同濟(jì)第三版高數(shù)(18)第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性同濟(jì)第三版高數(shù)

中國(guó)藥科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室楊訪第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性自然界中許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，反映這種連續(xù)變化過(guò)程的函數(shù)關(guān)系就是所謂函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)連續(xù)性的研究不僅具有普遍的實(shí)際意義，對(duì)于了解函數(shù)的內(nèi)在性質(zhì)也有著基礎(chǔ)的重要性。微積分的主要研究對(duì)象就是連續(xù)函數(shù)，本節(jié)主要討論連續(xù)函數(shù)的數(shù)量本質(zhì)。本節(jié)概要自然界中普遍存在著連續(xù)變化的現(xiàn)象。如植物的生長(zhǎng)過(guò)程中，其高度隨時(shí)間連續(xù)地變化。氣溫隨時(shí)間的連續(xù)地變化。物體的體積膨脹隨溫度的連續(xù)地變化等。反映這種連續(xù)變化現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系的就是所謂函數(shù)的連續(xù)性。從幾何角度看，這種連續(xù)變化的函數(shù)的圖形對(duì)應(yīng)著一條綿延不斷的曲線。一．函數(shù)連續(xù)性的概念(1)

自然界中的連續(xù)變化現(xiàn)象1.連續(xù)變化現(xiàn)象的數(shù)量本質(zhì)氣溫隨時(shí)間連續(xù)變化的函數(shù)圖形

自然界現(xiàn)象中也存在變化不連續(xù)現(xiàn)象。如夜間蟲鳴的音量、脈沖波電壓隨時(shí)間的變化等。反映這種不連續(xù)變化現(xiàn)象的函數(shù)圖形呈現(xiàn)出一種逐段分布的特性。脈沖電壓隨時(shí)間變化的圖形(2)

連續(xù)變化現(xiàn)象對(duì)應(yīng)函數(shù)的幾何特點(diǎn)光陰荏苒，物換星移，老友故交相逢，往往慨嘆物是人非。然而，熟人、鄰居數(shù)日后再見(jiàn)，卻不會(huì)發(fā)現(xiàn)彼此有什么變化，這就是連續(xù)變化現(xiàn)象。因?yàn)樵谳^短的時(shí)間段內(nèi)，人的相貌體形不會(huì)有太大的變化，因而不易觀察出來(lái)，只有當(dāng)時(shí)間跨度較大時(shí)，變化才比較明顯。函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與不連續(xù)的差別曲線在一點(diǎn)連續(xù)與不連續(xù)的差別在于曲線在該點(diǎn)處的函數(shù)值是否產(chǎn)生了“突變”。不連續(xù)點(diǎn)處的性狀連續(xù)點(diǎn)處的性狀(2)

變量增量的概念

設(shè)變量

u

從它的初始值

u1變化到終值

u2，則終值u2與初始值

u1之差

u2

-

u1稱為變量

u

在

u1

處的增量，記作：

u=

u2

-

u1.(3)

增量概念說(shuō)明

增量記號(hào)

u

是一個(gè)整體，其意義是變量

u

發(fā)生改變的量的值

u

=

u

2-

u1，增量

u

可以是正的，也可以是負(fù)的。不論

u

是正是負(fù)，都表示變量

u

發(fā)生了改變,因此增量

u

又稱為變量

u

的改變量。當(dāng)

u

>

0

時(shí)，表示變量

u

的變化是增加的，此時(shí)u2

=

u1+

u

>

u1;；當(dāng)

u

<

0

時(shí)，表示變量

u

的變化是增加的，此時(shí)u2

=

u1

+

u

<

u1.

增量的意義是改變量

自變量的增量

對(duì)函數(shù)而言，變量可以是自變量也可以是因變量。按變量性質(zhì)的不同，增量的意義略有區(qū)別。若

u是自變量，相應(yīng)增量為自變量的增量。對(duì)于自量

x

的增量，通常約定其不為零，即

x

=

x

2-

x

10.這種約定來(lái)既源于函數(shù)討論的需要，也有其實(shí)際意義。因?yàn)楫?dāng)自變量增量

x

=

0

時(shí)，表示自變量沒(méi)有發(fā)生變化，因而因變量

y

也不會(huì)發(fā)生變化，自然沒(méi)有研究的意義和必要。x0函數(shù)的增量若

u

是因變量，相應(yīng)增量為函數(shù)的增量。函數(shù)的增量依賴于自變量及自變量的增量。函數(shù)

y=

f(

x

)在一點(diǎn)

x=x

0處的增量定義為：設(shè)函數(shù)

y=

f(

x

)在點(diǎn)

x

0

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量

x

在該鄰域內(nèi)從

x

0變化到

x

0

+

x時(shí)，函數(shù)

y相應(yīng)地從

f(

x

0

)變化到

f(

x

0

+

x

)，則函數(shù)相應(yīng)的增量為y

=

f(

x

0

+

x

)-

f(

x

0

).

