固有頻率與振型

固有頻率與振型第1頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications設(shè)n自由度系統(tǒng)運動微分方程的解為即設(shè)系統(tǒng)的各坐標作同步諧振動。上式又可表示為多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第2頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications將解式代入系統(tǒng)運動微分方程，并消去，得到多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第3頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications特征矩陣要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于是得到該系統(tǒng)的頻率方程(或特征方程)。式是關(guān)于ω2的n次多項式，由它可以求出n個固有頻率(或稱特征值)。因此，n個自由度振動系統(tǒng)具有n個固有頻率。多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第4頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications可得到前乘以下面對其取值情況進行討論。由于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M是正定的，剛度矩陣K是正定的或半正定的，因此有于是，得到多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第5頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications頻率方程中所有的固有頻率值都是實數(shù)，并且是正數(shù)或為零。通常剛度矩陣為正定的稱之為正定系統(tǒng)；剛度矩陣為半正定的稱之為半正定系統(tǒng)。對應(yīng)于正定系統(tǒng)的固有頻率值是正的；對應(yīng)于半正定系統(tǒng)的固有頻率值是正數(shù)或為零。一般的振動系統(tǒng)的n個固有頻率的值互不相等(也有特殊情況)。將各個固有頻率按照由小到大的順序排列為其中最低階固有頻率ω1稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后依次稱為二階、三階固有頻率等。

多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第6頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四對應(yīng)于ωi可以求得A(i)，它滿足返回首頁TheoryofVibrationwithApplicationsA(i)為對應(yīng)于ωi的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以ωi的頻率作自由振動時，各物塊振幅的相對大小，稱之為第i階主振型，也稱固有振型或主模態(tài)。對于任何一個n自由度振動系統(tǒng)，總可以找到n個固有頻率和與之對應(yīng)的n階主振型多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第7頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications對于任何一個n自由度振動系統(tǒng)，總可以找到n個固有頻率和與之對應(yīng)的n階主振型在主振型矢量中，規(guī)定某個元素的值為1，并進而確定其它元素的過程稱為歸一化。令，于是可得第i階主振型矢量為多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第8頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications主振型矢量也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來求得。特征矩陣逆矩陣乘以代入比較

所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因子。任何非零列成比例多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型用矩陣A的第i

行第j

列的代數(shù)余子式把第j

行第i

列的元素替換掉得到就是A的伴隨矩陣，記作adjA。第9頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications當運動微分方程是位移方程時，仍可設(shè)其解具有特征矩陣頻率方程求出n個固有頻率，其相應(yīng)的主振型也可從特征矩陣的伴隨矩陣adjL將ωi值代入而求出.

代入位移方程多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第10頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications例1圖是三自由度振動系統(tǒng)，設(shè)k1=k2=k3=k，m1=m2=m，m3=2m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：選擇x1、x2、x3坐標如圖所示。則系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為將M和K代入頻率方程多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第11頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications解方程得到求出系統(tǒng)的三個固有頻率為再求特征矩陣的伴隨矩陣多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第12頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications設(shè)取其第三列(計算時可只求出這一列)，將ω1值代入，得到第一階主振型為得到第二、三階主振型為三個主振型由圖所示多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第13頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四歸一化后，即令返回首頁TheoryofVibrationwithApplications=0主振型也可由式求得代入可得主振型多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第14頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications例2在例1中，若k1=0,求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。相當于圖所示系統(tǒng)中去掉這個彈簧，這時剛度矩陣為解：特征矩陣為可得到頻率方程多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第15頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications解出得到三個固有頻率分別代入的第三列歸一化后，得到三個主振型多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第16頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications這種振型是與零固有頻率對應(yīng)的稱之為零振型。剛度矩陣是半正定系統(tǒng)。而且，在其運動方向上系統(tǒng)的外力的合力為零，是動量守恒系統(tǒng)。

多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第17頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications例4有三個具有質(zhì)量的小球，置于一根張緊的鋼絲上如圖所示。假設(shè)鋼絲中的拉力T很大，因而各點的橫向位移不會使拉力有明顯的變化。設(shè)m1=m2=m3=m

，尺寸如圖所示，試用位移方程求該系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣是

其柔度矩陣可按柔度影響系數(shù)求出多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第18頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications首先僅在m1質(zhì)量處施加水平單位力F=1m1位移是m2位移是m3位移是畫出m1的受力圖。根據(jù)平衡條件，得m1由圖中三角形的幾何關(guān)系可解出多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第19頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications寫出柔度矩陣系統(tǒng)的特征矩陣為多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第20頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四得頻率方程，即得返回首頁TheoryofVibrationwithApplications求出各根，按遞降次序排列于是得到系統(tǒng)的固有頻率多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第21頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications為求系統(tǒng)的主振型，先求出adjL的第一列代入各階主振型歸一化多自由度系統(tǒng)固有頻率主振型第22頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications主振型的正交性主振型矩陣與正則振型矩陣主坐標和正則坐標多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第23頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplicationsn自由度的振動系統(tǒng)，具有n個固有頻率和與之對應(yīng)的n階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。對應(yīng)于兩邊左乘轉(zhuǎn)置，然后右乘

相減

多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第24頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications表明，對應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，既關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對應(yīng)的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。

