平面般力系少學時

平面般力系少學時第1頁/共79頁認識平面力系1第2頁/共79頁§3-1平面任意力系向平面內(nèi)一點簡化一、 力線的平移

作用于剛體上A點的力

F

的作用線可等效地平移到任意一點O，但須附加一力偶，此附加力偶的矩等于原力對O點的矩。OdFF’F”dFF’F”FdMFAFF”F第3頁/共79頁逆過程：平面內(nèi)的一個力和一個力偶總可以等效地被同平面內(nèi)的一個力替換，但作用線平移一段距離OMF’FdMF’dF位置由M

的轉向確定。第4頁/共79頁力線平移的討論1第5頁/共79頁力線平移的討論2圖中單手攻絲時，由于力系(F’,MO)的作用，不僅加工精度低，而且絲錐易折斷。第6頁/共79頁二、平面任意力系向平面內(nèi)一點簡化設物體上只作用三個力F1、F2

和F3，它們組成平面任意力系，在平面內(nèi)任意取一O

點，分別將三力向此點簡化。——

力系的主矢——

力系對簡化中心的主矩O

點稱為簡化中心；R’=F1’+F2’+F3’;MO=M1+M2+M3;對于力的數(shù)目為

n

的平面任意力系，推廣為：右擊

三個按鈕作用相同第7頁/共79頁簡化結果：平面任意力系向一點簡化，可得一個力和一個力偶，力的大小和方向等于主矢的大小和方向，力作用線通過簡化中心；力偶的矩等于主矩。力系的主矢的解析表達式為：xyOijR’MOMO注意：主矢與簡化中心無關，一般情況下主矩與簡化中心有關。第8頁/共79頁AAAAA固定端支座簡化圖形AFAXAYAMAMAXAYAMAXAYAMAXAYAMA第9頁/共79頁§3-2平面力系的簡化結果分析主矢不等于零，即 R’≠0主矩合成結果說明MO

=0合力R’此力為原力系的合力，合力的作用線通過簡化中心。合力R大小等于

主矢MO

≠0此力為原力系的合力，合力的作用線距簡化中心的距離第10頁/共79頁O合力矩定理平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和。證： 由前表的第二種情況可知：合力對O點的矩為：

MO

(

R

)=Rd=MO∵主矩

MO

=∑MO

(F)∴MO

(R)=∑MO(F

)RdMOR’MOR’MOR’MOR’MOR’第11頁/共79頁水平梁AB受三角形分布載荷作用，載荷的最大載荷集度為q，梁長

l。求合力作用線的位置。xdxqx例3-1合力對A點的矩可由合力矩定理得：lABqx解：距A端為x的微段dx上作用力的大小為qx

dx三角形面積作用線過幾何中心hP其中qx

=qx/l設合力P到A點的距離h合力的大小為xdxqxhPxdxqxhP第12頁/共79頁思考題水平梁AB受梯形分布載荷作用，載荷的最小載荷集度為q1，載荷的最大載荷集度為q2，梁長

l。求合力FR作用線的位置。lABq1q2FR見后續(xù)第13頁/共79頁思考題lABq1q2FR1FR2FR將梯形分布載荷分解為均布載荷和三角形分布載荷。均布載荷三角形分布載荷梯形載荷的合力由合力矩定理，有即已知q1，q2，

l。求FR作用線的位置h。解畢。第14頁/共79頁平面力系的簡化結果分析（二）主矢等于零，即 R’=0主矩合成結果說明MO

≠

0合力偶此力偶為原力系的合力偶，由簡化結果彼此等效知：此情況下，主矩與簡化中心O無關。平衡MO

=0§3-3節(jié)將重點討論。第15頁/共79頁即，主矢R’=0,這樣可知主矩與簡化中心D的位置無關，以B點為簡化中心有：MD=MB

=M-F3×1=1Nm，主矩MD=1Nm一平面力系如圖，已知，M=2(Nm)

，,求該力系向D點的簡化結果。例3-2F2F3F1MABCD3m1m1m1m1m解：第16頁/共79頁§3-3平面力系的平衡條件平面任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和力系對任意點的主矩都等于零。即：R’=0,MO=0由：得平衡的解析條件：第17頁/共79頁自重不計的簡支梁AB受力如圖，M=Pa。試求A和B支座的約束反力。例3-3MPqxy4a2aNBXAYA解：受力分析，取坐標軸如圖。XAXANBNBYAYA∑MA

