各相繞組與橫軸阻尼繞組間的互感系數(shù)為第30頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三磁鏈方程中的許多電感系數(shù)都與α角有關(guān)，而α角又是時(shí)間的函數(shù)，因而許多自感系數(shù)和互感系數(shù)都隨時(shí)間周期性地發(fā)生變化；將磁鏈方程代入電勢(shì)方程后，電勢(shì)方程將成為一組以時(shí)間的周期函數(shù)為系數(shù)的變系數(shù)微分方程。第31頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3dq0坐標(biāo)系的同步電機(jī)方程一、坐標(biāo)變換和dq0系統(tǒng)在原始方程中，定子各電磁變量是按三個(gè)相繞組也就是對(duì)于空間靜止不動(dòng)的abc三相坐標(biāo)系列寫的，而轉(zhuǎn)子各繞組的電磁變量是對(duì)于隨轉(zhuǎn)子一起旋轉(zhuǎn)的dq0坐標(biāo)系列寫的。第32頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三磁鏈方程式中變系數(shù)產(chǎn)生的主要原因：⑴轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)使定、轉(zhuǎn)子繞組間產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)；⑵轉(zhuǎn)子在磁路上只是分別對(duì)于d、q軸對(duì)稱而不是隨意對(duì)稱?；陔姍C(jī)學(xué)的雙反應(yīng)理論，消除同步電機(jī)穩(wěn)態(tài)分析中出現(xiàn)變系數(shù)．

勃朗德(Blondel)提出：當(dāng)電樞反應(yīng)磁動(dòng)勢(shì)Fa幅值的位置既不和縱軸又不和橫軸重合時(shí)，可將Fa分解為縱軸分量Fad和橫軸分量Faq兩個(gè)分量。Fad和Faq分別作用在d軸和q軸磁路上，從而有確定的磁路和磁阻(確定的氣隙和電機(jī)鐵心磁路)，這樣，作用在d軸和q軸上的電樞反應(yīng)影響強(qiáng)弱，僅僅與該處磁動(dòng)勢(shì)大小有關(guān)，然后再把二者的結(jié)果迭加起來(lái)。這種處理方法，為雙反應(yīng)理論。第33頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三組合成變換abc坐標(biāo)系（固定）dq0坐標(biāo)系（旋轉(zhuǎn)）第34頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三或簡(jiǎn)記為式中，為派克變換矩陣，其值為矩陣表示式為第35頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由此可得則第36頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三上述變換稱為派克正變換和逆變換矩陣，逆變換矩陣的展開式為。三相零軸電流在氣隙中的合成磁勢(shì)為零，故不產(chǎn)生與轉(zhuǎn)子繞組相交鏈的磁通，它只產(chǎn)生與定子繞組相交鏈的磁通，其值與轉(zhuǎn)子的位置無(wú)關(guān)。

Park變換對(duì)電勢(shì)、磁鏈和電壓均適用。第37頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、dq0系統(tǒng)的電勢(shì)方程派克變換只是對(duì)定子各量實(shí)施變換。定子的電勢(shì)方程為全式左乘可得第38頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由此可得式中由于，兩邊分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得第39頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第40頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由此可得dq0軸分量表示的電勢(shì)方程為相應(yīng)的展開式為第41頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三說(shuō)明：式中的第一項(xiàng)為磁鏈對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱為變壓器電勢(shì)；第二項(xiàng)為磁鏈同轉(zhuǎn)速的乘積，稱為發(fā)電機(jī)電勢(shì)；式中的第三個(gè)方程是獨(dú)立的，從磁的意義上講，表示零軸繞組對(duì)其他繞組是隔離的。第42頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、dq0系統(tǒng)的磁鏈方程和電感系數(shù)磁鏈方程可展開為派克變換只需對(duì)定子側(cè)進(jìn)行，對(duì)上式左乘，通過(guò)矩陣演算可得：第43頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第44頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由此可得dq0坐標(biāo)系的磁鏈方程展開式為第45頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三說(shuō)明：dq0坐標(biāo)系磁鏈方程中的電感系數(shù)均為常數(shù)；Ld、Lq分別是dd、qq等效繞組的電感系數(shù)，它們不但包含定子一相繞組的漏自感，還包含另兩相繞組的漏互感；穿過(guò)氣隙的電感系數(shù)為一相繞組單獨(dú)作用的3/2倍縱軸同步電感:橫軸同步電感:零軸電感:第46頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4同步電機(jī)方程的實(shí)用化一、基本方程的實(shí)用化假定：⑴轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速恒定且為額定轉(zhuǎn)速。⑵電機(jī)縱軸向三繞組（d、f、D）只有一個(gè)公共磁通，而不存在只同兩個(gè)繞組交鏈的漏磁通。