Ki稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；Mi稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量。令j=i,多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第25頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications可見，由于主振型的正交性，不同階的主振動之間不存在動能的轉(zhuǎn)換，或者說不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有振動的廣義彈性力在第j階固有振動的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動之間也不存在勢能的轉(zhuǎn)換，或者說不存在彈性耦合。對于每一個主振動來說，它的動能和勢能之和是個常數(shù)。在運動過程中，每個主振動內(nèi)部的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但各階主振動之間不會發(fā)生能量的傳遞。因此，從能量的觀點看，各階主振動是互相獨立的，這就是主振動正交性的物理意義。多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第26頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個n×n階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即根據(jù)主振型的正交性，可以導出主振型矩陣的兩個性質(zhì)主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第27頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications使MP由對角陣變換為單位陣將主振型矩陣的各列除以其對應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即這樣得到的振型稱為正則振型。正則振型的正交關(guān)系是第i階正則振型第i階固有頻率多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第28頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications以各階正則振型為列，依次排列成一個n×n階方陣，稱此方陣為正則振型矩陣，即由正交性可導出正則矩陣兩個性質(zhì)譜矩陣

多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第29頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications在一般情況下，具有有限個自由度振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都不是對角陣。因此，系統(tǒng)的運動微分方程中既有動力偶合又有靜力偶合。對于n自由度無阻尼振動系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標，使方程中不出現(xiàn)偶合項亦即質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是對角陣，這樣每個方程可以視為單自由度問題，稱這組坐標為主坐標或模態(tài)坐標。由前面的討論可知，主振型矩陣AP與正則振型矩陣AN，均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進行坐標變換，以尋求主坐標或正則坐標。多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第30頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications1.主坐標首先用主振型矩陣進行坐標變換，即主坐標矢量

這組坐標變換的物理意義，可由展開式看出多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第31頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications即原物理坐標的各位移值，都可以看成是由n個主振型按一定的比例組合而成。新坐標比例因子系統(tǒng)各坐標值正好與第一階主振型相等，即每個主坐標的值等于各階主振型分量在系統(tǒng)原物理坐標中占有成分的大小。如果令則可得多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第32頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications將式由主振型矩陣的兩個性質(zhì)前乘以由于主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣都是對角陣，所以方程式中無偶合，且為相互獨立的n個自由度運動微分方程。即第i階主質(zhì)量或模態(tài)質(zhì)量第i階主剛度或模態(tài)剛度第i階主質(zhì)量多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第33頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications由物理坐標到模態(tài)坐標的轉(zhuǎn)換，是方程解耦的數(shù)學過程。從物理意義上講，是從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^程。在物理坐標系統(tǒng)中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般是非對角陣，使運動方程不能解耦。而在模態(tài)坐標系統(tǒng)中，第i

個模態(tài)坐標代表在位移向量中第i階主振型（模態(tài)振型）所作的貢獻。任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振型是否同時存在。這就是模態(tài)坐標得以解耦的原因。因此，位移響應(yīng)向量是各階模態(tài)貢獻的疊加的結(jié)果，而不是模態(tài)耦合的結(jié)果。各階模態(tài)之間是不耦合的。多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第34頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications2.正則坐標用正則振型矩陣AN進行坐標變換，設(shè)正則坐標矢量前乘以由正則振型矩陣的兩個性質(zhì)多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第35頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications3.位移方程的坐標變換設(shè)系統(tǒng)的位移方程前乘以單位矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣譜矩陣的逆矩陣

多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第36頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications例5試求例1中系統(tǒng)的主振型矩陣和正則振型矩陣。由質(zhì)量矩陣

，可求出主質(zhì)量矩陣解：將在例1中求得的各階主振型依次排列成方陣，得到主振型矩陣多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第37頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications于是，可得各階正則振型以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第38頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications由剛度矩陣可求出譜矩陣可寫出以正則坐標表示的運動方程展開式為多自由度系統(tǒng)主坐標和正則坐標第39頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications在前面的討論中，曾假設(shè)系統(tǒng)的固有頻率均不相等，而每個固有頻率對應(yīng)一個主振型。但復雜系統(tǒng)中也會出現(xiàn)兩個或兩個以上頻率相等或相近的情形，這時相對應(yīng)的主振型就不能唯一地確定。為了說明這一點，假設(shè)頻率方程有二重根。可寫出線性組合說明對應(yīng)于ω0的主振型不能唯一地確定

兩個任意常數(shù)多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況第40頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications因此，當系統(tǒng)具有重根時，其等固有頻率的主振型要根據(jù)各振型間的正交性來確定。不僅所選定的A(1)和A(2)之間應(yīng)滿足對M、K的正交關(guān)系，而且還必須滿足與其它振型間關(guān)于M、K的正交關(guān)系。例6圖示系統(tǒng)是由兩個質(zhì)量均為m的質(zhì)點與一無重剛桿組成，且兩質(zhì)點又分別與彈簧常數(shù)為k的彈簧相連。試求該系統(tǒng)的固有頻率及主振型。多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況第41頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四返回首頁TheoryofVibrationwithApplications解：以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標原點，建立坐標x1,x2

。寫出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為得到特征矩陣得到頻率方程解出系統(tǒng)的兩個固有頻率，是重根。

多自由度系統(tǒng)固有頻率相等的情況