針對二項分布及超幾何分布問題區(qū)別舉例

精選文檔精選文檔PAGE精選文檔關(guān)于“二項分布”與“超幾何分布”

問題舉例

一．基本看法

超幾何分布

一般地，在含有M件次品的N

件產(chǎn)品中，任取n件，此中恰有X件

次品，則事件X=k發(fā)生的概率為：

P(X=k)=CMkCnNnkM,k=0,1,2,3,,m；CN此中，m=minM,n,且nN,MN.n,M,NN為超幾何分布；如

果一個變量X的分布列為超幾何分

布列，則稱隨幾變量X依照超幾何分

M布.此中，EX=nN

二項分布在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為P,那么在n次獨

立重復(fù)試中，事件A恰好發(fā)生

概率為：

P(X=k)=

kkn-k(k=0,1,2,3,,n),Cnp(1-p)

次的

此時

稱隨機變量X依照二項分布.

記作：XB(n,p),EX=np

“二項分布”與“超幾何分布”的聯(lián)系與差別

“二項分布”所滿足的條件

每次試驗中，事件發(fā)生的概率

是同樣的；是一種放回抽樣.各次

試驗中的事件是互相獨立的；每次

試驗只有兩種結(jié)果，事件要么發(fā)生，

要么不發(fā)生；隨機變量是這n次獨

立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù).

“超幾何分布”的實質(zhì)：在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率不同樣樣，是不放回抽樣，“當(dāng)樣本容量很大時，超幾何分布近似于二項分布;

“二項分布”和“超幾何分布”是兩種不同樣樣的分布，但其希望是相等的.即：把一個分布看作是“二項分布”或“超幾何分布”時，它們的希望是同樣的.事實上，關(guān)于“超幾何

分布”中,若p=,則EX=i1kCNnnk=MnkCMCNMNMN.“超幾何分布”和“二項分布”

的這類“巧合”，使得“超幾何分布”希望的計算大簡化.

共同點：每次試驗只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗。

不同樣樣點：1、超幾何分布是不放回抽取，二項分布是放回抽??；

2、超幾何分布需要知道整體

的容量，二項分布不需要知道整體容

量，但需要知道“成功率”；

聯(lián)系：當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時，超幾何

分布近似于二項分布。

所以，二項分布模型和超幾何分布

模型最主要的差別在于是有放回抽

樣還是不放回抽樣．所以，在解有關(guān)二項分布和超幾何分布問題時，仔細(xì)閱讀、辨析題目條件是特別重要的．二．典型例題

例1：袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1

個球．求：

1）有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Ｘ的分布列；

2）不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Ｙ的分布列．

解：（1）有放回抽樣時，取到的黑球

數(shù)Ｘ可能的取值為０，1，2，3．又

因為每次取到黑球的概率均為1，3次5

取球可以看作3次獨立重復(fù)試驗，則5．1，X~B3043；∴01640)C3P(X5512512；P(X1)C3114485512521；P(X2)C3214125512530．P(X3)C3314155125

所以，X的分布列為

X0123

6448121P125125125125

（2）．不放回抽樣時，取到的黑球數(shù)

Ｙ可能的取值為０，1，2，且有：

P(Y0)C20C837；P(Y1)C21C827；P(Y2)C22C811．C10315C10315C10315

所以，Y的分布列為

012

771P151515例2.在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，

4件二等品，3件三等品，從這10件

產(chǎn)品中任取3件，求：

拿出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率.

記：X表示“拿出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的

數(shù)目”，求X的分布列并求EX;

剖析：由題可知：從10件產(chǎn)品

中分別任取兩次獲得“一等品”或“二

等品”的概率是不相等的，所以是一

種不放回抽樣;隨機變量X依照超幾

何分布.

解：(1)記A1：拿出3件一等品；A2：拿出2件一等品；A3：拿出1件

一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，

1C312C2C1P(A)=3,P(A)=373=1203C10C107=40,C1C23P(A3)=37;所以，P=3=40C1012)+P(A331P(A)+P(A)=120.(2)X=0，1，2，3;X依照超幾何分布，

所以P(X=0)=P(一件一等品，一件

二等品，一件三等品)=C31C41C31=3;C10310P(X=1)=P（二件一等品，一件二等

品）=C32C341=1;C1010P(X=2)=P(三件一等品，一件二等

品)=C33C41=1;C33010P(X=3)=P（三件一等品，部件二

等品）=C33C340=1;120C10nM33EX=N=10=說明：防備錯誤地以為隨機變量X

31依照二項分布，即：XB(3,120).

例3.從某高中學(xué)校隨機抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)檢查獲得每位學(xué)生的視

力，此中“好視力”4人,以這16人的樣本數(shù)據(jù)來預(yù)計整個學(xué)校的整體

數(shù)據(jù)，若從該校（人數(shù)很多）任選3人，記X表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)希望.

剖析：本題就是從“該校（人數(shù)很多）任選3人”，由此獲得“好視力”人數(shù)X，若每次從該校任取一名學(xué)生為“好視力”這一事件的概率明顯是相等的，因為該?！叭藬?shù)很多”相當(dāng)于“有放回抽樣”，所以，隨機變量X依照“二項分布”而不是“超幾何分布”.

解：由題可知：X=0,1,2,3；由樣本預(yù)計整體，每次任取一人為“好

41視力”的概率為：P=16=4，則1010XB(3,4);P(X=0)=C3(4)(1-1)3-0=27;464

1(111)3-1=P(X=1)=C34)(1-427;P(X=2)=2(1)2(1-1)3-2=64C443

964;3(131)3-3=P(X=3)=C)(1-34411364;EX=3×4=4.說明：假設(shè)問題變