與自變量增量不同的是，函數(shù)在一點(diǎn)的增量可以為零。y

=

0有了增量的概念便可方便地表達(dá)函數(shù)連續(xù)的概念。由對(duì)函數(shù)連續(xù)性概念的直觀認(rèn)識(shí)，函數(shù)y

=f(

x

)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)可定量地表示為，當(dāng)

x

→

0時(shí)，

y

→

0

.設(shè)函數(shù)

y

=f(

x

)在點(diǎn)

x

0

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果那么就稱函數(shù)

y=f(

x

)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)。(1)

函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義

幾何直觀的定義2.函數(shù)連續(xù)性的概念定義表達(dá)了函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的實(shí)質(zhì)，且由此容易獲得函數(shù)

y=

f(

x

)在一點(diǎn)

x

0連續(xù)的直觀認(rèn)識(shí)。

從運(yùn)算和應(yīng)用的角度講，定義給出了一種判別函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的方法，即求y=f(

x

0+

x

)-

f(

x

0

)，并考察是否有

然而這一方法卻并不太適合于應(yīng)用。因?yàn)橛?jì)算函數(shù)在一點(diǎn)處的增量常常是繁雜和困難的。

直觀定義的說(shuō)明

例如，對(duì)于冪函數(shù)

y

=

f(

x

)=x

n，其在一點(diǎn)

x

0點(diǎn)處的增量為

由于此時(shí)求和計(jì)算量相當(dāng)大，因而由此判別該函數(shù)的連續(xù)性相對(duì)繁雜。冪函數(shù)

y=x

n

是最簡(jiǎn)單的函數(shù)，其連續(xù)性的判別倘需作如此復(fù)雜的計(jì)算，因此對(duì)一般函數(shù)通過(guò)計(jì)算增量來(lái)判別其連續(xù)性常是困難的。

為便于應(yīng)用，考慮對(duì)表達(dá)形式作如下改動(dòng)：

將

x

=x

-

x

0

→

0改為

x=x

0

+

x

→

x

0

，則函數(shù)增量的變化趨勢(shì)轉(zhuǎn)化函數(shù)值的變化趨勢(shì)，即

y=f(

x

0+

x

)-

f(

x

0

)→0

，y=f(

x

)-

f(

x

0

)→0，

y=f(

x

)→

f(

x

0

).

設(shè)函數(shù)

y

=f(

x

)在點(diǎn)

x

0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

那么就稱函數(shù)

y

=f(

x

)在點(diǎn)

x

0

處連續(xù)。轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為更適合于應(yīng)用的定義函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三要素該定義不僅具有直觀性，且更適合于應(yīng)用。因?yàn)閷?duì)具體函數(shù)而言，

和

f(

x

0

)一般都不太難計(jì)算。因此只要分別計(jì)算函數(shù)值和極限值便可確定函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性。

由此定義還可歸納出更適用的函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的判別形式:①f(

x

)在點(diǎn)

x

0

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義；

②

存在；③函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三要素不僅更深刻揭示了函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的內(nèi)在本質(zhì)，且其對(duì)于函數(shù)連續(xù)性和間斷點(diǎn)的分析和討論也顯得方便。

為了便于進(jìn)行嚴(yán)格的分析證明，上述連續(xù)性定義也可用“

-

”語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，即有設(shè)函數(shù)

y

=

f(

x

)在點(diǎn)

x

0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)任意給定的正數(shù)

>0

，總存在正數(shù)

>

0，使得對(duì)于適合不等式

|

x

-

x

0|<

的一切

x都有

|

f(

x

)-

f(

x

0

)|<

,就稱函數(shù)y=f(

x

0

)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)?！?/p>

-

”定義(2)

函數(shù)在一點(diǎn)單側(cè)連續(xù)的概念

由函數(shù)在一點(diǎn)處的極限趨近方式的任意性，函數(shù)

y

=f(

x

)在一點(diǎn)連續(xù)就是當(dāng)動(dòng)點(diǎn)

x以任意方式從x

0的左側(cè)或右側(cè)趨于x

0時(shí)，函數(shù)始終以

f(

x

0

)為極限，這一連續(xù)概念可認(rèn)為是一種雙側(cè)連續(xù)概念，而實(shí)際問(wèn)題及理論分析中常需考慮所謂單側(cè)連續(xù)問(wèn)題，即動(dòng)點(diǎn)

x沿一側(cè)趨于x

0時(shí)，函數(shù)是否連續(xù)的問(wèn)題。由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的一般概念，函數(shù)在一點(diǎn)單側(cè)連續(xù)實(shí)際就是函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)極限是否等于其在該點(diǎn)的函數(shù)值問(wèn)題。函數(shù)在一點(diǎn)左連續(xù)設(shè)函數(shù)

y=f(

x

)在點(diǎn)

x

0的某個(gè)左鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)當(dāng)

x

→x

0時(shí)的左極限存在，且它等于f(

x

)在點(diǎn)

x

0

處的函數(shù)值

f(

x

0

)，即，就稱函數(shù)

y=f(

x

)在點(diǎn)

x

0左連續(xù)。

用“

-

”語(yǔ)言敘述就是：如果對(duì)