(F

)=0,NB·4a

－M

－P·2a

－q·2a·a=0∑X=0,XA

=0∑Y=0,YA－q·2a

－P+NB

=0，ABEnd第18頁/共79頁∑X=0，

Fsin60°－3lq/2－XA=0XA=316.4

kN∑Y=0，F(xiàn)cos60°－P+YA

=0

YA=-100kN∑MA(

F)=0，

MA

－3l

2

q/2－M+

3lFsin60°－Flsin30°=0

MA

=-789.2kNm

自重為P=100kN的T

字形剛架，l=1m，M=20kNm，F(xiàn)=400kN，q=20kN/m，試求固定端A的約束反力。ABDll3lqF60°MPYAXAPPXAXAYAYAMAMAMAMAMAMAMA例3-4解：AEnd第19頁/共79頁當我們更換第三個方程，結果同?！芛=0,YA－q·2a

－P

－NB=0MPqxy4a2aNBXAYA解：受力分析，取坐標軸如圖。XAXANBNBYAYA∑MA

(F

)=0,NB·4a－M－P·2a－q·2a·a=0∑X=0,XA=0AB∑Y=0,YA

－q·2a

－P

－NB=0YA

·4a－q·2a·3a

－

P·2a+M=0回憶例3-3∑MB=0,∑MB=0,∑MB=0,∑MB=0,第20頁/共79頁為什么會有二力矩形式的平衡方程呢？這是因為，如果力系對點A的主矩等于零，則系統(tǒng)有兩種可能：（2）經(jīng)過A點的一個力。如果力系對點B的主矩也同時等于零，則系統(tǒng)仍有兩種可能：（2）經(jīng)過A點，同時又通過B點的一個力。如果再加上∑X=0，那么力系如有合力則力垂直于x軸，當附加軸不允許垂直于連線AB時，系統(tǒng)必為平衡力系。（1）平衡。（1）平衡。ABx第21頁/共79頁平衡方程的三種形式基本二力矩三力矩

只要x

軸

不平行y軸只要AB聯(lián)線不與x軸垂直只要A、B、C

三點不共線形式限制條件平衡方程∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0∑X=0∑MA(F)=0∑MB(F)=0∑M

A

(F)=0∑M

B

(F)=0∑MC

(F)=0第22頁/共79頁§3-4平面平行力系的平衡方程

平行力系是平面任意力系的一種特殊情形。于是，獨立的平衡方程數(shù)只有兩個∑Y=0∑MO

(F

)=0或∑MA

(F)=0∑MB(F)=0A、B連線不與力平行。F1F2F3FN如選x

軸與各力垂直就有∑X≡0xyO第23頁/共79頁（1）保證起重機在滿載和空載時都不至翻倒，求平衡載荷P3應為多少？塔式起重機如圖，P1=700kN，P2=200kN，試問：例3-56m12m2m2mABP2P1P3NBNA（2）當P3=180kN時，求滿載時軌道A、B

給輪的反力。第24頁/共79頁保證起重機在滿載和空載時都不至翻倒，求平衡載荷P3應為多少？

P1=700kN，P2=200kN例3-5(續(xù)1)6m12m2m2mABP2P1P3NBNA解：滿載而不翻倒時，臨界情況下，NA

=0∑MB

=0,

P3min(6+2)+2P1－P2(12－2)=0

P3min=(10P2－2P1)/8=75kN當空載時，

P2=0，臨界情況下，NB=0∑MA=0,P3max(6－2)－2P1=0

P3max=2P1/4=350kN得：75kN≤P3≤350kN第25頁/共79頁當P3=180kN時，求滿載時軌道A、B

給輪的反力。例3-5(續(xù)2)6m12m2m2mABP2P1P3NBNAP1=700kN，P2=200kN解：∑MA=0,

P3(6－2)－2P1－P2(12+2)+4NB

=0NB=(14P2+2

P1

－4P3)/4=870kN∑Y=0,NA+NB

－P3－P1

－P2=0

NA

=210kN用∑MB=0可以進行校驗。第26頁/共79頁§3-5物體系的平衡·靜定和靜不定問題工程結構大都是幾個物體組成的系統(tǒng)。物系平衡時，組成該系統(tǒng)的每個物體皆平衡。在平面任意力系的作用下，每個物體可寫出三個平衡方程，若物系由n

個物體組成，則可寫出3n

個獨立方程。（平行、匯交力系減少）當系統(tǒng)中的未知量個數(shù)等于獨立方程數(shù)，這樣的問題稱為靜定問題。為提高結構堅固性，常常增加多余約束，使未知量個數(shù)超過獨立方程數(shù)，這樣的問題稱為靜不定或超靜定問題。第27頁/共79頁P靜定和靜不定問題對比（1）本問題為平面匯交力系，獨立方程數(shù)為2個未知量的個數(shù)——（1）2個（2）3個P第28頁/共79頁靜定和靜不定問題對比（2）XAYAMAXAYAMA本問題為平面任意力系，獨立方程數(shù)為3個未知量4個未知量3個未知量3個未知量4個XAYAN1N2NXAYAN第29頁/共79頁靜定和靜不定問題對比（3）

