湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第1章直角三角形

導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第1課時(shí)直角三角形的性質(zhì)和判定1.1直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅰ）第1章直角三角形八年級(jí)數(shù)學(xué)下（XJ）教學(xué)課件1.了解直角三角形兩個(gè)銳角的關(guān)系.（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)2.掌握直角三角形的判定及推論.（難點(diǎn)）3.會(huì)運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié).可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來(lái)，它指著老大說(shuō)：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”老大說(shuō)：“這是不可能的，否則，我們這個(gè)家就再也圍不起來(lái)了……”“為什么？”老二很納悶.你知道其中的道理嗎？?jī)?nèi)角三兄弟之爭(zhēng)情境引入

老大的度數(shù)為90°，老二若是比老大的度數(shù)大，那么老二的度數(shù)要大于90°，而三角形的內(nèi)角和為180°，相互矛盾，因而是不可能的.在這個(gè)家里，我是永遠(yuǎn)的老大.問(wèn)題1：如下圖所示是我們常用的三角板,兩銳角的度數(shù)之和為多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°講授新課直角三角形的兩個(gè)銳角互余一問(wèn)題引導(dǎo)問(wèn)題2：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？在Rt△ABC中，因?yàn)椤螩=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A

+∠B+∠C=90°,即∠A

+∠B=90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢？ABC直角三角形的兩個(gè)銳角互余．應(yīng)用格式：在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC

可以寫成Rt△ABC．總結(jié)歸納方法一（利用平行的判定和性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.例1（1）如圖，∠B=∠C=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A

與∠D有什么關(guān)系？圖典例精析解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.（2）如圖，∠B=∠D=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與

∠C有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.圖與圖有哪些共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？例2

如圖，∠C=∠D=90°,AD,BC相交于點(diǎn)E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，

∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.解：∵CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，∴∠BEA=∠BDF=90°，∴∠ABE+∠A=90°，∠ABE+∠DFB=90°.∴∠A=∠DFB.∵∠DFB+∠BFC=180°，∴∠A+∠BFC=180°.【變式題】如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于點(diǎn)F，∠A與∠BFC又有什么關(guān)系？為什么？思考：通過(guò)前面的例題，你能畫出這些題型的基本圖形嗎？基本圖形∠A=∠C∠A=∠D總結(jié)歸納問(wèn)題：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？在△ABC中，因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形二ABC應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

總結(jié)歸納典例精析例3

如圖，∠C=90°,∠1=∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？ACBDE((12解：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2,∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.例4

如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.

問(wèn)題：如圖，畫一個(gè)Rt△ABC，并作出斜邊AB上的中線CD，比較線段CD與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半三我測(cè)量后發(fā)現(xiàn)CD=AB.線段CD比線段AB短.猜想：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.試給出數(shù)學(xué)證明.圖1-4如圖1-3，如果中線CD=AB，則有∠DCA

=∠A.由此受到啟發(fā)，在圖1-4

的Rt△ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線

交AB于，使，∠

=∠A則.圖1-3證一證∴點(diǎn)D'是斜邊上的中點(diǎn)，即CD'是斜邊AB的中線.∠A

+∠B=90°，又∵，∴∴故得從而CD與CD'重合，且

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.性質(zhì)例5

已知：如圖，CD是△ABC的AB邊上的中線，且.求證：△ABC是直角三角形.證明：∴

∠1=∠A，∠2=∠B.∵∠A+∠B+∠ACB=180°，即∠A+∠B+∠1+∠2=180°，2(∠A+∠B)=180°.∴

∠A+∠B=90°.∴

△ABC是直角三角形.例6

如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．(1)若AB＝10，AC＝8，求四邊形AEDF的周長(zhǎng)；解：∵AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)＝AE＋DE＋DF＋AF

＝5＋5＋4＋4＝18；(2)求證：EF垂直平分AD.證明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在線段AD的垂直平分線上，∴EF垂直平分AD.

