組合數(shù)學(xué)作業(yè)答案

11第章業(yè)案7.明，對任意給的個，存在兩個整數(shù)，要么兩者的和能被100整，兩者的差能被100除。證用100分除個，得到余數(shù)必為1,…,這100個一。將余數(shù)是的數(shù)分為一組，余數(shù)是199的數(shù)分為一，…，余數(shù)是和51的為一組將余數(shù)是50的分為一。這樣，將這52個分成了51組。由鴿巢原理知道，存在兩個整數(shù)分在了同一組，設(shè)它們a。a和被100除數(shù)相同則a能100整。

a和100除數(shù)之和是100

能被整11.個學(xué)有37天準備考試。根據(jù)過去的經(jīng)驗，她知道需要不超過60時的學(xué)習(xí)時間。她還希望每天至少學(xué)1小。，無論她如何排她的學(xué)習(xí)時間（不過，每天都是整數(shù)個小時在的干天，在此期間她恰好學(xué)習(xí)了13小。證

設(shè)從第一天到第

i

天她共學(xué)習(xí)了a

i

小時。因為她每天至少學(xué)習(xí)1小，以a,a,a

和aa

都是嚴格單調(diào)遞增序列。因為總學(xué)習(xí)時間不超過60

小時，所以

60

，

a。a,a,a

,a2

是1和73之的74整數(shù)，由鴿巢原理知道，它們中存在相同的整數(shù)，有a

i

和

j

使得

ij

，

ij

，從第

j

天到第

i

天她恰好學(xué)習(xí)了小14.只袋裝了100個100個蕉100桔子和100梨。如果我每分鐘從袋里取出一個水果，那么需要多少時我就能肯定至少已拿出了1同種類的水果？解加強形式的鴿巢原理知道，如從袋子中取出

445

個水果，則能肯定至少已拿出12同種類的水果。因此，需要45分17.證：一群

n

個人中，存在兩個人，他們在這人中有相同數(shù)目的熟人（假設(shè)沒有人與她自己是熟人證因每個人都不是自己的熟人，所以每個人的熟人的數(shù)目是從0到n整數(shù)。若有兩個人的熟人的數(shù)目分別是和有人誰都不認識，有人認識所有的人，這是不可能的因這n個人的熟人的數(shù)目是之一兩個人有相同數(shù)目的熟人。第章業(yè)案6.多少使下列性同時成立的大于整數(shù)？(a)各數(shù)字互異。(b)字和不現(xiàn)。解為只能出現(xiàn)數(shù)字0,3,5,8,，以數(shù)位至為精品

7773573734①慮位數(shù)最位為，因此整數(shù)有②慮位數(shù)最位為，因此整數(shù)有③慮位數(shù)最位為，因此整數(shù)有④慮位數(shù)最位為，因此整數(shù)有

7(7,7)77(7,5)74)

個。個。個。個。⑤慮位。若千數(shù)字大于5，有

3(7,3)

個。若千位數(shù)字等于5則百位數(shù)字必須大于等于4，有

42)

個。根據(jù)加法原理，符合條件的整數(shù)個數(shù)為7(7,6)(7,4)(7,3)948308.15人坐個桌如B拒挨A，有多少種坐方式？如果只坐在A的右側(cè)，又有多少種圍坐方式？解15人一個圓桌有

14!

種圍坐方式。若

B

固定坐在

A

的左側(cè)，則可將

BA

看作一個整體，有

13!

種圍坐方式。若B固坐A的側(cè)則將

AB

看作一個整體，3!種圍坐方式。因此B不著A的圍坐方式有

113!

種，B坐在A的右側(cè)的圍坐方式有

113!

種。11.15個員集中人11個球員的球隊，其中5人能踢后衛(wèi)8人能踢邊衛(wèi)2既能踢后衛(wèi)又踢邊衛(wèi)。假設(shè)足球隊有7個邊衛(wèi)4人踢后，確定足球隊可能的組隊方法數(shù)。解甲和乙既能踢后衛(wèi)又能踢邊衛(wèi)若甲和乙均不入選，組隊方法數(shù)若甲和乙均入選，組隊方法數(shù)若甲入選且乙不入選，組隊方法若乙入選且甲不入選，組隊方法也因此，組隊方法數(shù)總共為精品

7747364

=

112021.位秘在距離家以東9街區(qū)、北7個的一座大樓工作天都要步行個街區(qū)去上班。(a)對來說可能有多少不同的路線？(b)果在他家以東4個3區(qū)開始向東方向的街區(qū)在水會游泳則有多少條不同的路線？解(a)用E向東步行1個區(qū)用N向北步行1個。因為秘書需要向東步行9個街區(qū)，向北步個街區(qū)，總共步行16個，因此他的上班路線是多重集?E,7?N}

的排列。這樣的排列的個數(shù)為

9!7!