>

0，

>

0，使得對(duì)于適合不等式-

<x

-

x

0

<

的一切x，對(duì)應(yīng)函數(shù)值

f(

x

)都滿足不等式|

f(

x

)-

f(

x

0

)|<

，就稱函數(shù)

y

=f(

x

)在點(diǎn)

x

0

左連續(xù)。設(shè)函數(shù)

y=f(

x

)在點(diǎn)

x

0的某個(gè)右鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)當(dāng)

x

→x

0時(shí)的右極限存在，且它等于f(

x

)在點(diǎn)

x

0

處的函數(shù)值

f(

x

0

)

，即，就稱函數(shù)

y=f(

x

)在點(diǎn)

x

0右連續(xù)。用“

-

”語(yǔ)言敘述就是：如果對(duì)

>

0，

>

0，使得對(duì)于適合不等式

0<x

-

x

0

<

的一切

x，對(duì)應(yīng)函數(shù)值

f(

x

)都滿足不等式|

f(

x

)-

f(

x

0

)|<

，就稱函數(shù)

y=f(

x

)在點(diǎn)

x

0

右連續(xù)。函數(shù)在一點(diǎn)右連續(xù)單側(cè)連續(xù)與雙側(cè)連續(xù)的直觀認(rèn)識(shí)雙側(cè)連續(xù)右連續(xù)左連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)連續(xù)雖然是函數(shù)連續(xù)的一種特殊形式，但它和函數(shù)在一點(diǎn)的一般的連續(xù)概念，即雙側(cè)連續(xù)卻有著密切的聯(lián)系。由函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)連續(xù)與雙側(cè)連續(xù)的定義，容易證明二者有如下關(guān)系：

單側(cè)極限與雙側(cè)連續(xù)的關(guān)系

由于單側(cè)連續(xù)的形式相對(duì)簡(jiǎn)單，利用這一結(jié)果?？蓪?fù)雜的雙側(cè)連續(xù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的單側(cè)連續(xù)問(wèn)題進(jìn)行討論，特別是對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性問(wèn)題，應(yīng)用這一結(jié)果尤為方便。

結(jié)果說(shuō)明(3)

函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念

討論函數(shù)通常總在某個(gè)區(qū)間上進(jìn)行，對(duì)函數(shù)連續(xù)性的考察更多地是關(guān)注函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性。由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念可進(jìn)一步定義函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性。

若函數(shù)

y=f(

x

)在開(kāi)區(qū)間(

a

,b

)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，就稱

y

=

f(

x

)在開(kāi)區(qū)間(

a

,b

)內(nèi)連續(xù)。

若函數(shù)y

=f(

x

)在開(kāi)區(qū)間(

a

,b

)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，且在左端點(diǎn)x

=

a右連續(xù)，在右端點(diǎn)x

=

b左連續(xù)，就稱y

=f(

x

)在閉區(qū)間[

a

,b

]上連續(xù)。函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(

a

,b

)內(nèi)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間[

a

,b

]上連續(xù)開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間雖只相差兩點(diǎn)，但二者的性質(zhì)卻不同。開(kāi)區(qū)間(

a

,b

)具有如下性質(zhì)：對(duì)

x(

a

,b

)，總存在點(diǎn)

x

的某個(gè)鄰域U(

x

,),使得

U(

x

,)(

a

,b

)，而閉區(qū)間[

a

,b

]在端點(diǎn)

x

=a

,x

=

b

處就不具有這種性質(zhì)。

由于連續(xù)性概念是函數(shù)在一點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)，故對(duì)開(kāi)區(qū)間只需函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概就可直接定義開(kāi)區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，而對(duì)閉區(qū)間則需分別定義其內(nèi)部的連續(xù)性和端點(diǎn)處的連續(xù)性。開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間的差異

結(jié)果說(shuō)明(1)