獨立方程數(shù)6個

未知量

獨立方程數(shù)3個

未知量XAYAXBYBXAYAXBYBXCYCYC’XC’ABCAB6個4個第30頁/共79頁靜定物系平衡問題算例靈活選取研究對象，靈活選取平衡方程，一個方程求解一個未知量，可使問題的求解簡便。組合靜定梁一般可以先研究部分（簡單優(yōu)先），再研究整體結構；也可先研究一部分，再研究另一部分。注意集中載荷作用在鉸接點的情況。當剛體（系統(tǒng)）沒有完全被約束而在主動力作用下處于平衡，則主動力必須滿足一定的關系或系統(tǒng)必須在適當?shù)奈恢貌拍鼙３制胶狻？衫枚嘤嗟钠胶夥匠虂泶_定主動力必須滿足的關系或平衡位置。至§3-6平面桁架第31頁/共79頁

無底圓柱形空桶放在光滑水平面上，內(nèi)放兩個重球，每個球重P、半徑r，圓桶半徑R

。不計摩擦和桶壁厚，求圓桶不至翻倒的最小重量G

min

。例3-6PPABGCD系統(tǒng)受力情況如圖。考慮翻倒的臨界情況，PPGNN第32頁/共79頁

無底圓柱形空桶放在光滑水平面上，內(nèi)放兩個重球，每個球重P、半徑r，圓桶半徑R

。不計摩擦和桶壁厚，求圓桶不至翻倒的最小重量G

min

。例3-6附屬PPCD系統(tǒng)受力情況如圖。G考慮翻倒的臨界情況，GminGminGmin待續(xù)此時G=Gmin

。圓桶除了與光滑面的接觸點外，都不受力。例3-6NAB第33頁/共79頁分別畫出球及圓筒的受力圖。GminCDACDBPPFCFDFABFAB’FC’FD’NFRABCDPPFCFDCDGGminGminGminABNFRPPNFC’FD’FC’FD’FCFDFABFAB’FCFDFABFAB’待續(xù)第34頁/共79頁GminCDFC’FD’FRab解1：分別以兩個球和圓桶為研究對象，畫受力圖。設BE=a

，AE=b。以兩球為對象，由EO例3-6續(xù)1FDABCDPPFCNR待續(xù)以桶為對象，由顯然，b=2(R-r)

。所以即第35頁/共79頁例3-6續(xù)2解2：以兩個球為研究對象，→N=2P

以整體為研究對象，∑Y=0，N－P－P=0∑MO(F)=0，

(N－P)(2R－

r)－GminR－Pr=0abEFDABCDPPFCNCDGminABNFRPPOREND所以即第36頁/共79頁靜定組合梁如圖，已知Q=10kN，P=20kN，p=5kN/m，q=6kN/m和2a=1m。梁自重不計，求A，B的支座反力。2a2a2a2aaa例3-7ABCDXAYAMApqQPNB畫出系統(tǒng)的受力圖。未知量有四個，必須拆分系統(tǒng)！見后續(xù)XAYAMANBXAYAMANB第37頁/共79頁例3-7(續(xù)1)可見，AC段有5個未知量，CD段有3個未知量，可先研究CD段。AC2a2aaPpYC’XC’XAYAMABDCqQ2a2aaXCYCYCXCNBXCYCYC’XC’YC’XC’分別畫出AC段、CD段的受力圖。見后續(xù)第38頁/共79頁解法一：1、以CD為對象例3-7(續(xù)2)=0

YC·

2a－Q

a+Q=10kN，q=6kN/m2a=1mBDCqQNB2a2aaYCXC見后續(xù)第39頁/共79頁例3-7(續(xù)3)2、再以AC為對象由（1）知,X

C’=X

C=0,YC’

=YC=4kN∑X=0，X

A=0∑Y=0，YA－P

－

p·2a

－YC’=0

Y

A

=

P+p·2a+YC’=29(kN)∑M

A

(F)=0，MA－P·a

－p·2a·3a－YC’·4a=0

MA

=10+7.5+8=25.5(kN·m)P=20kN，p=5kN/m，2a=1mAC2a2aaPXAYApYC’XC’MA見后續(xù)第40頁/共79頁例3-7(續(xù)4)可不必去求

