高數(shù)試卷2(導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用)

高數(shù)試卷2(導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用)及答案高數(shù)試卷2(導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用)及答案/高數(shù)試卷2(導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用)及答案高數(shù)測試題二(導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用)1.求極限：(1)limxxcosx;(2)求lim(1cot2x);2x.3xx2(3)求lim(arctanx)x04sinx0x2.設(shè)f''(x)在xf(ah)f(ah)2f(a)a點(diǎn)周邊連續(xù)，則limh2_____.h01)x在(0,3.討論.函數(shù)f(x)(1)的單一性.x4.設(shè)f(x)xsinxcosx，以下命題中正確的選項(xiàng)是_____.(A)f(0)是極大值，f()是極小值(B)f(0)是極小值，f()是極大值22(C)f(0)是極大值，f()也是極大值(D)f(0)是極小值，f()也是極小值225.設(shè)f(x)x3,x0，求：(1)f(0);(2)確立f(x)的單一增減區(qū)間.xarctanx,x0已知函數(shù)yx3，求6.(x1)2(1)函數(shù)的增減區(qū)間及極值；(2)函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；7.函數(shù)yx33的水平漸近線方程為_____.2lnx(A)y2(B)y1(C)y3(D)y08.設(shè)(1,3)是曲線y321的拐點(diǎn)，求a,b.axbx設(shè)x1x2，問ex1和ex2何者更大，為何？9.02x12x2210.設(shè)x0，常數(shù)ae，證明：(ax)aaax.111.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且32f(x)dxf(0).3證明:在(0,1)內(nèi)存在一點(diǎn)，使得f'( )0.設(shè)在[0,1]上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)0.試證：最少存在一點(diǎn)12.f(x)(0,1)(0,1),使f'( )2f()f'( )設(shè)是方程y''2y'4y的一個(gè)解，若，且，13..yf(x)0f(x0)0f'(x0)0試判斷x0是不是f(x)的極值點(diǎn)？假如x0為f(x)的極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)，仍是極小值點(diǎn)？114.求q，使方程x33xq0有兩個(gè)互異實(shí)根，并指出根的值.在拋物線yx2(第一象限部分)上求一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的切線與直線0,x8訂交所圍成的三角形的面積為最大.答案01.(1)解limxxcosxxxcosx01cosxxsinx4sin3xlim4x3lim12x20x0x0x00lim2sinxxcosx1limxcosx111.x024x12x02412248(2)解lim(1cot2x)lim(1cos2xlimsin2xx2cos2x2x2sin2)x2sin2xx0xx0xx0lim(sinxxcosx)(sinxxcosx)limsinxxcosxsinxxcosxx4xlimx3x0x0x0001cosxcosxxsinx111lim3x223.2x06(3)解屬于1型，可轉(zhuǎn)變成elnf(x)形式求解.ln(2arctanx)2xln(2arctanx)xlim111xlim故lim(limeexexarctanx1x2arctanx)xx2.解因?yàn)閒''(x)存在，則f'(x)存在，利用洛必達(dá)法例有0f(ah)f(ah)2f(a)0f'(ah)f'(ah)lim2lim2hh0hh0limf''(ah)f''(ah)f''(a).故應(yīng)填f''(a).h021x1)13.解：f(x)1ln(11xxx令g(x)ln(11)11，g(x)11x11x(11xxx(1x)2x)2因此函數(shù)g(x)在(0,)上單減，因?yàn)閘im1)10ln(1xx1x故對(duì)隨意x(0,),g(x)ln1110x1x進(jìn)而f(x)0(x0),函數(shù)f(x)在(0,)上單增。故應(yīng)選(A)

(x2)2e.02解：f'(x)sinxxcosxsinxxcosx，明顯f'(0)，f'( )，2又f"(x)cosx，且f"(0)1，f"()，因此是極小值，22f()是極大值.故應(yīng)選(B)25.解(1)f(0)limf(x)f(0)limx30,x0xx0xf(0)limf(x)f(0)xarctanx0,xlimxx0x0由f(0)f(0)，因此f(0)0.(2)當(dāng)x0時(shí),f(x)3x20；當(dāng)x0時(shí),f(x)arctanx1x0,x2因此f(x)的單一增區(qū)間為(0,)，減區(qū)間為(,0).6.解所給函數(shù)的定義域?yàn)?,1)(1,)yx2(x3)令y0，得駐點(diǎn)x0及x3(x1)3y6x令y0，得x0列表(x1)4由此可知，(1)函數(shù)的單一區(qū)間為(,1)和(3，)，單一減少區(qū)間為27(1,3);極小值為y4(2)函數(shù)圖形在區(qū)間(,0)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(0,1)，(1，)內(nèi)是凹的，拐點(diǎn)為(0,0)7.解因?yàn)閘imyx33)3,lim(2lnxxxx3因此y3為y2ln3的水平漸近線.故應(yīng)選(C).x8.解y'3ax22bx，y''6ax2b，若(1,3)為曲線的拐點(diǎn)，則必滿足y|x3，y''|x1ab13a110，即2b，解得b3.6a0解設(shè)yexx(0,2)yx2ex2xexex(x2)09.x2x4x3故為內(nèi)單減函數(shù)因此當(dāng)ex1ex2y.0x1x2時(shí)，22.(0,2)2x1x2證因?yàn)閥lnx是單一增添函數(shù)，因此欲證明(ax)aaax，10.只須證aln(ax)(a設(shè)f(x)(ax)lnaaln(a，則f(x)在內(nèi)x)lna.x)[0,)連續(xù)且可導(dǎo)，又有f(x)lnaaax3因?yàn)?，a，故，因此函數(shù)在內(nèi)單一增添.ax而f(0)，因此f(x)0(0x，0)即aln(ax)(a，也即(ax)aaax.x)lna11.證明因f(x)在[0,1]上連續(xù)，故由積分中值定理知，一點(diǎn)(2,1)(0,1)3使f(0)1f().32f(x)dx3則f(x)在[0,]上應(yīng)用羅爾定理得，至少存在一點(diǎn)(0,1)，使得f'( )0.12.證明結(jié)構(gòu)函數(shù)F(x)f(x)(1x)2，則F(x)在[0,1]上知足羅爾定理?xiàng)l件最少存在一點(diǎn)(0,1)，使F( )0即f'()2f( )f'()解因?yàn)閥f(x)為y''2y'4y的解，進(jìn)而13.0f(x)2f(x)4f(x)0特其他，當(dāng)f(x0)時(shí)，上述方程能夠化為0f(x0)4f(x0)0f(x0)4f(x0)0由極值得第二充分條件能夠得悉，x0為的極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn).即f(x)在x0點(diǎn)獲得極大值.解設(shè)f(x)x33xq0其定義域?yàn)?,)且limf(x)xlimf(x).f(x)3x230得駐點(diǎn)x1xx或時(shí)，f(x)0即f(x)單增時(shí)，f(x)0即f(x)單減1x11x1f(1)q2f(1)q2f(1)f(1)故q或2時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根;2q當(dāng)時(shí)，方程為x33x20根為x1，2.q21x2當(dāng)q時(shí)，方程為x33x20根為x1，2.21x2解設(shè)切點(diǎn)為2，，則切線方程為y22x0(xx0),15.(x0,x0)x00x0即y2x0xx02,切線與x軸交點(diǎn)為(x0,0).2又當(dāng)x8時(shí)，y2x08x0216x0x02，因此三角形面積為S1底高1x0)(16x021(16x0)2x0，2(82x0)42S1(16x0)x01(16x0)21(16x0)(163x0).244令S(x0)0，得x01