函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性的討論

例：討論在x

0

=

1

處的連續(xù)性。所論函數(shù)為分段函數(shù)，指定點(diǎn)

x

0

=

1為其分段點(diǎn)，且

f(

x

)在分段點(diǎn)兩側(cè)的表達(dá)式不同，故該分段點(diǎn)處的極限應(yīng)按左、右極限考察，即驗(yàn)證在點(diǎn)

x

0

=

1處是否有3.函數(shù)連續(xù)性的證明分析由單側(cè)連續(xù)定義知，f(

x

)在點(diǎn)x

0

=

1處左連續(xù)和右連續(xù)。由雙側(cè)連續(xù)與單側(cè)連續(xù)的關(guān)系知f(

x

)在點(diǎn)

x

0

=

1處連續(xù)。解計(jì)算f(

x

)在點(diǎn)x

0=

1處的左右極限例：設(shè)

問(wèn)：a

,b

各取何值時(shí)，f(

x

)在點(diǎn)x=0

處連續(xù)？

為求

a

,b需先建立

a

,b

的方程。本例涉及的是分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性問(wèn)題，由單側(cè)連續(xù)與雙側(cè)連續(xù)的關(guān)系知，f(

x

)在分段點(diǎn)

x

=

0處連續(xù)的充要條件是其在

x

=

0

處左連續(xù)且右連續(xù)。因此，只需假設(shè)

f(

x

)在分段點(diǎn)x

=

0處連續(xù)便可建立方程。分析解由連續(xù)性條件建立方程

設(shè)

f(

x

)在分段點(diǎn)

x

=

0處連續(xù)，則有因?yàn)楣视薪獾?2)

證明函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)

例：證明函數(shù)

y=cos

x

在區(qū)間(

-

,+

)內(nèi)連續(xù)。要證函數(shù)

y

=

cos

x

在開(kāi)區(qū)間(

-

,+

)內(nèi)連續(xù)，就是要證其在開(kāi)區(qū)間(

-

,+

)內(nèi)的任一點(diǎn)連續(xù)，即對(duì)x

0(

-

,+

)，要證在

x

0處有分析任取x

0(

-

,+

)，則在

x

0處有0|

y

||

cos(

x

0

+

x

)-

cos

x

0|

所以當(dāng)

x

→

0時(shí)有，

y

→

0

，由定義知，函數(shù)y

=

cos

x在點(diǎn)x

0

處連續(xù)。由點(diǎn)x

0

的任意性，y

=

cos

x在區(qū)間(

-

,+

)內(nèi)連續(xù)。證按連續(xù)性定義

1

進(jìn)行證明例：證明函數(shù)

y=a

x(

a

1

)在區(qū)間(

-

,+

)內(nèi)連續(xù)。要證函數(shù)

y

=

a

x

在開(kāi)區(qū)間(

-

,+

)內(nèi)連續(xù)就是要證其在開(kāi)區(qū)間(

-

,+

)內(nèi)的任一點(diǎn)連續(xù)，即對(duì)x

0(

-

,+

)，要證在

x

0處有任取x

0

(

-

,+

)，則在

x

0處有證按連續(xù)性定義

2

進(jìn)行證明分析(3)

證明函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)

例：證明函數(shù)在區(qū)間[

0,1

]上連續(xù)。由定義，證明函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)應(yīng)分兩步進(jìn)行，即先證函數(shù)

f(

x

)在開(kāi)區(qū)間(

0

,1

)內(nèi)連續(xù)，再證其在左端點(diǎn)

x=0處右連續(xù)，右端點(diǎn)

x=

1處左連續(xù)。

因?yàn)閷?duì)x

0(

0

,1

)有故

f(

x

)在開(kāi)區(qū)間(

0

,1

)內(nèi)連續(xù)。證按定義進(jìn)行證明·

證f(

x

)在開(kāi)區(qū)間(

0

,1

)內(nèi)連續(xù)分析因?yàn)樵陂]區(qū)間[

0

,1

]的端點(diǎn)

0、1處有故

f(

x

)在閉區(qū)間[

0,1

]的左端點(diǎn)

x=0處右連續(xù)，右端點(diǎn)

x

=

1

處左連續(xù)。由函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的定義知，f(

x

)在閉區(qū)間[

0,1

]上連續(xù)?！?/p>

證f(

x

)在閉區(qū)間[

0

,1

]的端點(diǎn)處連續(xù)C.P.U.Math.Dept.·楊訪二．函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)

函數(shù)間斷點(diǎn)的概念及討論間斷點(diǎn)的意義函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱函數(shù)的間斷點(diǎn)。連續(xù)函數(shù)具有良好的性質(zhì)，若函數(shù)不連續(xù)，則可能喪失這些性質(zhì)。為討論連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，有必要對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行研究，以考察連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的變化和損失情況。如有可能，還可考慮對(duì)其間斷點(diǎn)進(jìn)行改造，以期使其恢復(fù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。1.函數(shù)的間斷點(diǎn)與間斷原因分析(2)

