祖暅原理與柱體、錐體、球的體積 課件

祖暅原理

與柱體、錐體、球的體積祖暅簡介祖暅(5世紀-6世紀)，字景爍，我國南北朝時期偉大科學家，祖沖之之子.“祖暅原理”被西方稱為“卡瓦列里”原理，要比其他國家早一千多年.在歐洲直到17世紀，意大利數(shù)學家卡瓦列里才發(fā)現(xiàn)“祖暅原理”的結(jié)論.成就:祖暅修補編輯了祖沖之的《綴術(shù)》,十分巧妙的推導了球的體積公式.l1問題1：平面內(nèi)，相距h的平行線l1與l2內(nèi)，有底邊長為a，高為h的矩形和平行四邊形,見下圖,它們的面積相等嗎?S矩形=S平行四邊形=ahaahl2

祖暅原理：冪勢既同，則積不容異祖暅原理圖2圖1夾在平行平面間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截面的面積都相等,那么這兩個幾何體的體積一定相等.(“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.)1.柱體體積的計算公式hV長方體=Sh由祖暅原理可知：等底面積S等高h的任意兩個柱體的體積相等.V柱體=Sh圖3結(jié)論1：問題2：設有底面積都等于S，高都等于h的任意一個棱柱、一個圓柱和一個長方體，使它們的下底面在同一個平面內(nèi),見圖3,它們的體積相等嗎?2.錐體體積的計算公式問題3：設底面積都為S、高都等于h的兩個錐體,它們的底面在同一個平面內(nèi)，它們的體積之間有怎樣的關(guān)系呢？為什么？圖4分析：當錐體被平行于底面的平面所截時，得到的截面與底面相似.由祖暅原理可知等底面積S、等高h的兩個錐體，體積相等.ABCA1B1C1ABCA1B1C1CA1B1C1ABA1C圖5圖5(a)圖5(b)圖5(c)問題4：三棱柱分割成三個三棱錐,它們?nèi)齻€的體積相等嗎？為什么？1.觀察圖5(a)與圖5(c):(1)(2)高為A1到平面ABC的距離2.觀察圖5(b)與圖5(c):(1)(2)高為點A1平面BCC1B1的距離2.錐體體積的計算公式等底面積S等高h的任意兩個錐體的體積相等結(jié)論2：3.球體體積的計算公式RRRR給出以下三種幾何模型，其高與底面半徑均為R問題5：你能用它們來推導球的體積公式嗎？步驟：1.拿出圓錐和圓柱2.將圓錐倒立放入圓柱

注意:

O2OO3ABO1分析:結(jié)論3：4.小結(jié)知識點總結(jié):思想總結(jié):(1)祖暅原理．(2)柱體與錐體的體積公式．(3)球的體積公式．化歸思想①借助“祖暅原理”,所有柱體的體積轉(zhuǎn)化為長方體的體積；②柱體都可以分為三個等體積的錐體；③球的體積轉(zhuǎn)化為圓柱體積和圓錐體積的差.5.探究作業(yè)請各小組利用祖暅原理探究球的體積公式的思想探究橢球的體積公式，橢球的體積公式如下:xyzABC橢球的球心在坐標原點,與x,y,z軸正向的交點分別為A(0,0,a),B(0,b,0),C(0,0,c),其中a,b,c分別稱為橢球的長半軸、中半軸和短半軸.cabo

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