11440(b)

若他從水下的街區(qū)走過，則他先走到離家以4個以北個的地方，向東走一個街區(qū)最走到工作的樓從走到離家以東4個區(qū)北3街區(qū)地方的路線的數(shù)目是多重集

{?E,3?N}

的排列數(shù)，即

4!3!

。他從

離家以東個街區(qū)、以北3個街區(qū)的地方走工作的大樓的路線的數(shù)目是多重集

{4?,4?N}

的排列數(shù)，即8!4!4!

70

。所以，如果他從水下的街區(qū)走，則他可能有的路線數(shù)是

35

。因此，如果他不從水下的街區(qū)走過則他可能有的路線數(shù)12450

。26.定多集

?a4?b,?c}

的列的個數(shù)。解S有個a，個，5c的排的數(shù)1!4!5!

1260

。S的有個，個，5c的排個為

10!3!

2520

。S

的有個

a

，

4個

b3

c

的排的數(shù)

10!3!

4200

。S的有個，3個，5c的排的數(shù)

10!3!

2520

。S

的有個

，

4個

，

4

c

的排的數(shù)

10!

3150

。精品

23n2(23n2(kknnkknnknnkkknkkS

的有個

a

3個

b

4個

c

10!的排的數(shù)4!3!

4200

。S

的列的個數(shù)為

420017850

。31.程xxx234

30

有多少滿足

的整數(shù)解？解行變量代換：x

，

x，

，

則方程變?yōu)閥y2534原方程滿足條件的解的個數(shù)等于方程的非負整數(shù)解的個數(shù)非整數(shù)解的個數(shù)為263第章業(yè)案8.二項式定理證n證由項式定理知道

(y)

令

x

，

y

得2

nn((kkkk18.和114nn11解1對意非負整數(shù)(k因此，精品

nnkkkknnnkkkknkkkk(11n1kkkkkn333323332

.11243n

k

(k

(kknk

(kkk1nn1((nknnk解2由項式定理知道)

n(兩邊分別求積分得

10

n(1)n0

n(dxk

(k

所以111320.整數(shù)b，得對所有的

mm求級數(shù)的2n

。解

c

。令，2所

c

。令

，c

。nnn1精品

422212k422212knk1212nkSn123122nnnn為，x為，29nnnnnnnn3932103

2)(nn(nnn(4!4

2．用組合學(xué)證方法，證明二項式系數(shù)的Vandermonde卷對所有的正整數(shù)m，m和，n作為特殊情形，推導(dǎo)恒等式5-11證設(shè)

AB

，

B

Bm|S|m

。我們可以從集合A中k元素從B中出n個素它合起來構(gòu)成

S的有個元素的子集為A的k個素集B的

個元素的mn子集有以的個的子個數(shù)knk37.()124解多項式定理知道

9

的展開式中xx的系數(shù)是什么？()34

x2x3434

令

233

為

x，

9，得到(xx)234

(x2x3232

(

因此，xx123

的系數(shù)是

42.牛頓項式定理近似計

1/

。解

3

0.25)精品

kk41/3323kk41/332313

11112114k316333664

1121210)2章業(yè)案3.出從到10000不是完全平方數(shù)也不是完全立方數(shù)的整數(shù)個數(shù)。解設(shè)

S

是從到10000的的集合，A

是從1到的平數(shù)的集合，A是1到10000完全方的集合。因為2

10000

，所以

A|100

。因為2110000，21

。因為一個整數(shù)既是完全平方數(shù)是完全立方數(shù)的充分必要條件是它完全六次方數(shù)10000156255

|AA41

。從到10000既是平方數(shù)也不是完全立方數(shù)的數(shù)個數(shù)A|(|A||)A26.包店出售巧克的、肉桂的和素的炸面包圈，并在一特定時刻6巧克力6肉桂和3個炸面包圈。如果個盒子裝個圈，那么可能有多少種不同的裝面包圈組合？解

用ac分示巧克力的、肉桂的和素的炸面包圈。本題要求的是多集??,3?}

的12-組的數(shù)設(shè)S為

*

?}

的所有12-組合的集合，|S|

。設(shè)*的有少7個a的組的集合，*的至少有7個b的合的集合，AT*的有至少有4個的12-組集合T

*

的5-組再加上7個a就一個至少有7a的12-合

T

*的至少有7個a12-組的數(shù)T

*

的組合的數(shù)，

A|

。同樣可得到|A|2

5

。

T

*

的至少有7a個的合個|AA12

*

的至少有個a個c組的個數(shù)

|A1

3

|

3

*的少7精品

b和4個c的12-合的個數(shù)

|A2

|

3

T*的至少有個個b和4個c的12-組合的個數(shù)