函數(shù)間斷原因及相應(yīng)間斷點(diǎn)的幾何性狀函數(shù)的連續(xù)性是以極限定義的，它可分解為三個(gè)要素，比照函數(shù)連續(xù)的三要素可考察函數(shù)間斷的原因。函數(shù)連續(xù)的三要素函數(shù)不連續(xù)的原因

f(

x

)在點(diǎn)

x

0

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義；②③

f(

x

)在點(diǎn)

x

0

沒(méi)有定義；②f(

x

)在點(diǎn)

x

0

雖有定義,

③

f(

x

)在點(diǎn)

x

0

有定義，

f(

x

)在點(diǎn)

x

0

處無(wú)定義導(dǎo)致函數(shù)不連續(xù)

不存在導(dǎo)致函數(shù)不連續(xù)

導(dǎo)致函數(shù)不連續(xù)(1)

為什么要對(duì)函數(shù)間斷點(diǎn)進(jìn)行分類連續(xù)函數(shù)具有許多良好的性質(zhì)，若函數(shù)有間斷點(diǎn)就可能喪失這些性質(zhì)。由函數(shù)間斷點(diǎn)的幾何性狀可見(jiàn)，有些間斷點(diǎn)對(duì)函數(shù)連續(xù)性的破壞是嚴(yán)重的，有些則不然。因此考慮根據(jù)對(duì)函數(shù)連續(xù)性的破壞程度對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行分類，以區(qū)分不同間斷點(diǎn)。

那些對(duì)連續(xù)性破壞不太嚴(yán)重的間斷點(diǎn)，還可考慮對(duì)其進(jìn)行改造，使相應(yīng)函數(shù)回到連續(xù)函數(shù)的行列中來(lái)。2.函數(shù)間斷點(diǎn)的分類對(duì)函數(shù)y

=

f(

x

)在點(diǎn)

x

0處的連續(xù)性考察，就是看函數(shù)在該點(diǎn)的極限值與函數(shù)值是否存在及二者間的關(guān)系，故間斷點(diǎn)對(duì)函數(shù)連續(xù)性的破壞程度應(yīng)從這兩方面考察。

由幾何直觀可看出，對(duì)極限存在的間斷點(diǎn)，函數(shù)連續(xù)性的破壞程度不是特別嚴(yán)重。此時(shí)只需補(bǔ)充定義函數(shù)值或改變?cè)瘮?shù)值的定義就可使函數(shù)在該點(diǎn)歸于連續(xù)。因此稱這類間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)。(2)

間斷點(diǎn)的分類和改造極限值存在的間斷點(diǎn)極限值存在的間斷點(diǎn)補(bǔ)充定義改變定義這種極限值存在的間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)。極限值不存在的間斷點(diǎn)對(duì)于極限不存在的間斷點(diǎn)，函數(shù)連續(xù)性的破壞程度相對(duì)就比較嚴(yán)重，但又可分兩種情形：

第一種情形

函數(shù)在該點(diǎn)的兩個(gè)單側(cè)極限均存在，但不相等。此時(shí)雖無(wú)法通過(guò)改造使函數(shù)在該點(diǎn)歸于連續(xù)，但還可通過(guò)補(bǔ)充或改變定義使函數(shù)在該點(diǎn)單側(cè)連續(xù)。第二種情形

函數(shù)在該點(diǎn)的兩個(gè)單側(cè)極限至少有一個(gè)不存在。

此時(shí)函數(shù)在該點(diǎn)的連續(xù)性質(zhì)遭到嚴(yán)重破壞，對(duì)函數(shù)在該點(diǎn)的性狀再作改造已沒(méi)有意義。

單側(cè)極限存在但不相等的間斷點(diǎn)這種單側(cè)極限存在但不相等的間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)。補(bǔ)充定義改變定義單側(cè)極限至少一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)根據(jù)對(duì)連續(xù)性破壞嚴(yán)重程度的不同，通常將間斷點(diǎn)分為兩類：設(shè)

x

0

是函數(shù)

f(

x

)的間斷點(diǎn)，若

f(

x

)在點(diǎn)

x

0處的左、右極限

f(

x

0-

0

)、f(

x

0+

0

)均存在，則稱點(diǎn)

x

0是f(

x

)的第一類間斷點(diǎn)。除第一類間斷點(diǎn)以外的間斷點(diǎn)都稱第二類間斷點(diǎn)，即若

x

0

是函數(shù)

f(

x

)的一個(gè)間斷點(diǎn)，如果

f(

x

)在點(diǎn)

x

0處的左、右極限至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn)