當(dāng)已知條件含有線段的中點(diǎn)、直角三角形的條件時(shí)，可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進(jìn)行求解．歸納如圖，在△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3cm,則AC=_____cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,則AC=_____cm,BD=_____cm.ABCD6105練一練歸納總結(jié)體現(xiàn)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)的常見圖形1.如圖，一張長(zhǎng)方形紙片，剪去一部分后得到一個(gè)三角形，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是________.90°2.如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，AC⊥CD于點(diǎn)C，若∠BOD=38°，則∠A=________.52°第1題圖第2題圖當(dāng)堂練習(xí)3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，則這個(gè)三角形是____________.直角三角形4.在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于40°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是（）A．40°B．50°C．60°D．70°B5.具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C

B．∠A-∠B=∠C

C．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠CD6.如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，

CD⊥AB，與∠1互余的角有（）A．∠BB．∠AC．∠BCD和∠AD．∠BCDC7.如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠B．求證：△ACD是直角三角形．證明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴△ACD是直角三角形.8.如圖，已知BD，CE是△ABC不同邊上的高，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點(diǎn)，試說(shuō)明GF⊥DE.解：連接EG，DG.∵BD，CE是△ABC的高，

∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴EG＝BC，DG＝BC.∴EG＝DG.

又∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，

∴GF⊥DE.

在直角三角形中，遇到斜邊中點(diǎn)常作斜邊中線，進(jìn)而可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等腰三角形的問(wèn)題，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)解題．歸納課堂小結(jié)直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余判定有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用1.1直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅰ）第1章直角三角形八年級(jí)數(shù)學(xué)下（XJ）教學(xué)課件1.理解和掌握有關(guān)30°角的直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用;（重點(diǎn)）2.通過(guò)定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入新課問(wèn)題引入問(wèn)題1

如圖，將兩個(gè)含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？分離拼接ABCDA'C'問(wèn)題2

將剪一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對(duì)折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？動(dòng)手：用刻度尺測(cè)量含30°角的直角三角形的斜邊和短直角邊，比較它們之間的數(shù)量關(guān)系.結(jié)論：短直角邊=斜邊講授新課含30°角的直角三角形的性質(zhì)活動(dòng)探究ABCD如圖，△ADC是△ABC的軸對(duì)稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個(gè)等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.合作探究證明：取線段AB的中點(diǎn)D，連接CD.∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，30°BCAD∵∠BCA=90°，且∠A=30°，∴∠B=60°，∴△CBD為等邊三角形，證法1證明方法：中線法證法2證明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延長(zhǎng)BC到D，使BD=AB，連接AD，則△ABD

是等邊三角形．ABCD

證明方法：倍長(zhǎng)法∴

BC=AB．

30°)EABC證明：在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB．

證明方法：截半法證法330°)知識(shí)要點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一直角等于30°，那么這個(gè)直角所對(duì)的邊等于斜邊的一半.應(yīng)用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

)30°(1)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于另一直角邊的一半．

(2)三角形中30°角所對(duì)的邊等于最長(zhǎng)邊的一半.

(3)直角三角形中最小的直角邊是斜邊的一半.

(4)直角三角形的斜邊是30°角所對(duì)直角邊的2倍．√判一判例1

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長(zhǎng)度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm典例精析注意：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長(zhǎng)度是12cm.例2

已知:等腰三角形的底角為15°,腰長(zhǎng)為20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:過(guò)C作CD⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.方法總結(jié)：在求三角形邊長(zhǎng)的一些問(wèn)題中，可以構(gòu)造含30°角的直角三角形來(lái)解決．例3：在A島周圍20海里（1海里=1852m）水域內(nèi)有暗礁，一輪船由西向東航行到O處時(shí)，發(fā)現(xiàn)A島在北偏東60°的方向上，且與輪船相距海里，如圖所示.該船如果保持航行不變，有觸暗礁的危險(xiǎn)嗎？OBDA北東60°解：∵∠AOD=30°，

AO=海里，∴AD=AO=海里＞20海里，所以無(wú)危險(xiǎn).解：如圖，取線段AB的中點(diǎn)D，連接CD.∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=AB=BD=AD,即△BDC為等邊三角形,∴∠B=60°.∵∠B+∠A=90°，∴∠A=30°.思考：如圖，在Rt△ABC中，如果BC=AB，那么∠A等于多少？BCAD知識(shí)要點(diǎn)在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°.應(yīng)用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，

ABCBC=AB．

)30°∴∠A=30°例4：如圖所示，在四邊形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝BC，求∠DAC的度數(shù)．解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC＝BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中，于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米B2.某市在舊城改造中，計(jì)劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買這種草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元B3.如圖，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是高，∠A=30°，AB=4．則BD=

.A

B

C

D

14.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,則BC

=

.55.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=______.ACB8cm第5題圖6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，求AC的長(zhǎng)．解：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線，∴BE=AE，∴∠B=∠EAB=15°，∴∠AEC=30°，∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．7.在△ABC中,

AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E點(diǎn)，求證：BE=3EA.證明:∵AB=AC,∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC∴∠ADC=90°,∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED==90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m.8.如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D

是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC，DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

有多長(zhǎng).9.如圖，已知△ABC是等邊三角形，D,E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且CD=AE，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q,求證:BP=2PQ.拓展提升∴△ADC≌△BEA.證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，∴∠CAD=∠ABE,∠BAP+∠CAD=60°.∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.又∵BQ⊥AD，∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°，∴∠BQP=90°，課堂小結(jié)內(nèi)容在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半（反之亦成立）使用要點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊注意前提條件：直角三角形中1.2直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)八年級(jí)數(shù)學(xué)下（XJ）教學(xué)課件第1課時(shí)勾股定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會(huì)用面積法來(lái)證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.（重點(diǎn)）2.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.（難點(diǎn)）其他星球上是否存在著“人”呢？為了探尋這一點(diǎn)，世界上許多科學(xué)家向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，如地球上人類的語(yǔ)言、音樂(lè)、各種圖形等.導(dǎo)入新課情景引入據(jù)說(shuō)我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議“發(fā)射”一種勾股定理的圖形(如圖).很多學(xué)者認(rèn)為如果宇宙“人”也擁有文明的話，那么他們一定會(huì)認(rèn)識(shí)這種語(yǔ)言，因?yàn)閹缀跛芯哂泄糯幕拿褡搴蛧?guó)家都對(duì)勾股定理有所了解.勾股定理有著悠久的歷史：古巴比倫人和古代中國(guó)人看出了這個(gè)關(guān)系，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了這關(guān)系，下面讓我們一起來(lái)通過(guò)視頻了解吧：講授新課勾股定理的認(rèn)識(shí)及驗(yàn)證一

我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形磚鋪成的地面（如圖）：ABC問(wèn)題1

試問(wèn)正方形A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？ABC一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=

問(wèn)題2

圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系？問(wèn)題3

在網(wǎng)格中有一般的直角三角形，以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A、B、C

是否也有類似的面積關(guān)系？觀察下邊兩幅圖(每個(gè)小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？方法1：補(bǔ)形法(把以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：左圖：右圖：方法2：分割法(把以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：你還有其他辦法求C的面積嗎？根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：

A的面積B的面積C的面積左圖右圖413259169問(wèn)題4

正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=直角三角形兩直角邊a,b的平方和，等于斜邊c的平方.a2+b2=c2.

由上面的幾個(gè)例子，我們猜想：abc下面動(dòng)圖形象的說(shuō)明命題1的正確性，讓我們跟著以前的數(shù)學(xué)家們用拼圖法來(lái)證明這一猜想.abbcabca證法1讓我們跟著我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽,用他所拼的圖形證明命題吧.abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖b-a證明：

“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.因此，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽.證法2

畢達(dá)哥拉斯證法，請(qǐng)先用手中四個(gè)全等的直角三角形按圖示方法拼圖，然后分析其面積關(guān)系進(jìn)行證明.aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，aabbcc∴a2+b2=c2.證法3美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.abc青入青方青出青出青入朱入朱方朱出青朱出入圖課外鏈接

如圖，過(guò)A點(diǎn)畫一直線AL使其垂直于DE，并交DE于L，交BC于M.通過(guò)證明△BCF≌△BDA，利用三角形面積與長(zhǎng)方形面積的關(guān)系，得到正方形ABFG與矩形BDLM等積，同理正方形ACKH與矩形MLEC也等積，于是推得歐幾里得證明勾股定理推薦書目a、b、c為正數(shù)直角三角形兩直角邊a,b的平方和，等于斜邊c的平方.

a2+b2=c2.公式變形：勾股定理abc歸納總結(jié)在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股勾2+股2=弦2小貼士

例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)據(jù)勾股定理得(2)據(jù)勾股定理得

利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算二CAB（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

【變式題1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)設(shè)a=x,b=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得(2)因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得

已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長(zhǎng)求未知兩邊時(shí)，要運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.歸納【變式題2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長(zhǎng).解：本題斜邊不確定，需分類討論：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，如圖，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，如圖，43ACB43CAB圖圖

當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒(méi)有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長(zhǎng)邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，否則容易丟解.歸納例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長(zhǎng).解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據(jù)三角形面積公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34

由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用．歸納練一練

求下列圖中未知數(shù)x、y的值：解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得

y2+144=169，解得

y=5.當(dāng)堂練習(xí)1.下列說(shuō)法中,正確的是（）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C2.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為

.8cm10cm36cm23.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=

.

