分子動理學(xué)理論的平衡態(tài)理論

分子動理學(xué)理論的平衡態(tài)理論第1頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.1分子動理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)

分子動理論方法的主要特點(diǎn):考慮到分子與分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞，考慮到分子間有相互作用力，利用力學(xué)定律和概率論來討論分子運(yùn)動分子碰撞的詳情。它的最終及最高目標(biāo)是描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過程。第2頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四分子動理論:分子運(yùn)動學(xué)+分子動力學(xué)熱力學(xué)對不可逆過程所能敘述的僅是孤立體系的熵的增加，而分子動理論則企圖能進(jìn)而敘述一個(gè)非平衡態(tài)氣體的演變過程。諸如：①分子由容器上的小孔逸出所產(chǎn)生的瀉流；②動量較高的分子越過某平面與動量較低的分子混合所產(chǎn)生的與黏性有關(guān)的分子運(yùn)動過程；③動能較大的分子越過某平面，與動能較小的分子混合所產(chǎn)生的與熱傳導(dǎo)有關(guān)的過程；④一種分子越過某平面與其他種分子混合的擴(kuò)散過程；⑤流體中懸浮的微粒受到從各方向來的分子的不均等沖擊力，使微粒作雜亂無章的布朗運(yùn)動；⑥兩種或兩種以上分子間以一定的時(shí)間變化率進(jìn)行的化學(xué)結(jié)合，稱為化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)。第3頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

特點(diǎn):1.氣體分子動理論在處理復(fù)雜的非平衡態(tài)系統(tǒng)時(shí)，都要加上一些近似假設(shè)。2.由于微觀模型細(xì)致程度不同，理論的近似程度也就不同，對于同一問題可給出不同理論深度的解釋。微觀模型考慮得越細(xì)致，越接近真實(shí)，數(shù)學(xué)處理也越復(fù)雜。3.重點(diǎn)應(yīng)掌握基本物理概念、處理問題的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理論的重要基礎(chǔ)——基本實(shí)驗(yàn)事實(shí)。4.在某些問題（特別是一些非平衡態(tài)問題）中可暫不去追究理論的十分嚴(yán)密與結(jié)果的十分精確。因?yàn)橄喈?dāng)簡單的例子中常常包含基本物理方法中的精華，它常常能解決概念上的困難并能指出新的計(jì)算步驟及近似方法。第4頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.2概率論的基本知識

§2.2.1伽爾頓板實(shí)驗(yàn)

解決問題的關(guān)鍵：分子按速率的概率分布律第5頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

1.只要小球總數(shù)足夠多（N

→∞，則每一小槽內(nèi)都有小球落入，且第i個(gè)槽內(nèi)小球數(shù)Ni與小球總數(shù)N（N=∑Ni）之比有一定的分布。2.若重復(fù)做實(shí)驗(yàn)甚至用同一小球投入漏斗N次（N

→∞），其分布曲線都相同。說明1.統(tǒng)計(jì)規(guī)律：單個(gè)小球的運(yùn)動服從力學(xué)規(guī)律，大量小球按槽的分布服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律.2.漲落：漲落現(xiàn)象是統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本特征之一結(jié)論第6頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.2.2等概率性與概率的基本性質(zhì)

一.概率的定義在一定條件下，如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，我們就稱這樣的事件為隨機(jī)事件。若在相同條件下重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)試驗(yàn)（如擲骰子），在總次數(shù)N足夠多的情況下（即N→∞），計(jì)算所出現(xiàn)某一事件（如哪一面向上）的次數(shù)NL，則其百分比即該事件出現(xiàn)的概率

第7頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四二.等概率性等概率性原理：在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)概率更大些（或更小些）情況下，每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等。第8頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四（2）相乘法則:例:把一個(gè)骰子連續(xù)擲兩次三.概率的基本性質(zhì)（1）相加法則:n個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)事件發(fā)生概率之和.同時(shí)或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（沒有關(guān)聯(lián),獨(dú)立）的事件發(fā)生的概率等于各個(gè)事件概率之乘積(3)概率歸一化:

互相排斥(簡稱互斥)的事件:An個(gè)事件，出現(xiàn)事件Al，就不可能同時(shí)出現(xiàn)事件A2，A3,…An?；ゲ幌嚓P(guān)事件(獨(dú)立事件):事件A的發(fā)生與否，不會因B事件是否已經(jīng)發(fā)生過而受到影響.第9頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.2.3平均值及其運(yùn)算法則

統(tǒng)計(jì)分布的最直接的應(yīng)用是求平均值。求年齡之和可以將人按年齡分組，設(shè)ui為隨機(jī)變量（例如年齡），其中出現(xiàn)（年齡）u1值的次（或人）數(shù)為N1，u2值的次（或人）數(shù)為N2……，則該隨機(jī)變量（年齡）的平均值為因?yàn)槭浅霈F(xiàn)ui值的百分比，當(dāng)N時(shí)它就是出現(xiàn)ui值的概率Pi，故一、

平均值第10頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四(2)（3）若C為常數(shù)，則(4)若隨機(jī)變量u和隨機(jī)變量v是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。f(u)又是u的某一函數(shù)，g（v）是v的另一函數(shù)，則以上討論的各種概率都是歸一化的，即

(1)設(shè)f（u）是隨機(jī)變量u的函數(shù)，則二、平均值的運(yùn)算法則注意第11頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.2.4均方偏差

隨機(jī)變量會偏離平均值，即。一般其偏離值的平均值為零（即)，但均方偏差不為零。因?yàn)椤?，所以定義相對均方根偏差

相對均方根偏差表示了隨機(jī)變量在平均值附近分散開的程度，也稱為漲落、散度或散差。第12頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.2.5概率分布函數(shù)

v到v+dv的概率分布有關(guān)打靶試驗(yàn)的例子:飛鏢第13頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

圖（a）直角坐標(biāo)表示靶板上的分布；圖（b）極坐標(biāo)表示其分布

只要數(shù)出在x到x+⊿x范圍內(nèi)的那條窄條中的黑點(diǎn)數(shù)⊿N，把它除以靶板上總的黑點(diǎn)數(shù)N（N應(yīng)該足夠大），則其百分比就是黑點(diǎn)處于x~x+Δx范圍內(nèi)這一窄條的概率。第14頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

然后以為縱坐標(biāo)，以x為橫坐標(biāo)，畫出圖.若令⊿x→0，就得到一條連續(xù)曲線。

這時(shí)的縱坐標(biāo)稱為黑點(diǎn)沿x方向分布的概率密度，表示黑點(diǎn)沿x方向的相對密集程度。而f(x)dx表示處于x到x+dx范圍內(nèi)的概率。在曲線中x~x+dx微小線段下的面積則表示黑點(diǎn)處于x~x+dx范圍內(nèi)的概率位置處于x1到x2范圍內(nèi)的概率

(歸一條件)第15頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四類似地可求出并令可得到黑點(diǎn)處于y~y+dy范圍內(nèi)的概率為f(y)dy。黑點(diǎn)處于x~x+dx，y~y+dy范圍內(nèi)的概率就是圖中打上斜線的范圍內(nèi)的黑點(diǎn)數(shù)與總黑點(diǎn)數(shù)之比。根據(jù)概率相乘法則，粒子處于該面積上的概率為第16頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

概率密度分布函數(shù):若要求出處于x1~x2、y1~y2范圍內(nèi)的概率，只要對x、y積分1.平均值：黑點(diǎn)的x方向坐標(biāo)偏離靶心（x=0）的平均值x的某一函數(shù)的平均值

說明第17頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2.極坐標(biāo)表示考慮對稱性drr~r+dr小圓環(huán)內(nèi)的dN第18頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.3.1分子射線束實(shí)驗(yàn)