第47頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三同步發(fā)電機(jī)通常帶感性負(fù)載，定子端電壓和電流相量落后電勢(shì)相量，因而定子電壓和電流的d軸分量將位于d軸的反方向。調(diào)整后的各量實(shí)用正方向第48頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三采用實(shí)用正向后:d軸電壓、電流分量變號(hào)；兩項(xiàng)假設(shè)電勢(shì)方程第49頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三磁鏈方程：選擇合適的參考基準(zhǔn)，可以使轉(zhuǎn)子與定子之間的互感系數(shù)變?yōu)橄嗟?，同時(shí)，在標(biāo)幺制中，當(dāng)ω*=1時(shí)，電抗與電感系數(shù)數(shù)值相等，習(xí)慣上直接用電抗代替電感。第50頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中：第51頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、穩(wěn)態(tài)運(yùn)行的電勢(shì)方程式電勢(shì)方程式同步電機(jī)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行的特點(diǎn)：⑴定子電流為幅值恒定的三相正序電流；轉(zhuǎn)速恒定且與轉(zhuǎn)子保持同步；常數(shù)第52頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

電勢(shì)方程（不計(jì)定子電阻）（2）等效阻尼繞組中的電流為零；（3）勵(lì)磁電流等于常數(shù)。（4）第53頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

分別代表勵(lì)磁電流對(duì)定子繞組產(chǎn)生的互感磁鏈（即有用磁鏈）和相應(yīng)的感應(yīng)電勢(shì)（即空載電勢(shì)）。定子電壓和電流的d、q軸分量是三相交流系統(tǒng)中電壓和電流通用相量在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸上的投影。若選q軸為虛軸，落后q軸90°的d軸負(fù)方向?yàn)閷?shí)軸，則有：第54頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相量形式電勢(shì)方程式第55頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相應(yīng)的等值電路如圖所示。第56頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三令：則有：定義：則有：虛擬電勢(shì)第57頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相量圖：第58頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三dq坐標(biāo)系與復(fù)平面xy坐標(biāo)系間的變換

在電力系統(tǒng)潮流計(jì)算完成以后，已知的是復(fù)平面下x-y坐標(biāo)系下的同步電機(jī)的機(jī)端電壓和電流。欲得到同步電機(jī)d-q坐標(biāo)系下的機(jī)端電壓電流分量，需確定這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系，即確定二者之間的夾角?？梢杂商摂M電勢(shì)確定。式中的A可以是電壓、電流、磁鏈或電勢(shì)。第59頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

一、磁鏈平衡方程式和等值電路1、磁鏈平衡方程----以磁鏈?zhǔn)睾阍瓌t為基礎(chǔ)5暫態(tài)電勢(shì)與暫態(tài)電抗第60頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第61頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、等值電路第62頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

二、暫態(tài)電勢(shì)、暫態(tài)電抗1、Eq’、xd’的定義從磁鏈等值電路或從磁鏈平衡方程中消去勵(lì)磁電流可得第63頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義：則有：

暫態(tài)電勢(shì)

暫態(tài)電抗Eq’：同勵(lì)磁繞組的總磁鏈ψf成正比，在運(yùn)行狀態(tài)突變瞬間，勵(lì)磁繞組的磁鏈?zhǔn)睾悖譮不能突變，暫態(tài)電勢(shì)也就不能突變．Xd’:如果沿縱軸把同步電機(jī)視做雙繞組變壓器，當(dāng)副方繞組即勵(lì)磁繞組短接時(shí)，從原方定子繞組看進(jìn)去的電抗．第64