（2）若c=13，b=12，則a=

.1754.求斜邊長(zhǎng)17cm、一條直角邊長(zhǎng)15cm的直角三角形的面積.解：設(shè)另一條直角邊長(zhǎng)是xcm.

由勾股定理得152+x2=172，即x2=172-152=289–225=64，所以x=±8（負(fù)值舍去），所以另一直角邊長(zhǎng)為8cm，直角三角形的面積是

(cm2).5.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周長(zhǎng)．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD=，∴BC=BD+CD=1+，∴AB+AC+BC=．解：因?yàn)锳E＝BE，所以S△ABE＝AE·BE＝AE2.又因?yàn)锳E2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2；同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又因?yàn)锳C2＋BC2＝AB2，所以陰影部分的面積為AB2＝.6.如圖，以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，求△ABE及陰影部分的面積.能力提升：S5=S1+S2=4，S7=S5+S6=10.7.已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S5，S6，S7的值.S6=S3+S4=6，課堂小結(jié)勾股定理內(nèi)容在Rt△ABC中，

∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個(gè)角是直角已知兩邊沒(méi)有指明是直角邊還是斜邊時(shí)一定要分類討論1.2直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)八年級(jí)數(shù)學(xué)下（XJ）教學(xué)課件第2課時(shí)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)運(yùn)用勾股定理求線段長(zhǎng)及解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

（重點(diǎn)）2.能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長(zhǎng)度之間的聯(lián)系，并進(jìn)一步求出未知邊長(zhǎng).（難點(diǎn)）情景引入數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，勾股定理的應(yīng)用在生活中無(wú)處不在，觀看下面視頻，你們能理解曾小賢和胡一菲的做法嗎？導(dǎo)入新課問(wèn)題觀看下面同一根長(zhǎng)竹竿以三種不同的方式進(jìn)門的情況，并結(jié)合曾小賢和胡一菲的做法，對(duì)于長(zhǎng)竹竿進(jìn)門之類的問(wèn)題你有什么啟發(fā)？這個(gè)跟我們學(xué)的勾股定理有關(guān)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題勾股定理的簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用一講授新課例1一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m,寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門框內(nèi)通過(guò)?為什么?2m1mABDC典例精析解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5因?yàn)锳C大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內(nèi)通過(guò).

分析：可以看出木板橫著，豎著都不能通過(guò)，只能斜著.門框AC的長(zhǎng)度是斜著能通過(guò)的最大長(zhǎng)度，只要AC的長(zhǎng)大于木板的寬就能通過(guò).ABDCO

解：在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.例2如圖，一架2.6m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?例3：我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？DABC解：設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長(zhǎng)AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，這根蘆葦長(zhǎng)13尺.例4

在一次臺(tái)風(fēng)的襲擊中，小明家房前的一棵大樹在離地面6米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部8米處.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎？8米6米8米6米ACB解：根據(jù)題意可以構(gòu)建一直角三角形模型，如圖.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得∴這棵樹在折斷之前的高度是10+6=16（米）.利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實(shí)際問(wèn)題.歸納總結(jié)數(shù)學(xué)問(wèn)題直角三角形勾股定理實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化構(gòu)建利用解決1.湖的兩端有A、B兩點(diǎn)，從與BA方向成直角的BC方向上的點(diǎn)C測(cè)得CA=130米,CB=120米,則AB為()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?A練一練2.如圖，學(xué)校教學(xué)樓前有一塊長(zhǎng)方形草坪,草坪長(zhǎng)為4米，寬為3米，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“徑路”，卻踩傷了花草.（1）求這條“徑路”的長(zhǎng)；（2）他們僅僅少走了幾步(假設(shè)2步為1米)？解：(1)在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得∴這條“徑路”的長(zhǎng)為5米.（2）他們僅僅少走了

(3+4-5)×2=4(步).別踩我,我怕疼!ABCCBA問(wèn)題在A點(diǎn)的小狗，為了盡快吃到B點(diǎn)的香腸，它選擇AB路線，而不選擇A

CB路線，難道小狗也懂?dāng)?shù)學(xué)？AC+CB>AB（兩點(diǎn)之間線段最短）思考在立體圖形中，怎么尋找最短線路呢？利用勾股定理求最短距離二BAdABA'ABBAO想一想：螞蟻?zhàn)吣囊粭l路線最近？A'螞蟻A→B的路線問(wèn)題：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，螞蟻怎么走最近？BA根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短易知第四個(gè)路線最近.若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3.BA3O12側(cè)面展開圖123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得