1.分子束中能穿過第一個(gè)凹槽的分子一般穿不過第二個(gè)凹槽，除非它的速率v滿足如下關(guān)系

測量原理通過改變角速度ω的大小，選擇速率v

§2.3麥克斯韋速率分布

第19頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3.以為縱坐標(biāo)（其中N是單位時(shí)間內(nèi)穿過第一個(gè)圓盤上的凹槽的總分子數(shù)），以分子的速率v為橫坐標(biāo)作一圖形，如圖所示。2.通過細(xì)槽的寬度，選擇不同的速率區(qū)間4.當(dāng)Δv→0時(shí)，即得圖（b）所示的一條光滑的曲線，稱為分子束速率分布曲線。第20頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四5.在v到v+dv速率區(qū)間內(nèi)的細(xì)長條的面積就表示分子速率介于v~v+dv區(qū)間范圍內(nèi)的概率

意義：分布在速率v

附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)比率第21頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.3.2麥克斯韋速率分布

一.氣體分子速率分布不同于分子束中分子的速率分布?xì)怏w分子的速率分布與分子束速率分布不同,但它們存在一定關(guān)系，故可利用實(shí)驗(yàn)測得的曲線求得理想氣體速率分布。第22頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四二.麥克斯韋速率分布定律(麥克斯韋速率分布概率密度

)m為分子質(zhì)量，T為氣體熱力學(xué)溫度，

k為玻耳茲曼常量k=1.38×10-23J/K1.麥克斯韋速率分布定律這一規(guī)律稱為麥克斯韋速率分布定律說明(1)從統(tǒng)計(jì)的概念來看講速率恰好等于某一值的分子數(shù)多少，是沒有意義的。(2)麥克斯韋速率分布定律對處于平衡態(tài)下的混合氣體的各組分分別適用。第23頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2.麥克斯韋速率分布曲線f(v)vOv(速率分布曲線)(1)由圖可見，氣體中速率很小、速率很大的分子數(shù)都很少。

(2)在dv間隔內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v～v+dv

中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v＋dv··(3)在v1~v2區(qū)間內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v1~v2之間的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v1v2T第24頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四vOT(速率分布曲線)(4)曲線下面的總面積，等于分布在整個(gè)速率范圍內(nèi)所有各個(gè)速率間隔中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率的總和最概然速率vp

f(v)出現(xiàn)極大值時(shí),所對應(yīng)的速率稱為最概然速率

(5)(歸一化條件)f(v)第25頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四①m

一定,T越大,這時(shí)曲線向右移動②T一定,

m

越大,這時(shí)曲線向左移動vp越大,vp越小,T1f(v)vOT2(>T1)m1f(v)vOm2(>m1)由于曲線下的面積不變,由此可見

不同氣體,不同溫度下的速率分布曲線的關(guān)系(6)第26頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四三.分子速率的三種統(tǒng)計(jì)平均值

1.平均速率式中Mm

為氣體的摩爾質(zhì)量，R為摩爾氣體常量是否表示在v1~v2區(qū)間內(nèi)的平均速率？思考：

第27頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2.方均根速率理想氣體狀態(tài)方程第28頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3.最概然速率

氣體在一定溫度下分布在最概然速率附近單位速率間隔內(nèi)的相對分子數(shù)最多。物理意義第29頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四T一般三種速率用途各不相同

（2）在計(jì)算分子平均自由程、氣體分子碰壁數(shù)及氣體分子之間碰撞頻率時(shí)則用到平均速率說明（3）討論分子的平均平動動能用方均根速率（1）在討論速率分布，比較兩種不同溫度或不同分子質(zhì)量的氣體的分布曲線時(shí)常用到最概然速率f(v)vO第30頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四同一種氣體分子的三種速率的大小關(guān)系:2、三種速率的比較

N2分子在不同溫度下的速率分布同一溫度下不同氣體的速率分布第31頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四例2.3.1試求氮分子及氫分子在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的平均速率。解（1）氮分子平均速率

（2）氫分子平均速率

●以上計(jì)算表明，除很輕的元素如氫、氦之外，其它氣體的平均速率一般為數(shù)百米的數(shù)量級

第32頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四(1)試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，氦氣的速率分布曲線如圖所示.解例2.3.2求(2)氫氣在該溫度時(shí)的最概然速率和方均根速率O第33頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四例2.3.3根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度成反比(設(shè)Δv