XC、YC，而直接去研究整個系統(tǒng)。解法二：1、以CD為對象Q=10kN，q=6kN/m2a=1mBDCqQNB2a2aaYCXC由解得見后續(xù)第41頁/共79頁例3-7(續(xù)5)2、以系統(tǒng)為研究對象，畫受力圖。p2a2a2a2aaaABCDqQPXAYAMANB由解得END第42頁/共79頁三鉸剛架如圖，自重不計，求支座A、B和中間鉸C的約束反力。例3-10pQaaaACB待續(xù)第43頁/共79頁[解]例3-10（續(xù)1）pQaaaACBXAYAXBYB待續(xù)以整體結構為研究對象，由第44頁/共79頁以AC為研究對象例3-10（續(xù)2）QaaACXAYAXcYcEnd再以整體結構為研究對象，由pQACBXAYAXBYB第45頁/共79頁例3-11平面構架由桿AB、DE及DB鉸接而成。已知重物重P，AC=CB=DC=CE=2l；定滑輪半徑為R，動滑輪半徑為r，且R=2r=l，θ=45o。桿和輪的重量皆不計，試求：A、E支座的約束反力及BD桿所受的力。見后續(xù)PⅡⅠBCADKθERr第46頁/共79頁例3-11續(xù)

1PⅡⅠBCADKθERrFAFExFEy解：見后續(xù)(1)研究系統(tǒng)，受力如圖。解得FAFExFEyFAFExFEyFAFExFEy已知P，AC=CB=DC=CE=2l；R=2r=l，θ=45o。桿和輪的重量皆不計，求A、E支座反力及BD桿所受的力。第47頁/共79頁例3-11續(xù)2PBFBxFByFKPⅡⅠBCADKθERr(2)研究兩滑輪、銷釘B和重物系統(tǒng)，受力如圖。已求得(3)研究DE桿，受力如圖。CDKEFK’FExFEyFDBFCyFCx得PFBxFByFKPFBxFByFKFK’FExFEyFDBFCyFCxFK’FExFEyFDBFCyFCx見后續(xù)已知P，AC=CB=DC=CE=2l；R=2r=l，θ=45o，桿和輪的重量皆不計。FBD第48頁/共79頁ⅡⅠBCADKθE已知P，AC=CB=DC=CE=2l；R=2r=l，θ=45o，桿和輪的重量皆不計，求A、E支座反力及BD桿所受的力。FKFBD例3-11續(xù)3(3’)求BD桿所受的力也可通過研究AB桿、兩滑輪及重物系統(tǒng)來完成，受力如圖。FAFCy’FCx’得已求得PⅡⅠBCADKθERrFAFCy’FCx’FAFCy’FCx’PPPFKFBDFKFBD解畢?？偨Y第49頁/共79頁習題冊4-7第50頁/共79頁習題冊4-7

圖示鐵路起重機除平衡物W外的全部重量為500kN，重心在兩鐵軌的對稱平面內(nèi)，最大起重量為200kN。為保證起重機在空載和最大荷載時都不至于傾倒，求平衡物重W及其距離x。PWABx1.5m6mG第51頁/共79頁習題冊4-7續(xù)1解：

本例實際上是求W和x

的設計范圍。首先受力分析，PWABx1.5m6mGRARB空載時(并不一定是臨界狀態(tài)），∑MA

=0，Wx

－0.75G+1.5RB=0限制條件：RB

0即Wx-3750滿載時(并不一定是臨界狀態(tài)），∑MB

=0，W(x+1.5)+0.75G

－1.5RA

－6P=0限制條件：RA

0即W

(x+1.5)-8250RARBRARBRARB第52頁/共79頁習題冊4-7續(xù)2Wx-3750W

(x+1.5)-8250合并兩式825-1.5WWx375PWABx1.5m6mGRARB由825-1.5W375得，W300kN再由Wx375得，x1.25m求得了W

和x

的設計范圍，對滿足設計許可的x

便可得W

大小的實際范圍。如取x=1，可得：330W375同樣對滿足設計許可的W

也可求得

x大小的實際范圍。第53頁/共79頁§3-6平面簡單桁架的內(nèi)力計算lǐn第54頁/共79頁桁架的連接方式第55頁/共79頁平面簡單桁架的幾點說明桁架是一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結構，它在受力后幾何形狀不變。所有的桿件都在同一平面內(nèi)——

