浙教版九年級數(shù)學(xué)下冊第1章解直角三角形

第1章解直角三角形1.1銳角三角函數(shù)1.1銳角三角函數(shù)（1）銳角三角函數(shù)的定義

直角三角形ABC可以簡記為Rt△ABC，你能說出各條邊的名稱嗎？┓C斜邊c鄰邊對邊abC┓AB

某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30°，高為7m，扶梯的長度是多少?BAC┓30°7m實(shí)際問題

在上面的問題中，如果高為10m，扶梯的長度是多少？

已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，計算∠A的對邊與斜邊的比，你能得出什么結(jié)論？ABC┓在Rt△ABC中,∠C＝90°．當(dāng)∠A＝30°時,當(dāng)∠A＝45°時,固定值固定值歸納

在直角三角形中，對于銳角A的每一個確定的值，其對邊與斜邊的比值也是唯一確定的嗎？想一想所以＝＝Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3所以，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比是一個固定值．觀察右圖中的Rt△AB1C1，Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的對邊與斜邊有什么關(guān)系？

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即一個角的正弦表示定值、比值、正值．知識要點(diǎn)正弦

在直角三角形中，

對于銳角A的每一個確定的值，其鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的嗎？想一想

在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比、∠A的鄰邊與斜邊的比、∠A的對邊與鄰邊的比都是一個固定值．歸納

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即一個角的余弦表示定值、比值、正值．知識要點(diǎn)余弦

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即一個角的余切表示定值、比值、正值．知識要點(diǎn)正切

銳角三角函數(shù)銳角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的銳角三角函數(shù)（trigonometricfunctionofacuteangle）知識要點(diǎn)1．sinA，cosA，tanA

是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)．

2．sinA，cosA，tanA

是一個比值（數(shù)值）．

3．sinA，cosA，tanA

的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān)．提示1、如圖1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.

∠P的對邊是_________,∠P的鄰邊是___________;

∠M的對邊是________,∠M的鄰邊是___________;2、設(shè)Rt△ABC，∠C＝90゜∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，a=5，c=13，求∠B的三個三角函數(shù)值.小練習(xí)在直角三角形中共有五個元素：邊a,b,c,銳角∠A,∠B.這五個元素之間有如下等量關(guān)系：ABCcab(1)三邊之間關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理)

(2)銳角之間關(guān)系：∠A+∠B=90°(3)邊角之間關(guān)系：1.1銳角三角函數(shù)（2）30°,45°,60°角的三角函數(shù)值在直角三角形中,若一個銳角確定,那么這個角的對邊,鄰邊和斜邊之間的比值也隨之確定.銳角三角函數(shù)的定義直角三角形中邊與角的關(guān)系:銳角三角函數(shù).bABCa┌c銳角A的正弦、余弦、和正切統(tǒng)稱∠A的三角函數(shù)如圖,觀察一副三角板:它們其中有幾個銳角?分別是多少度?(1)sin300等于多少?┌┌300600450450(2)cos300等于多少?(3)tan300等于多少?請與同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?做一做ABC30°12sin30°=cos30°=tan30°=23(4)sin450,sin600等于多少?

(5)cos450,cos600等于多少?(6)tan450,tan600等于多少?┌┌300600450450根據(jù)上面的計算,完成<特殊角的三角函數(shù)值表>老師期望:你能對伴隨九個學(xué)年的這副三角尺所具有的功能來個重新認(rèn)識和評價.ABC45°11sin45°=cos45°=tan45°=221做一做ACB60°12sin60°=cos60°=tan60°=2做一做特殊角的三角函數(shù)值表要能記住有多好三角函數(shù)銳角α正弦sinα余弦cosα正切tanα30°45°60°這張表還可以看出許多知識之間的內(nèi)在聯(lián)系?例1計算:(1)sin30°+cos45°;(2)sin260°+cos260°-tan45°.老師提示:sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2,其余類推.(1)sin600-cos450;(2)cos600+tan600;計算:練習(xí)例2