很小)f(v)vO第34頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四例2.3.4在溫度為300K時(shí)，空氣中速率在(1)vp附近；(2)10vp附近，速率區(qū)間Δv＝1m/s

內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的比率是多少？第35頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四例2.3.5金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運(yùn)動，與容器中的氣體分子很類似。設(shè)金屬中共有N個(gè)電子，其中電子的最大速率為v

m,設(shè)電子速率分布函數(shù)為式中A

為常數(shù)。求該電子氣的平均速率。第36頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四例2.3.6有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子數(shù)求O第37頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四例2.3.7氣體分子按平動動能的分布規(guī)律思考最概然平動動能是否等于最概然速率所對應(yīng)的平動動能?第38頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.4麥克斯韋速度分布

§2.4.1速度空間一、速度矢量、速度空間中的代表點(diǎn)要描述氣體分子的速度大小和方向，需引入速度矢量這一概念，速度矢量的方向和大小恰與此瞬時(shí)該分子速度的大小、方向一致。一個(gè)分子僅有一個(gè)速度矢量。

第39頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四(1)速度空間中的代表點(diǎn)把分子的速度矢量沿x、y、z方向的投影vx、vy、vz作直角坐標(biāo)圖，且把所有分子速度矢量的起始點(diǎn)都平移到公共原點(diǎn)O上。平移后，僅以矢量的箭頭端點(diǎn)的點(diǎn)來表示這一矢量，而把矢量符號抹去。這樣的點(diǎn)稱為代表點(diǎn)。如圖的P點(diǎn)所示。

第40頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

(2)以直角坐標(biāo)表示的速度空間

以速度分量vx、vy、vz為坐標(biāo)軸,以從原點(diǎn)向代表點(diǎn)所引矢量來表示分子速度方向和大小的坐標(biāo)稱為速度空間。二、速度空間中代表點(diǎn)的分布

若把某一瞬時(shí)所有分子所對應(yīng)的速度矢量代表點(diǎn)都標(biāo)在速度空間中，就構(gòu)成代表點(diǎn)在速度空間中的一種分布圖形。第41頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四速度空間中的代表點(diǎn)分布與前面介紹過的靶板上的靶點(diǎn)分布圖十分類似：靶點(diǎn)位于x~x+dx，y~y+dy范圍內(nèi)的概率是以f（x，y）dxdy來表示的，其中dxdy為這一區(qū)域大小，f（x，y）是黑點(diǎn)的概率密度。第42頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四微分元中的代表點(diǎn)的數(shù)目dN（vx、vy、vz）坐標(biāo)為vx、vy、vz處的麥克斯韋速度分布概率密度速度在vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz區(qū)間分子的概率:第43頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四介于之間的分子數(shù)

有限速度區(qū)間的分子數(shù)

實(shí)際上獨(dú)立事件概率相乘其中i可分別代表x、y、z。第44頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

§2.4.2麥克斯韋速度分布（Maxwellvelocitydistribution）

因?yàn)辂溈怂鬼f速度分布有第45頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

若系統(tǒng)總分子數(shù)為N，欲求分子速度的x分量在vx~vx+dvx內(nèi)而vy、、vz任意的分子數(shù)dN(vx),可對vy、vz積分后求出：利用定積分公式可知上式中的兩個(gè)積分都是1，故第46頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四概率分布曲線如圖所示：它對稱于縱軸，圖中打上斜線的狹條的面積即*由于麥克斯韋在導(dǎo)出麥克斯韋速度分布律過程中沒有考慮到氣體分子間的相互作用，故這一速度分布律一般適用于平衡態(tài)的理想氣體。第47頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四*§2.4.3相對于vp

的（麥克斯韋）速度分量分布與速率分布誤差函數(shù)