A2

0

。因此T的12-合的個數(shù)AA13

|A|)AAA221231291(219.定方程xx20滿足1x

，

0

，

4

，

2x的整數(shù)解的個數(shù)。解引變量

則方程xx20滿足1x0x，4的整數(shù)解的個數(shù)等于方程yy2滿足0y，0，0y，的整數(shù)解的個數(shù)。設(shè)

S

是方程yyy24

7

的所有非負整數(shù)解的集合，則

。設(shè)

為方程

yy2

的所有滿足

的非負整數(shù)解的集合，

為方程

yy2

的所有滿足

的非負整數(shù)解的集合，

為方程

yy24

的所有滿足

的非負整數(shù)解的集合，

為方程yyy24

7

的所有滿足

的非負整數(shù)解的集合，則

|

，精品

，

A|A|3

3

。若

ij

，則

ij

。因此，方程yy2滿足0y

，

0

，

0y

，

0的整數(shù)解的個數(shù)A||||120134124.六個攻擊型車放到具有如下所述禁止位置的6行6列盤的法是少(c)×××××××解禁置可分成兩個“獨立部分，左上角F

部分，包含個，右下角的

F

部分含3置r示把k個攻車都放在禁止位置的方法數(shù)

在

F部分的禁止位置放兩個非攻擊型，則有

6

種方法；若在F

部分的禁止位置放兩個非攻擊型車，則有1種法；若在F

部分和

F

部分的禁止位置各放一個非攻擊車，則有

種方法。因此r

。若在

F

部分的禁止位置放兩個非攻擊型車，在F

部分的禁止位置放一個非攻擊型，則有

18

種方法；若在F部的止位置放兩個非攻擊型車F

部分的禁止位置放一個非攻擊型

種方法；若在F

部分的禁止位置放三個非攻擊型，則有方法。因此

r

。若在F

部分的禁止位置放三個非攻擊型F部的禁止置放一個非攻擊型車

種方法；若F部和F部分的禁止位置各放兩個非攻擊型車，則

種方法。因此，r

。若在

F

部分的禁止位置放三個非攻擊型，在精品

.F

部分的禁止位置放兩個非攻擊型，則有種，

r

。把六個非攻擊型車放到具有上述禁止位置的6行6盤上的方法數(shù)是6!

5!

4!

3!

72012026.算

{2,3,4,6}

的排列iiiiii4

的個數(shù)，其中i

；

i

；

i

；

i6

以及

i

。解所的排列個數(shù)等于把六非攻擊型車放到具有如下所述禁止位置的行6棋盤上的方法數(shù)?！痢痢?/p>

×××

××禁放位置可分成兩個“獨立”部，左上角F

部分，包含5位置，右角的F部包含個。用r

表示把

k

個非攻擊型車都放在禁止位置的法數(shù)。

r

。若在

F

部分的禁止位置放兩個非攻擊型車則有4方法；若在F

部分的禁止位置放兩個非攻擊型車2法F部分和F部的止各放一個非攻擊型車

20種方法，r

若

F

部分的禁止位置放兩個非攻擊型

F

部分的禁止位置放一個非攻擊型車則有

種方法；若在F

部分的禁止位置放兩個非攻擊型車，在F

部分的禁止位置放一個非攻擊型，則有

種方法。因此，r。F部F部禁止位置各放兩個非攻擊型車，則有

種方法。因此，

r

。

r

。把六個非攻擊型車放到具有上禁止位置的6行棋盤上的方法數(shù)是6!

5!

4!

3!

26124精品

881245n22nknknk27.

8

.個女孩圍坐在旋轉(zhuǎn)木馬上。她們以有多少種方法改變座位，使得每個女孩前面的女孩都與原先的不同？解令

S

為

{2,3,4,5,6,7,8}

的全部

7!

個循環(huán)排列的集合，i

為出現(xiàn)模式

i(i

的循環(huán)排列的集合（

1

為出現(xiàn)模式

81

的循環(huán)排列的集合。若

1k

且

i

,i

是集合

{2,3,4,5,6,7,8}

中的不同整數(shù)Aii1k

(7)!

i

Ai

，AA|1625她們可以有

1625

種方法改變座位。第章業(yè)案1.fff1

表示斐波那契序列。通過用小的

n

值為下列每一個表達式賦值，猜一般公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法和波那契遞歸證明之。（c）ff0

n（d）ff01

2n解

對于小的n值列出f

和

(f

k

的值如下。kn012

3

4

5

6

78f

0

1

123581321

(f

k

0

0

1

4

12k猜測：k(f

若n若n當n，f

0

，結(jié)論成立。當時f0

1

，結(jié)論成立。精品

nknknnn22222222nknknnn22222222225x2nn設(shè)n且

ffkn

1

，則kn

(fk

(fk

n

ffnn

n

f

nk

k

n

ffn

n

n

(d)

對于小的n值列出f

和

2值如下。kknf0

01

11

22

33

45

58

67813212kk

01261540104273714猜測：ffff01n當

時，fff0

，結(jié)論成立。設(shè)fff01n

，則fffffff(fff01nnnnn14.