如圖,一個小孩蕩秋千,秋千鏈子的長度為2.5m,當(dāng)秋千向兩邊擺動時,擺角恰好為600,且兩邊擺動的角度相同,求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差(結(jié)果精確到0.01m).老師提示:將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化.ACOBD┌2.5例3一位同學(xué)的手臂長65cm，當(dāng)他高舉雙臂時，指尖高出頭頂35cm。問當(dāng)他的手臂與水平成角時，指尖高出頭頂多少厘米（精確到0.1cm）？老師期望:sin2A+cos2A=1它反映了同角之間的三角函數(shù)的關(guān)系,且它更具有靈活變換的特點(diǎn),若能予以掌握,則將有益于智力開發(fā).1.某商場有一自動扶梯,其傾斜角為300,高為7m,扶梯的長度是多少?2.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對邊分別是a,b,c.求證:sin2A+cos2A=1.bABCa┌c練習(xí)做一做已知∠A為銳角，且cosA=，你能求出∠A的度數(shù)嗎?2看圖說話:直角三角形三邊的關(guān)系.直角三角形兩銳角的關(guān)系.直角三角形邊與角之間的關(guān)系.特殊角300,450,600角的三角函數(shù)值.互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系.同角之間的三角函數(shù)關(guān)系bABCa┌c┌┌300600450450作業(yè)1.計算：(1)tan450-sin300;(2)cos600+sin450-tan300;2.如圖,河岸AD,BC互相平行,橋AB垂直于兩岸.橋長12m,在C處看橋兩端A,B,夾角∠BCA=600.求B,C間的距離(結(jié)果精確到1m).BCA┐D作業(yè)3.如圖,身高1.5m的小麗用一個兩銳角分別是300和600的三角尺測量一棵樹的高度.已知她與樹之間的距離為5m,那么這棵樹大約有多高?第1章解直角三角形1.2銳角三角函數(shù)的計算

1.2銳角三角函數(shù)的計算(1)

特殊角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinA

cos

AtanA

如圖，將一個Rt△ABC形狀的楔子從木樁的底端點(diǎn)P沿水平方向打入木樁底下，可以使木樁向上運(yùn)動，如果楔子斜面的傾斜角為10°，楔子沿水平方向前進(jìn)5cm（如箭頭所示），那么木樁上升多少厘米？四個鍵:sincostan°′″銳角三角函數(shù)的計算

∠

AsinAcos

AtanA

當(dāng)角度為銳角時，隨著角度的變化三角函數(shù)值的變化探究比大小(A)0＜cosA＜(B)＜cosA＜(C)＜cosA＜(D)＜cosA＜1°時，cosA的值（）☆試試你身手(估算）

當(dāng)銳角A=49混合計算例.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,已知AB=12cm，∠

A=35°.求△ABC的另兩邊長，周長和面積（周長精確到0.1cm，面積精確到0.1cm2）.BCA12cm1.2銳角三角函數(shù)的計算(2)∠A的對邊sinA=斜邊

AB

C∠A的對邊∠A的鄰邊斜邊回顧銳角三角函數(shù)cosA=∠A的鄰邊斜邊tanA=∠A的對邊∠A的鄰邊bABCa┌c互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系:sinA=cosB，tanA·tanB=1.同角之間的三角函數(shù)關(guān)系:sin2A+cos2A=1.tanA=ab特殊角30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.我們可以列表記憶：α0°30°45°60°90°sinαcosαtanα

01100不存在1☆

應(yīng)用練習(xí)1.已知角，求值確定值的范圍2.已知值，求角3.確定值的范圍1.當(dāng)銳角A>45°時，sinA的值（）(A)小于(B)大于(C)小于(D)大于B(A)小于(B)大于(C)小于(D)大于2.當(dāng)銳角A>30°時，cosA的值（）C☆