一、相對于vp的速度分量（麥克斯韋）分布

令相對于最概然速率的速度分量分布第48頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

若要求出分子速度x方向分量小于某一vx數(shù)值的分子數(shù)所占的比率，則可對上式積分在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義下式為誤差函數(shù)，以erf（x）表示誤差函數(shù)有表可查，如表第49頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四例2.4.1

試求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氮?dú)夥肿铀俣鹊膞分量小于800m·s-1的分子數(shù)占全部分子數(shù)的百分比。解首先求出273K時(shí)氮?dú)夥肿樱栙|(zhì)量Mm=0.028kg）的最概然速率查得erf（2）=0.995，故這種分子所占百分比為=49.8%這么小?第50頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四二、相對于vp的麥克斯韋速率分布若令，可將麥克斯韋速率分布表示為

再利用誤差函數(shù)可求得在0~v范圍內(nèi)的分子數(shù)第51頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四考慮對稱性drr~r+dr小圓環(huán)內(nèi)的dN§2.4.4從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布

一、以極坐標(biāo)表示的射擊點(diǎn)分布第52頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

二、氣體分子的速率分布

對于麥克斯韋速度分布，則在速度空間中，所有分子速率介于v~v+dv

范圍內(nèi)的分子的代表點(diǎn)應(yīng)該都落在以O(shè)原點(diǎn)為球心，v

半徑，厚度為dv的一薄層球殼中根據(jù)分子混沌性假設(shè)，代表點(diǎn)的數(shù)密度是球?qū)ΨQ的。在球殼內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)dN設(shè)代表點(diǎn)的數(shù)密度為:第53頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四麥克斯韋速度分布代入這就是麥克斯韋速率分布.

第54頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四物理意義?例2.4.2第55頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.5氣體分子碰壁數(shù)及其應(yīng)用

前面已用最簡單的方法導(dǎo)出了單位時(shí)間內(nèi)碰撞在單位面積器壁上的平均分子數(shù)的近似公式第56頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.5.1由麥克斯韋速度分布導(dǎo)出氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強(qiáng)公式一.的證明

若容器內(nèi)裝有分子數(shù)密度為n的理想氣體。內(nèi)壁上有一dA的面積元。

現(xiàn)以dA的中心O為原點(diǎn)，畫出一直角坐標(biāo)，其x軸垂直于dA面元。

為了表示容器內(nèi)氣體分子的速度方向，還引入一個(gè)速度坐標(biāo)。速度坐標(biāo)的方向正好與以O(shè)為原點(diǎn)的位置坐標(biāo)方向相反。第57頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四在容器中處于位置坐標(biāo)為x=vxdt，y=vydt，z=vzdt的B點(diǎn)附近的小體積內(nèi)的氣體，只要其速度在vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz范圍內(nèi)的分子，在dt時(shí)間內(nèi)均可運(yùn)動到dA面元之相碰。

只有在以dA為底、vxdt為高，其母線與BO直線平行的斜柱體中的所有速度的分子，在dt時(shí)間內(nèi)均會與dA碰撞.

這些碰撞分子的總數(shù)等于單位體積內(nèi)速度在范圍內(nèi)的分子數(shù)與斜柱體體積的乘積.第58頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四dt時(shí)間內(nèi)，速度分量在vx~vx+dvx，-∞＜vy＜∞，-∞＜vz＜∞范圍內(nèi)的，碰撞在dA面元上的分子數(shù)

若要求出dt

時(shí)間內(nèi)碰撞在dA面元上所有各種速度分子的總數(shù)N′則還應(yīng)對vx積分:vx>0第59頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四其中為麥克斯韋分布的平均速率。單位時(shí)間內(nèi)碰在單位面積上總分子數(shù)為第60頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

二.氣體壓強(qiáng)公式

氣體壓強(qiáng)是在單位時(shí)間內(nèi)大多數(shù)氣體分子碰撞器壁而施于單位面積器壁的平均沖量。

一個(gè)速度分量為vx、vy、vz的分子，對圖中面元dA作完全彈性碰撞時(shí)將施予器壁2mvx的沖量，而與vy、vz

的大小無關(guān).