平面桁架。桁架中桿件的鉸鏈接頭——

節(jié)點。滿足以下假設的桁架——

理想桁架。桁架的桿件都是直的；桿件用光滑鉸鏈連接；桁架所受的力（載荷）都作用在節(jié)點上，而且在桁架的平面內(nèi)；桁架桿件的重量略去不計，或分配在桿件兩端的節(jié)點上。第56頁/共79頁無余桿桁架從桁架中任意除去一根桿件，結構就活動變形。第57頁/共79頁無余桿桁架附屬1從桁架中任意除去一根桿件，結構就活動變形。無余桿桁架第58頁/共79頁無余桿桁架附屬2從桁架中任意除去一根桿件，結構就活動變形。無余桿桁架第59頁/共79頁無余桿桁架附屬3從桁架中任意除去一根桿件，結構就活動變形。無余桿桁架第60頁/共79頁無余桿桁架附屬4從桁架中任意除去一根桿件，結構就活動變形。除去幾根桿后結構不變形——有余桿桁架無余桿桁架第61頁/共79頁平面簡單桁架容易證明平面簡單桁架為靜定桁架，而有余桿桁架為靜不定桁架。由于所有的桿件都是二力桿，所有求解時總假定桿件受拉。平面桁架是以三角形剛架（基本三角形）為基礎的，每增加1

個節(jié)點需增加2

根桿，這樣的桁架稱為平面簡單桁架第62頁/共79頁計算桁架內(nèi)力的方法（1）節(jié)點法桁架的每個節(jié)點都受一個平面匯交力系的作用。可以逐個取節(jié)點為研究對象，以已知力求出未知力。注意每個節(jié)點只允許兩個未知力。手算時，通常先求支座反力，然后采用列表求解，表由4列、m行（m為節(jié)點數(shù)）組成。這4列分別是節(jié)點號、受力圖、平衡方程和未知內(nèi)力；每一行放著一條求解記錄。 到方法

（2）第63頁/共79頁圖示桁架，P=10kN，求各桿內(nèi)力。例3-102m2mABCDP30°XBYBNA解：先求支座反力∑X=0, XB=0∑MB(F)=0,NA·4－P·2=0 NA=5kN∑Y=0, NA

－P+YB=0 YB=5kN給各桿編號如圖XBYBNAXBYBNA①②③④⑤見后續(xù)第64頁/共79頁∑X=0,S4cos30°

－

S1’cos30°=0∑Y=0,S3+(S1’+S4)sin30°=0AS130°NAS2∑X=0,S2+S1sin30°=0∑Y=0,NA+S1sin30°=0S1=-10S2=8.66CS1’S3S4S4=-10S3=10D∑X=0,S5-S2’=0S3’S2’S5PS5=8.66節(jié)點編號受力圖平衡方程

未知內(nèi)力單位kN總結第65頁/共79頁計算桁架內(nèi)力的方法（2）截面法如果并不是要求解出所有桿的內(nèi)力，而只是想求解出桁架內(nèi)若干根桿的內(nèi)力，可以適當?shù)剡x取一截面把桁架截開，通過平衡方程求解內(nèi)力未知力。顯然，作截面時每次最多截斷三根內(nèi)力未知桿。如果截斷內(nèi)力未知的桿的數(shù)目多于三根，則它們的內(nèi)力還需通過聯(lián)合其它截面列出的方程一起求解。全章結束第66頁/共79頁圖示平面桁架，各桿件的長度均為1m，P1=10kN，P2=7kN，試計算桿1、桿2和桿3的內(nèi)力。例3-12P1P2ABCDFEG①②③XAYANB∑X=0, XA=0∑MA(F

)=0,NB·3－P2·

2－P1·

1=0NB=8kN∑Y=0,YA

－P1

－P2+NB=0 YA=9kN截斷桿1、2和3解：見后續(xù)XAYANBNBYAXA第67頁/共79頁∑ME

(F

)=0, S1·1·sin60°+YA·1=0

S

1=-10.4kN∑MD

(F

)=0, S

3·1·sin60°+P1·

0.5－YA·1.5

+XA

·1·sin60°=0

S

3=9.81kN∑Y=0,YA+S2·sin60°－P1=0

S

2=1.15kN例3-12續(xù)P1EACDXAYAS1S3S2受力分析如圖總結S1S3S2S1S3S2第68頁/共79頁例3-13求圖示桁架中桿1，2的內(nèi)力。分析：①②ABPaaaaaa本題只要求部分桿件的內(nèi)力，適合用截面法；作任何截面都將截斷四根或四根以上的桿件！如何作截面？待續(xù)第69頁/共79頁例3-13求圖示桁架中桿①，②的內(nèi)力。問題：AB①②Paa③④mmCDS1S2S3S4PCDaaaa待續(xù)桿③的內(nèi)力如何求？解：用m-m截面取上