x

0是

f(

x

)的第二類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)類別是根據(jù)間斷點(diǎn)對(duì)連續(xù)性破壞程度的大小所作的分類，它們分為兩類。而間斷點(diǎn)的名稱則是根據(jù)間斷點(diǎn)的幾何特征對(duì)間斷點(diǎn)的不同命名，如可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、無(wú)窮間斷點(diǎn)及振蕩間斷點(diǎn)。因此需注意區(qū)分間斷點(diǎn)名稱和類別在概念上的差異。對(duì)具體的間斷點(diǎn)而言，不同名稱的間斷點(diǎn)和它們所屬的類別是有聯(lián)系的?？扇ラg斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)都是左、右極限都存在的間斷點(diǎn)，它們屬于第一類間斷點(diǎn)。窮間斷點(diǎn)及振蕩間斷點(diǎn)的左、右極限至少有一個(gè)不存在，故它們屬于第二類間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)的名稱和類別

概念辨析(3)

間斷點(diǎn)的判別間斷點(diǎn)的判別包含兩個(gè)步驟，首先是找出所有間斷點(diǎn)，再確定其類別和名稱。對(duì)可去間斷點(diǎn)，應(yīng)通過(guò)改造使其化為連續(xù)點(diǎn)。確定間斷點(diǎn)主要根據(jù)觀察法，即先通過(guò)觀察確定函數(shù)可能不連續(xù)的可疑點(diǎn)，再考察可疑點(diǎn)是否滿足函數(shù)連續(xù)的條件，并由此確定其類別和名稱。

對(duì)給定函數(shù)而言，所謂可疑點(diǎn)通常是分母零點(diǎn)、函數(shù)無(wú)定義的點(diǎn)及分段函數(shù)的分段點(diǎn)。例：求函數(shù)的間斷點(diǎn)并判別其類型。

對(duì)給定函數(shù)而言，f(

x

)可能不連續(xù)的可疑為分母零點(diǎn)及使tan

x無(wú)定義的點(diǎn)。它們分別是

分母零點(diǎn)

x

i

=

i，(

i=0,

±1,

±2,…),

使

tan

x無(wú)定義的點(diǎn)x

j=j+

/2，(

j=0,

±1,

±2,…).解先確定可疑點(diǎn)再進(jìn)行判別確定可疑點(diǎn)對(duì)可疑點(diǎn)進(jìn)行判別判別可疑點(diǎn)是否為函數(shù)間斷點(diǎn)及確定各間斷點(diǎn)的類型、名稱，主要根據(jù)函數(shù)在該點(diǎn)的極限及單側(cè)極限。

對(duì)分母零點(diǎn)

x

=

i

，當(dāng)

i

=

0即x

0

=

0時(shí)，由于故

x

0

=

0屬第一類間斷點(diǎn)，且為可去間斷點(diǎn)。補(bǔ)充定義：f(0)=

1

，可使函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。當(dāng)

i

0即

x

=

i

時(shí)，單側(cè)極限故

x

=

i

屬第二類間斷點(diǎn)，且均為無(wú)窮間斷點(diǎn)。

對(duì)使

tanx

無(wú)定義的點(diǎn)

作代換t=x-j，則

于是有

屬第一類間斷點(diǎn)，且均為可去間斷點(diǎn)。補(bǔ)充定義：可使函數(shù)在這些點(diǎn)處連續(xù)。三．初等函數(shù)的連續(xù)性一．連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性確定給定函數(shù)在某點(diǎn)或某區(qū)間上是否連續(xù)自然可根據(jù)定義判別，但對(duì)每個(gè)遇到的函數(shù)都這樣做是不便的，因此需研究函數(shù)連續(xù)性判別的更簡(jiǎn)便有效的方法。判別函數(shù)是否連續(xù)本質(zhì)是極限問(wèn)題。因此可考慮按初等函數(shù)的構(gòu)造，通過(guò)極限四則運(yùn)算性質(zhì)及復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)考慮初等函數(shù)的連續(xù)性判別問(wèn)題。(1)

連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則

設(shè)

f(

x

)、g(

x

)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)，則F(

x

)=

f(

x

)

g(

x

)在點(diǎn)

x

0

處連續(xù)。

由于

f(

x

)、g(

x

)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)，即有于是由極限運(yùn)算法則有由定義F(

x

)=f(

x

)

g(

x

)在點(diǎn)x

0

處連續(xù)。定理

1兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和在該點(diǎn)連續(xù)證根據(jù)極限運(yùn)算法則進(jìn)行證明

設(shè)

f(

x

)、g(

x

)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)，則F(

x

)=f(

x

)g(

x

)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)。

由于

f(

x

)、g(

x

)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)，即有于是由極限運(yùn)算法則有由定義F(

x

)=

f(

x

)

g(

x

)在點(diǎn)x

0處連續(xù)。定理

2兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)乘積在該點(diǎn)連續(xù)證根據(jù)極限運(yùn)算法則進(jìn)行證明定理

3兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)商的在該點(diǎn)連續(xù)，只要分母在該點(diǎn)不為零。

設(shè)

f(

x

)、g(

x

)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)，且g(

x

0

)0，則F(

x

)=

f(

x

)/g(

x

)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)。

由于

f(

x

)、g(

x

)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)，即有于是由極限運(yùn)算法則有由定義F(

x

)=

f(

x

)/g(

x

)在點(diǎn)x

0處連續(xù)。證根據(jù)極限運(yùn)算法則進(jìn)行證明(2)對(duì)定理?xiàng)l件和結(jié)論的理解

定理的推廣及按區(qū)間形式敘述

按歸納法原理，定理

1,2

可推廣至有限多個(gè)函數(shù)的和與乘積的情形，即有限多個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和與乘積是該點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)。若按區(qū)間形式敘述，定理

1可表為：若函數(shù)

f(

x

)、g(

x

)均在區(qū)間(

a

,b

)內(nèi)([

a

,b

]上)連續(xù)，則它們的和

f(

x

)g(

x

)與乘積

f(

x

)g(

x

)也在區(qū)間(

a

,b

)內(nèi)([

a

,b

]上)連續(xù)。

由定理

13，對(duì)給定函數(shù)的連續(xù)性考察就不必總按定義討論，而轉(zhuǎn)向構(gòu)成這些函數(shù)的“基本構(gòu)件”連續(xù)性的考察。對(duì)由四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)，只要確定了其構(gòu)件的連續(xù)性就可由定理13

確定該函數(shù)的連續(xù)性。例如：由定義驗(yàn)證了sinx，cosx

連續(xù)，則定理3有

tanx

=

sinx/cosx，cotx

=

cosx

/sinx，secx

=

1/sinx，

cscx=1/cosx在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

定理

1

3的意義

若兩函數(shù)

f(

x

)、g(

x

)一個(gè)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)，而另一個(gè)在點(diǎn)

x

0處不連續(xù)，則

f(

x

)±

g(

x

)在點(diǎn)

x

0處：

定理?xiàng)l件不滿足時(shí)的相應(yīng)結(jié)果(

C

)

一定不連續(xù)(

A

)

一定連續(xù)

(

B

)

不一定連續(xù)

若兩函數(shù)

f(

x

)、g(

x

)一個(gè)在點(diǎn)

x

0處連續(xù)，而另一個(gè)在點(diǎn)

x

0處不連續(xù)，則

f(

x

)

g(

x

)在點(diǎn)

x

0處：(

C

)

一定不連續(xù)(

A

)

一定連續(xù)

(

B

)

不一定連續(xù)

基本初等函數(shù)由冪函數(shù)及兩組互為反函數(shù)的函數(shù)組指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)與反三角函數(shù)構(gòu)成。討論反函數(shù)的連續(xù)性不僅可更簡(jiǎn)潔地討論基本初等函數(shù)的連續(xù)性，對(duì)其它初等函數(shù)及非初等函數(shù)連續(xù)性的討論也具有一般性意義。(1)

討論反函數(shù)連續(xù)性問(wèn)題的意義2.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性如果函數(shù)

y

=

f(

x

)在區(qū)間

I

x

上單調(diào)增加且連續(xù)，那么它的反函數(shù)

x

=

f

-1(

y

)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間

I

y

={

y|

y=f(

x

),x

I

x

}上單調(diào)增加且連續(xù)。如果函數(shù)

y

=f(

x

)在區(qū)間

I

x

上單調(diào)減小且連續(xù)，那么它的反函數(shù)

x=f

-1(

y

)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間

I

y

={

y|

y=f(

x

),x

I

x

}上單調(diào)減小且連續(xù)。定理

4反函數(shù)連續(xù)性的一種表述(2)

反函數(shù)連續(xù)性定理

定理

4

指出了直接函數(shù)連續(xù)性與其反函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系，其中對(duì)反函數(shù)采用了記號(hào)x=f-1(

y

)，而不是

y=f-1(

x

).采用這種反函數(shù)記法的好處是此時(shí)反函數(shù)

x=f-1(

y

)與直接函數(shù)

y=f(

x

)的圖形為同一條曲線，從而更便于由直接函數(shù)的單調(diào)性和連續(xù)性觀察出相應(yīng)反函數(shù)的單調(diào)連續(xù)性。在定理的實(shí)際應(yīng)用中，為討論方便，反函數(shù)的表示仍多采用記號(hào)y=f-1(

x

)的形式。定理

4

的說(shuō)明定理

4

中反函數(shù)的表示形式單調(diào)連續(xù)區(qū)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系定理