若在dt時(shí)間內(nèi)，所有速度分量在vx~vx+dvx，-∞＜vy＜∞，-∞＜vz＜∞范圍內(nèi)的、碰撞在面元dA上的分子數(shù)為dN’（vx），則所有這些分子由于碰撞而給予面元dA的沖量為第61頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四則氣體分子給予器壁的壓強(qiáng)為考慮到處于平衡態(tài)的理想氣體其分子的混沌性，故有代入在dt時(shí)間內(nèi)，所有各種速度的分子碰撞在dA上的總沖量為第62頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四三、瀉流及其應(yīng)用若器壁開個(gè)小孔，小孔的器壁又較薄，則分子射出小孔的數(shù)目是與碰撞到器壁小孔處的氣體分子數(shù)相等的，氣體分子如此射出小孔的過程稱為瀉流。處于平衡態(tài)的氣體，在dt時(shí)間內(nèi)，從△A面積小孔逸出的分子數(shù)小孔ABT1,n1T2，n2例2.5.1熱分子壓差若A、B中氣體是同種的第63頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四例2.5.2小孔瀉流:容器體積V,真空,小孔面積A,大氣壓強(qiáng)P0,溫度T0,打開小孔求：容器中氣體壓強(qiáng)增至P0/2時(shí)所需時(shí)間?第64頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.6外力場中自由粒子的分布·玻爾茲曼分布

§2.6.1等溫大氣壓強(qiáng)公式

一.等溫大氣壓強(qiáng)公式（isothermalbarometricformula)

現(xiàn)假設(shè)大氣是等溫的且處于平衡態(tài)，則大氣溫度隨高度變化是怎樣的？考慮在大氣中垂直高度為z到z+dz，面積為A的一薄層氣體（見圖).該系統(tǒng)達(dá)到平衡的條件為

第65頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四其中p(0)及p(z)分別為高度0及z處大氣壓強(qiáng)。改寫為氣體分子數(shù)密度隨高度分布公式，則氣體分子熱運(yùn)動與分子受重力場作用這一對矛盾。注意等溫氣壓公式積分，則有第66頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四二.等溫大氣標(biāo)高

因指數(shù)上量綱為1，故中的具有高度的量綱。定義大氣標(biāo)高H

大氣標(biāo)高是粒子按高度分布的特征量，它反映了氣體分子熱運(yùn)動與分子受重力場作用這一對矛盾。上式表明，大氣分子的標(biāo)高H與溫度成正比，與分子量成反比，即溫度愈高，分子愈輕，它們相對而言就愈多地分布在高層大氣。在登山運(yùn)動和航空駕駛中，往往根據(jù)上式，從測出的壓強(qiáng)變化估算上升的高度。第67頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四大氣標(biāo)高的物理意義（1）在高度z=H處的大氣壓強(qiáng)為z=0處大氣壓強(qiáng)的1/e（2）設(shè)把整個(gè)大氣分子都壓縮為環(huán)繞地球表面的、其密度與海平面處大氣密度相等的一層假想的均勻大氣層，則這一層大氣的厚度也是H第68頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四其中m*稱為等效質(zhì)量。

1908年法國科學(xué)家佩蘭(Perrin)首次觀測到，測出了表征原子-分子論特征的阿伏伽德羅常量及分子、原子的近似大小。1926年獲得諾貝爾物理獎。設(shè)每一個(gè)微粒的質(zhì)量為m，體積為V，微粒的質(zhì)量密度為ρ。將其放在質(zhì)量密度為溶液中。微粒受力是三.懸浮微粒按高度的分布第69頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四例2.6.1實(shí)驗(yàn)測得常溫下距海平面不太高處，每升高10m，大氣壓約降低133.3Pa。試用恒溫氣壓公式驗(yàn)證此結(jié)果（海平面上大氣壓按1.013×105Pa計(jì)，溫度取273K）。第70頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四例2.6.2拉薩海拔約為3600m