立體圖形中求兩點(diǎn)間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線.歸納例5有一個(gè)圓柱形油罐，要以A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點(diǎn)的正上方點(diǎn)B處，問(wèn)梯子最短需多少米(已知油罐的底面半徑是2米，高AB是5米，π取3）?ABABA'B'解：油罐的展開圖如右圖，則AB'為梯子的最短距離.∵AA'=2×3×2=12,A'B'=5,∴AB'=13.即梯子最短需13米.數(shù)學(xué)思想：立體圖形平面圖形轉(zhuǎn)化展開B牛奶盒A【變式題】看到小螞蟻終于喝到飲料的興奮勁兒，小明靈光乍現(xiàn)，拿出了牛奶盒，把小螞蟻放在點(diǎn)A處，并在點(diǎn)B處放了點(diǎn)兒火腿腸粒，你能幫小螞蟻找出吃到火腿腸粒的最短路程么？6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=360，解：由題意知有三種展開方法，如圖.由勾股定理得∴AB1＜AB2＜AB3.∴小螞蟻吃到火腿腸的最短路程為AB1，長(zhǎng)為cm.例6如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？牧童A小屋BA′C東北解：如圖，作出點(diǎn)A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B,則A′B就是最短路程.由題意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.在Rt△A′CB中，由勾股定理得

求直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和的最短路程的方法：先找到其中一點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的線段就是最短路徑長(zhǎng)，以連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的線段為斜邊，構(gòu)造出直角三角形，再運(yùn)用勾股定理求最短路程.歸納如圖，是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方體硬紙盒，現(xiàn)在A處有一只螞蟻，想沿著正方體的外表面到達(dá)B處吃食物，求螞蟻爬行的最短距離是多少.AB解：由題意得AC=2，BC=1,在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=22+12=5∴AB=，即最短路程為.21ABC練一練1.從電線桿上離地面5m的C處向地面拉一條長(zhǎng)為7m的鋼纜，則地面鋼纜A到電線桿底部B的距離是（）A.24mB.12mC.mD.mD當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆的長(zhǎng)度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cmD3.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩棵對(duì)相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹梢，問(wèn)小鳥至少飛行多少？ABC解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BC于點(diǎn)C.由題意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，

答：小鳥至少飛行10米.4.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路的長(zhǎng)是多少？BAABC解：臺(tái)階的展開圖如圖，連接AB.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,∴AB=73cm.5.為籌備迎新晚會(huì)，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖.已知圓筒的高為108cm，其橫截面周長(zhǎng)為36cm，如果在表面均勻纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長(zhǎng)的油紙？能力提升：解：如右下圖，在Rt△ABC中，因?yàn)锳C＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm，所以整個(gè)油紙的長(zhǎng)為45×4＝180(cm)．課堂小結(jié)勾股定理的應(yīng)用用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題用勾股定理解決點(diǎn)的距離及路徑最短問(wèn)題1.2直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)八年級(jí)數(shù)學(xué)下（XJ）教學(xué)課件第3課時(shí)勾股定理的逆定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理的逆定理及勾股數(shù).（重點(diǎn)）2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是直角三角形.（難點(diǎn)）3.能夠運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題．（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課B

C

A

問(wèn)題1

勾股定理的內(nèi)容是什么?如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.bca問(wèn)題2

求以線段a、b為直角邊的直角三角形的斜邊c的長(zhǎng)：①

a＝3，b＝4；②

a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c=5c=6.5c=8.5復(fù)習(xí)引入思考

以前我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了通過(guò)角的關(guān)系來(lái)確定直角三角形，可不可以通過(guò)邊來(lái)確定直角三角形呢？

同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角的嗎?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）打13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段,然后以3段，4段，5段的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中最大的角便是直角.情景引入思考：從前面我們知道古埃及人認(rèn)為一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為3,4,5,那么這個(gè)三角形為直角三角形.按照這種做法真能得到一個(gè)直角三角形嗎?大禹治水相傳，我國(guó)古代的大禹在治水時(shí)也用了類似的方法確定直角.講授新課勾股定理的逆定理一下面有三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問(wèn)題

分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是下面有三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問(wèn)題2這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.問(wèn)題3古埃及人用來(lái)畫直角的三邊滿足這個(gè)等式嗎？因?yàn)?2+42=52，所以滿足.a2+b2=c2我覺得這個(gè)猜想不準(zhǔn)確，因?yàn)闇y(cè)量結(jié)果可能有誤差.我也覺得猜想不嚴(yán)謹(jǐn)，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.問(wèn)題3據(jù)此你有什么猜想呢?由上面幾個(gè)例子，我們猜想：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構(gòu)造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′證一證:證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.則ACaBbc勾股定理的逆定理:

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足

a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角.特別說(shuō)明：歸納總結(jié)

例1下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.