求解初始值h

0

，

h

，

h

和

h

的遞推關(guān)系hhhnn

n解特程為x

4x

8

0

。因為(32

，所以

是該方程的一個根。xx4x3xxxxx

(x

6

(x

(x

1)

1)

(x

8)(x

1)因此，一般解為

(2n234

n（n

14

精品

2nnnn2nnnnnnnn（n）

2c23

.1（n

4c1634

1（

）

824c4

2解該方程組得到

1

827

2

772

3

124

4

827因此，

18.解非次遞推關(guān)系n

n

（nh解應(yīng)齊次遞推關(guān)系的特征方程為

的根為4非齊次遞推關(guān)系的特解為，22，

，因此

。該非齊次遞推關(guān)系的一般解為4n

n

。令

，得

c

，解得

c

。因此，h。n26.解非次遞推關(guān)系hn

n

（）解一對次遞推關(guān)系的特征方程

h

的根為該次遞推關(guān)系的特解為pn4，4(，

。該非齊次遞推關(guān)系的一般解為hn

。令

，得

c

。因此，

nn

n

。解二該的生成函數(shù)g(x)

xnn

。(1x)g()x

hxnxnn

4n

nn

n

nhx4hx(h)x0nn

nn

n4x4x40nn精品

11

1xnnnn2n22231xnnnn2n2223nn(n2nnn2n2g()

.12211(1)

4x(n

(3)4xnn因此，n

n

。30.定蘋梨的袋裝水果的袋h

的生成函數(shù)各有偶數(shù)蘋果，最多兩個桔子的數(shù)蕉，最多一個梨。然后從該成函數(shù)求h解成函數(shù)g(x)x)n

的公式。

)(1)

1(1)

2

xn

n因此，

h

。32.h,,h,,1n

是由

n

列（

0

該的生成函數(shù)。解

n

11兩邊求導(dǎo)數(shù)得到

n

1(1

2兩邊再求導(dǎo)數(shù)得到

n

n(

2(1

3兩邊乘到2

2n

x(1)

3因此，該序列的生成函數(shù)g(x)hxn

n

n(n2

x

x(1)

332.h,,h,,1n

是由

n

數(shù)生成函數(shù)。精品

nxnn!x1x1xxe2xx22()(e)(nxnn!x1x1xxe2xx22()(e)(exee3x2xn4xnnnnnnnnnnn解序列的指數(shù)生成函數(shù)g

()

()n!n

2n!!n

nx2!(n2)!!2(2!2!nnnn41.定所的數(shù)字至少是4的n位個數(shù)，其中46個都出現(xiàn)偶數(shù)次5和7個至少出現(xiàn)1次對于數(shù)字8和9則限。解

為滿足條件的n位的個數(shù)，序

h,,h,指數(shù)生成函數(shù)是

g

2422(x((e)2!2!3!2!2xxx(e46xxee4

2

14

n

6xn!

n

5xn!4

nnn!n

n

3xn!4

n

2xn!

n

xn!

n

6x4!因此，n第章業(yè)案

nn1.在圓上選擇2n個等間隔的）點。證明這些點成對連接起來所得到n條不相交的方法數(shù)等于第nCatalanC

。證設(shè)

為將圓上的2個成連起得n條相交線段的方法數(shù)。我證明序列h,,h,12

與Catalan數(shù)

C滿足同樣的遞推關(guān)系和初始條件。精品

nn2513k設(shè)圓上的

2

個點順時針依次排列為a,,a1

n

連接線段

aa則左邊和右邊的點不能相互連接，那樣aa交。aa邊的點的數(shù)目和它右的點的數(shù)目都應(yīng)當是偶數(shù)，即k奇數(shù)。若a邊的點的數(shù)目是i，a右的點的0數(shù)目就是

2)

k從1變

從0變nh,12滿足遞推關(guān)系hhh0n1令g

，則

7.6.1知序列g(shù)

g,2

滿足遞推關(guān)系gggg2n因此，CggCCC1n1n10又有h

列

h,,h,與數(shù)列

C滿同的推系和初始條件。8.前個的五次冪的和。解算序列