4

的應(yīng)用問(wèn)題定理

4

要求直接函數(shù)

y=f(

x

)在某區(qū)間

I

x上單調(diào)。一般情況下，給定直接函數(shù)

y=f(

x

)可能并不滿足這一條件，即給定函數(shù)在其定義區(qū)間上未必總是單調(diào)的。對(duì)于這種情形，可考慮將

I

x分割為若干個(gè)

f(

x

)的單調(diào)區(qū)間，并在各單調(diào)區(qū)間上分別應(yīng)用定理

4

逐段確定

f(

x

)的單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)。在各單調(diào)區(qū)間上逐段確定單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)

例如，考慮函數(shù)

y=f(

x

)=cos

x的單值反函數(shù)，由于該函數(shù)在其定義區(qū)間(

-

,+

)上并不單調(diào)，故考慮將其定義區(qū)間分割為相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行考察：考慮其主值區(qū)間I

x

=[0

,]

.

因?yàn)閥

=cos

x在[0

,]內(nèi)單調(diào)減小、連續(xù)。此時(shí)由反函數(shù)存在定理可確定其在[0

,]內(nèi)存在單值反函數(shù)

x=f

-

1(

y

)=arccos

y，由定理

4

其又可確定其在對(duì)應(yīng)的值域區(qū)間

I

y內(nèi)單調(diào)減小并連續(xù)，易求得I

y={

y

|y=f(

x

)=cos

x

,x

I

x=[0

,]}=

[

-1,1

].如此按單調(diào)區(qū)間逐段討論，就可逐段寫出y

=

cos

x的單值反函數(shù)。余弦函數(shù)與反余弦函數(shù)的連續(xù)性單調(diào)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖形對(duì)應(yīng)反函數(shù)圖形已知余弦函數(shù)

y=cosx在[0,]內(nèi)連續(xù)反余弦函數(shù)y

=

arccosx在[-1,1

]內(nèi)連續(xù)定理二已知指數(shù)函數(shù)

y

=

ax

在(-,+

)內(nèi)連續(xù)定理二已知對(duì)數(shù)函數(shù)

y

=

logax在(

0,+

)內(nèi)連續(xù)根據(jù)定理

4，由三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性便可得到反三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性與復(fù)合函數(shù)取極限問(wèn)題有密切聯(lián)系，已討論過(guò)的復(fù)合函數(shù)取極限問(wèn)題的結(jié)果如下：

設(shè)函數(shù)

u

=

(

x

)當(dāng)

x

→

x

0

時(shí)極限存在且等于a，即

而函數(shù)y

=

f(

u

)在點(diǎn)

a處有定義，且那么復(fù)合函數(shù)

f[(

x

)]當(dāng)

x

→

x

0

時(shí)的極限也存在，且等于

f(

a

)，即

由函數(shù)連續(xù)性的定義容易看出，將定理中的

a

換成(

x

0

)便可得復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性命題的相應(yīng)結(jié)果。(3)

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)取極限定理定理

5復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理設(shè)函數(shù)

u

=

(

x

)在

x

=

x

0連續(xù)，且

(

x

0

)=

u

0，而函數(shù)

y

=

f(

u

)在

u

=

u

0連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)

y=f[(

x

)]在

x

=

x

0也連續(xù)。連續(xù)例：討論函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)y

=

sin

1/x可看成是由函數(shù)y

=

sinu及

u

=

1/x復(fù)合而成的。函數(shù)y

=

sin

u

當(dāng)

u(-,+

)時(shí)是連續(xù)的,函數(shù)u

=

1/x當(dāng)

x(-,

0

)∪(

0,+

)時(shí)是連續(xù)的。由定理5，函數(shù)y

=

sin

1/x在

x(-,

0

)∪(

0,+

)內(nèi)連續(xù)。解通過(guò)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)進(jìn)行考察三．初等函數(shù)的連續(xù)性(1)

三角函數(shù)的連續(xù)性由于已直接根據(jù)定義討論了三角函數(shù)

sin

x

,cos

x在其定義域(

-

,+

)內(nèi)的連續(xù)性，因此由連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)可得其它幾個(gè)三角函數(shù)

tan

x

,cot

x

,sec

x

,csc

x在各自定義域內(nèi)的連續(xù)性。于是可知，三角函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。1.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性(2)

反三角函數(shù)的連續(xù)性由三角函數(shù)的連續(xù)性及直接函數(shù)與其反函數(shù)的連續(xù)性的關(guān)系知，反三角函數(shù)arcsin

x

,arccos

x

,arctan

x

,arccot

x

,arcsec

x

,arccsc

x在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。對(duì)于指數(shù)函數(shù)y

=

a

x,a

>

0

,a

1,x

(

-

,+

)，由