應(yīng)用練習(xí)1.已知角，求值確定角的范圍2.已知值，求角3.確定值的范圍(A)小于30°(B)大于30°(C)小于60°(D)大于60°3.當(dāng)∠A為銳角，且tanA的值大于時，∠A（）B4.確定角的范圍4.當(dāng)∠A為銳角，且tanA的值小于時，∠A（）(A)小于30°(B)大于30°(C)小于60°(D)大于60°C☆

應(yīng)用練習(xí)1.已知角，求值2.已知值，求角3.確定值的范圍5.當(dāng)∠A為銳角，且cosA=，那么（）4.確定角的范圍(A)0°＜∠A≤30°(B)30°＜∠A≤45°(C)45°＜∠A≤60°(D)60°＜∠A≤90°

確定角的范圍6.當(dāng)∠A為銳角，且sinA=，那么（）(A)0°＜∠A≤30°(B)30°＜∠A≤45°(C)45°＜∠A≤60°(D)60°＜∠A≤90°DA按鍵的順序顯示結(jié)果SHIFT20917.301507834sin·7=已知三角函數(shù)值求角度，要用到sin，cos，tan的第二功能鍵“sin-1

cos-1，tan-1”鍵例如：已知sinα=0.2974,求銳角α．按鍵順序?yàn)椋喝绻侔础岸确置腈I”就換算成度分秒，°′″即∠α=17°18′5.43″按鍵的順序顯示結(jié)果17°18′5.43″已知三角函數(shù)值求角度，要用到sin，cos，tan的第二功能鍵“sin-1,cos-1，tan-1”鍵，例如：已知sinα=0.2974,求銳角α．按鍵順序?yàn)椋杭础夕?17°18′5.43″2ndf2094sin·72ndfDMS例如,根據(jù)下面的條件，求銳角β的大小（精確到1″)(1)sinβ=0.4511；(2)cosβ=0.7857；(3)tanβ=1.4036（1）按鍵盤順序如下:按鍵的順序顯示結(jié)果DMS2ndfsin0.45112ndf26°48′51″即∠β=26°48′51″（其余自己算一算）例如圖,工件上有一V型槽，測得它的上口寬20mm，深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(結(jié)果精確到1°

).∴∠ACD≈27.5°

.∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°.∴V型角的大小約55°.第1章解直角三角形1.3解直角三角形本節(jié)課研究的問題是：如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題？

如何將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形中元素之間的關(guān)系解直角三角形？

解直角三角形的依據(jù)是什么？（1）三邊之間關(guān)系：勾股定理（2）銳角之間關(guān)系：兩個銳角互余（3）邊角之間關(guān)系：三角函數(shù)

引入什么是仰角、俯角？如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題？什么是坡度、坡比？如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題？

在進(jìn)行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；

從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.

在修路、挖河、開渠和筑壩時，設(shè)計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛垂高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即

坡度通常寫成1:m的形式，如i＝1:6．坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有

顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．＝

tanα．1、學(xué)生探究：在Rt△ABC中，若∠C=90°，問題1：兩銳角∠A、∠B的有什么關(guān)系？問題2：三邊a、b、c的關(guān)系如何？問題3：∠A與邊的關(guān)系是什么？2、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)運(yùn)用解直角三角形有下面兩種情況：（1）已知兩條邊求直角三角形中的其它元素；（2）已知一邊及一角求直角三角形中的其他元素.例1如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，大樹在折斷之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折斷后倒下部分的長度為13+5=18（米）.答：大樹在折斷之前高18米.5m12m例2如圖，在相距2000米的東、西兩座炮臺A、B處同時發(fā)現(xiàn)入侵?jǐn)撑濩，炮臺A測得敵艦C在它的南偏東40°的方向，炮臺B測得敵艦C在它的正南方，試求敵艦與兩炮臺的距離.（精確到1米）ADCB4002000例3如圖，為了測量旗桿的高度BC，在離旗桿底部10米的A處，用高1.50米的測角儀DA測得旗桿頂端C的仰角α=52°.求旗桿BC的高.

解：在Rt△CDE中，CE=DE×tanα=AB×tanα=10×tan52°≈12.80.BC=