，氣溫為273K，忽略氣溫隨高度的變化。當(dāng)海平面上的氣壓為1.013×105Pa時(shí)，(1)拉薩的大氣壓強(qiáng)；(2)若某人在海平面上每分鐘呼吸17次，他在拉薩呼吸多少

次才能吸入同樣的質(zhì)量的空氣。M=29×10-3kg/mol求第71頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四hdrrωl在距轉(zhuǎn)軸r出取dr一段氣體作為研究對象§2.6.2

旋轉(zhuǎn)體中微粒徑向分布第72頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.6.3玻爾茲曼分布（Bortzmanndistribution）

等溫大氣重力場中氣體分子數(shù)密度隨高度的分布公式接下來看麥克斯韋速度分布

分布都是按粒子能量ε的分布，它們都有一個(gè)稱為“玻爾茲曼因子”的因子第73頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

規(guī)律:這些分布中都有因子，稱為玻爾茲曼因子。具有玻爾茲曼因子的分布，稱為玻爾茲曼分布（Bortzmanndistribution）

若n1和n2分別是在溫度為T的系統(tǒng)中，處于粒子能量為的某一狀態(tài)與粒子能量為的另一狀態(tài)上的粒子數(shù)密度。則玻爾茲曼分布可表示為

玻爾茲曼分布表示：粒子處于能量相同的各狀態(tài)上的概率是相同的；粒子處于能量不同的各狀態(tài)的概率是不同的，粒子處于能量高的狀態(tài)上的概率反而小---能量最小原理。第74頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四玻爾茲曼分布能為我們提供用來表示溫度的另一表達(dá)式對于粒子只能取兩個(gè)能級的系統(tǒng)：產(chǎn)生激光的系統(tǒng)，就處于粒子數(shù)反轉(zhuǎn)（populationinversion）的負(fù)溫度狀態(tài)。討論若若

它表示處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，在（無相互作用）粒子的兩個(gè)不同能量的狀態(tài)上的粒子數(shù)的比值與系統(tǒng)的溫度及能量之差有確定的關(guān)系。第75頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四§2.7能量均分定理

§2.7.1理想氣體的熱容（一）熱容（heatcapacity）

熱容：在存在溫度差所發(fā)生的傳熱過程中，物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。C=νCm,C=mcCm：摩爾熱容，c：比熱容CV

定體熱容，Cp

定壓熱容第76頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四（二）理想氣體熱容與理想氣體內(nèi)能單原子理想氣體只有熱運(yùn)動平動動能，沒有勢能。一個(gè)分子的熱運(yùn)動平均平動動能由于在等體過程中不作功，所吸收熱量就等于內(nèi)能增加，即摩爾內(nèi)能為單原子理想氣體的定體摩爾熱容第77頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四理想氣體熱運(yùn)動無擇優(yōu)取向而

這說明在理想氣體中，x、y、z三個(gè)方向的平均平動動能都均分第78頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四自由度數(shù)：確定一個(gè)分子的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目.剛性分子：分子內(nèi)原子之間的距離保持不變的分子.分子種類平動自由度t轉(zhuǎn)動自由度r總自由度i＝t＋r單原子分子303剛性雙原子分子325剛性三原子以上分子336§2.7.2自由度與自由度數(shù)自由度（degreeoffreedom）定義：描述一個(gè)物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)稱為該物體的自由度。第79頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四1.非剛性雙原子分子有一個(gè)沿兩質(zhì)心聯(lián)線振動的振動自由度說明2.N個(gè)原子組成的多原子分子，其自由度數(shù)最多為3N個(gè)。一般來說，在這3N自由度中，有三個(gè)（整體）平動、三個(gè)（整體）轉(zhuǎn)動及3N-6個(gè)振動自由度。第80頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四分子種類單原子分子雙原子分子多原子分子t

平動r轉(zhuǎn)動v振動3003剛性3205非剛性3216剛性非剛性3306333N-63N自由度分子的自由度第81頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四單原子分子每個(gè)平動自由度的平均平動動能為由于沿x,y,z三個(gè)方向