固體物理固體比熱容

固體物理固體比熱容第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四

在十九世紀(jì)，由實(shí)驗(yàn)得到在室溫下固體的比熱是由杜隆-珀替定律給出的：

熱容是一個(gè)與溫度和材料都無關(guān)的常數(shù)。其中R=NAKB，NA是阿伏伽德羅常數(shù)（6.03×1023atoms/mole）KB是玻爾茲曼常數(shù)（1.38×10-16爾格/開，爾格是功和能量的單位1焦耳=107爾格）?；叵胍幌?，1卡路里=4.18焦耳=4.18×107爾格。因此，（2.90）所給出的結(jié)果cal/degmole（2.91）（2.90）固體比熱的經(jīng)典理論第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四

杜隆-珀替定律的解釋是基于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)的均分定理的基礎(chǔ)之上的，該定理假設(shè)每個(gè)原子關(guān)于它的平衡位置做簡諧振蕩，那么一個(gè)原子的能量就為：（2.92）

在一個(gè)處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)中，能量均分定理指出:對(duì)于上式中的其他項(xiàng)也都適用，因此在溫度T時(shí)每個(gè)原子的能量都為E=3kBT固體比熱的經(jīng)典理論第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四1摩爾原子的能量則為（2.93）

隨后，Cv,由（2.90）式給出。后來發(fā)現(xiàn)，杜隆-珀替定律只適用于足夠高的溫度。對(duì)于一個(gè)典型固體Cv的值被發(fā)現(xiàn)隨溫度的影響具有如圖2.9所示的行為。固體比熱的經(jīng)典理論第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四

由圖可知，在低溫時(shí)，熱容量不再保持為常數(shù)，而是隨溫度的下降很快趨向于零。固體比熱的經(jīng)典理論第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四

為了解決這一問題，愛因斯坦提出了量子熱容理論。根據(jù)量子理論，各個(gè)簡諧振動(dòng)的能量本征值是量子化的，即（nj=整數(shù)）ModernTheoryoftheSpecificHeatofSolids

固體比熱的現(xiàn)代理論把晶體看作一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡諧近似下引入簡正坐標(biāo)Qi（i=1,2…3N）來描述振子的振動(dòng)?？梢哉J(rèn)為這些振子獨(dú)立的子系，每個(gè)諧振子的的統(tǒng)計(jì)平均能量：第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四令零點(diǎn)能平均熱能ModernTheoryoftheSpecificHeatofSolids

固體比熱的現(xiàn)代理論第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四其中——平均聲子數(shù)在一定溫度下，晶格振動(dòng)的總能量為：第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四HeatCapacityofSolids

固體熱容上式對(duì)T求微商，得到晶格熱容：上式分析了頻率為ωj的振子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)，晶體中包含有3N個(gè)簡諧振動(dòng)，總能量為：第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四HeatCapacityofSolids

固體熱容總熱容就為：第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四愛因斯坦模型假設(shè)晶體中原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的,而且所有原子都以同一頻率ω0振動(dòng)。ω0

的值由實(shí)驗(yàn)選定，使理論與實(shí)驗(yàn)一致。不足之處：模型過于簡化，得到的結(jié)果以指數(shù)形式趨于0，與實(shí)驗(yàn)中以T3變化不符。Einstein模型趨于零的速度太快！該模型的成功之處：證明Einstein模型由固體比熱的現(xiàn)代理論可知：第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四經(jīng)典的能量均分定理可以很好地解釋室溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。困難：低溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)值明顯偏小，且當(dāng)T0時(shí)，

CV0，經(jīng)典的能量均分定理無法解釋。2.Einstein模型在一定溫度下，由N個(gè)原子組成的晶體的總振動(dòng)能為：

假設(shè)：晶體中各原子的振動(dòng)相互獨(dú)立，且所有原子都

以同一頻率0振動(dòng)。即：第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四定義Einstein溫度：高溫下：T>>E

即第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四在低溫下：T<<E

即當(dāng)T0時(shí)，CV0，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性符合。根據(jù)Einstein模型，T0，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，T0，CV∝T3;第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四Einstein模型

金剛石熱容量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四3.Debye模型假設(shè)：晶體是各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)，格波可以看

成連續(xù)介質(zhì)的彈性波。這表明，在q空間中，等頻率面為球面。為簡單，設(shè)橫波和縱波的傳播速度相同，均為c。第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四4.Debye模型

Einstein模型過于簡化，固體中原子的振動(dòng)不是孤立的。晶體中原子的振動(dòng)采用格波的形式，頻率有一個(gè)分布,Debye模型考慮了頻率分布。（1）頻率分布函g(ω)的定義在ω—ω+dω之間的簡諧振動(dòng)數(shù)為ΔN，定義頻率分布函數(shù)為：

g(ω)稱頻率分布函數(shù)或振動(dòng)模的態(tài)密度函數(shù)（視為連續(xù)函數(shù)）振動(dòng)模對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)只決定于它的頻率，由頻率分布函數(shù)，可以寫出熱容：寫出g(ω)的解析表達(dá)式就可以計(jì)算出熱容量。第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四在－＋d之間晶格振動(dòng)的模式數(shù)為由m第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四定義Debye溫度：對(duì)于大多數(shù)固體材料：D?102K第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四元素D(K)元素D(K)元素D(K)Ag225Cd209Ir108Al428Co445K91As282Cr630Li344Au165Cu343La142B1250Fe470Mg400Be1440Ga320Mn410Bi119Ge374Mo450金剛石2230Gd200Na158Ca230Hg71.9Ni450第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四作變換：在高溫下：T>>D，即第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四在低溫下：T<<D，即第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四利用Taylor展開式：利用積分公式：第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四這表明，Debye模型可以很好地解釋在很低溫度下晶格熱容CV∝T3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由此可見，用Debye模型來解釋晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相當(dāng)成功的，尤其是在低溫下，溫度越低，Debye近似就越好。第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四幾種材料晶格熱容量理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四TqyqxmqmqT

在非常低的溫度下，由于短波聲子的能量太高，不會(huì)被熱激發(fā)，而被“冷凍”下來。所以的聲子對(duì)熱容幾乎沒有貢獻(xiàn)；只有那些的長波聲子才會(huì)被熱激發(fā)，對(duì)熱容量有貢獻(xiàn)。第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四在q空間中，被熱激發(fā)的聲子所占的體積比約為由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得的能量為：第29頁，共31頁，2023年，2月20日，星期四

CV∝T3必須在很低的溫度下才成立，大約要低到T~D/50，即約10K以下才能觀察到CV隨T3變化。