(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個(gè)三角形不是直角三角形.

根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方.歸納【變式題1】若△ABC的三邊a,b,c滿足

a:b:c=3:4:5，試判斷△ABC的形狀.解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),因?yàn)?3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,所以△ABC是直角三角形，且∠C是直角.

已知三角形三邊的比例關(guān)系判斷三角形形狀：先設(shè)出參數(shù)，表示出三條邊的長(zhǎng)，再用勾股定理的逆定理判斷其是否是直角三角形.如果三角形的三邊比中有兩個(gè)相同的數(shù)，那么該三角形還是等腰三角形.歸納【變式題2】(1)若△ABC的三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，試說(shuō)明△ABC是直角三角形.解：因?yàn)閍+b=4,ab=1,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又因?yàn)閏2=14,所以a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.(2)若△ABC的三邊a,b,c

滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.試判斷△ABC的形狀.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0.∴a=3,b=4,c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.例2如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE＝CB，試判斷AF與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．解：AF⊥EF.理由如下：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.練一練1.下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C2.一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是3，4，5，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高是（）A．4B．3C．2.5D．2.4D3.若△ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則△ABC是________________________.等腰三角形或直角三角形如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)二概念學(xué)習(xí)常見勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：

一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).

下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法點(diǎn)撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計(jì)算最長(zhǎng)邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.練一練12勾股定理的逆定理的應(yīng)用三例3

如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里,“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行,能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？NEP

QR問(wèn)題1

認(rèn)真審題，弄清已知是什么？要解決的問(wèn)題是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向、兩艘船一個(gè)半小時(shí)后的航程及距離已知，如圖.問(wèn)題2

由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線段長(zhǎng)，要求角，由此你聯(lián)想到了什么？實(shí)質(zhì)是要求出兩艘船的航向所成角.勾股定理逆定理解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.因?yàn)?42+182=302，即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行.

NEP

QR12

解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解.歸納【變式題】

如圖，南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時(shí)28分，我邊防反偷渡巡邏101號(hào)艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷?，便立即通知在PQ上B處巡邏的103號(hào)艇注意其動(dòng)向，經(jīng)檢測(cè)，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只的速度為12.8海里/時(shí)，則可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我領(lǐng)海？東北PABCQD

分析：根據(jù)勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.設(shè)PQ與AC相交于點(diǎn)D，根據(jù)三角形面積公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵該船只的速度為12.8海里/時(shí)，6.4÷12.8=0.5（小時(shí)）=30（分鐘），∴需要30分鐘進(jìn)入我領(lǐng)海，即最早晚上10時(shí)58分進(jìn)入我領(lǐng)海.東北PABCQD例4如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.解析：連接AC，把四邊形分成兩個(gè)三角形.先用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.ADBC341312解：連接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.所以S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.

四邊形問(wèn)題中，對(duì)角線是常用的輔助線，它把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的問(wèn)題.在使用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題時(shí)，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經(jīng)常配套使用.歸納【變式題1】

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－

AB?AD=(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD【變式題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA例5如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點(diǎn)，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面積．（1）證明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：設(shè)腰長(zhǎng)AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程的思想

1.A、B、C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．練一練2.如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫他檢驗(yàn)一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．當(dāng)堂練習(xí)1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，5將直角三角形的三邊長(zhǎng)擴(kuò)大同樣的倍數(shù),則得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形D.不可能是直角三角形BA3.已知a、b、c是△ABC三邊的長(zhǎng)，且滿足關(guān)系式，則△ABC的形狀是

________________．等腰直角三角形4.一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為15cm、20cm、25cm，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高是_______cm;125.已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n為大于1的正整數(shù)).試問(wèn)△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對(duì)的角是直角？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=AC2，∴△ABC是直角三角形，邊AC所對(duì)的角是直角.6.一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個(gè)零件各邊的尺寸如圖所示,這個(gè)