醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計習題答案

234量定類變定序變量量進行列聯(lián)表分(餅圖)(離散變量、連量，進行參數(shù)估計和檢驗、回歸分析、方差分析(一)常用統(tǒng)計量公式(原始數(shù)x=1nxnin公式(分x1kmfniin反映數(shù)據(jù)取5x數(shù)MeMo|(n+1)22Me=〈|((n)+x(n+1)),當22數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)中位數(shù)所累積頻數(shù)的那個最眾數(shù)所在組:頻數(shù)最大值的平均水據(jù)分布集中趨勢的最主要測度值,受極端值的測度定性數(shù)對于定量數(shù)6R2R=最大值2=1N(xx)2Nii=1=2Nii=1公式(分R≈最高組Niii=1=21N(mx)2fNiii=1反映離散程度的最簡單測度值，不能反映中間數(shù)反映每個總體數(shù)據(jù)偏離其總體均值的平均程度，是離散程度的最重要測度值,其中標準差具有與觀察值數(shù)據(jù)相同S2=1n(xx)2n1ii=1S2=1k(mx)2fn1iii=1反映每個樣本數(shù)7=1n(xx)2n1ii=1=1k(mx)2fn1iii=1據(jù)偏離其樣本均值的平均程度，是離散程度的最重要測度值,其中標準差具有與觀察值數(shù)據(jù)相同CV=SSxn反映數(shù)據(jù)偏離其差，是無量綱的反映樣本均值偏離總體均值的平均程度，在用樣本均值估計總體8稱數(shù)據(jù))數(shù)據(jù))KuiiiS=innxx3[(xx)2]2(n1)K=iiS(原始數(shù)據(jù))性kk9k(mx)4k(mx)4fiiK=i=13Ku＞0時為尖Ku＜0時為扁三、綜合例題解析例1．證明：各數(shù)據(jù)觀察值與其均值之差的平方和(稱為離差平方和)最小，即iii=1i=1證一：設f(C)=n(xC)2ii=1f(C)=2n(xC)=2nx+2nC,f(C)=2niii=1i=1令f(C)=0，得唯一駐點nini=1ii=1iiiiii=1i=1i=1i=1i=1ii=1=n(xC)20故有n(xx)2n(xC)2。iii=1i=1四、習題一解答1．在某藥合成過程中，測得的轉(zhuǎn)化率(%)如下：數(shù)分布表；(2)作頻數(shù)直方圖和頻率折線圖；(3)根據(jù)頻數(shù)分布表的分組數(shù)據(jù)，計算樣本均值和樣本標準差。分布表轉(zhuǎn)化率頻數(shù)頻率累積分組頻率5 91.0~00.000.02592.0~92.5~993.0~793.5~794.0~2(2)頻數(shù)直方圖：977231086420轉(zhuǎn)化率頻率折線圖頻率0.3轉(zhuǎn)化率0轉(zhuǎn)化率9090.59191.59292.59393.59494.595(3)由頻數(shù)分布表可得轉(zhuǎn)化率組中頻數(shù)ii 90.5~90.75191.0~91.25091.5~91.75392.0~92.2592.5~92.7593.0~93.2593.5~93.7594.0~94.259772nii4040i=1i=114222．測得10名接觸某種病毒的工人的白細胞(109/L)如下：(1)計算其樣本均值、方差、標準差、標準誤和變異系數(shù)。(2)求出該組數(shù)據(jù)對應的標準化值；(3)計算其偏度。ii=1ii=1樣本均值x=1nx=67.75=6.775ni10i=1標準誤S===0.193xn40S0.609(2)對應的標準化值公式為xxx6.775u=i=i應的標準化值為 (3)S=i=0.204。數(shù)據(jù)如下表所示的的比例(%)組(元)200~500~800~試計算(1)該市平均每戶月人均支出的均值和標準差；(2)并指出其月人均支出的中位數(shù)與眾數(shù)所在組。 組中值比例(%(%)200~500~800~上fnii100i=11(2)由原分組數(shù)據(jù)表可得支出分比例累積比 組(元)(%)例(%) C00~S00~6I.8800~I00I000以上vxIxCxnyIyCyn關系：y=xaiibi=1,2,…,nxy解：y=1ny=1n(xia)=1(1nxna)=xaninbbninbSn(yy)2=1n(xaxa)2=1n(xx)2yn1in1bbn1bii=1i=1b2n1ib2xi=1五、思考與練習(一)填充題3.用于數(shù)據(jù)整理和統(tǒng)計分析的常用統(tǒng)計軟件有4.描述數(shù)據(jù)集中趨勢的常用測度值主要有、、和等，其中最重要的是；描述數(shù)據(jù)離散程度的常用測度值主(二)選擇題A．樣本均值不變，樣本標準差改變B．樣本均值改變，樣本標準差不變CD.兩者均改變2．關于樣本標準差，以下哪項是錯誤的()。A．反映樣本觀察值的離散程度B．度量了數(shù)據(jù)偏離樣本均值D均值3．比較腰圍和體重兩組數(shù)據(jù)變異度大小宜采用()A．變異系數(shù)(CV)B．方差(S2)C．極差(R)D．標準差(S)(三)計算題1.在某次實驗中，用洋地黃溶液分別注入10只家鴿內(nèi)，直至動物死亡。將致死量折算至原來洋地黃葉粉的重量。其數(shù)據(jù)記錄為(單位：mg/kg)標準誤和變異系數(shù)。六、思考與練習參考答案(一)填充題4.均值、眾數(shù)、中位數(shù)，均值，極差、方差、標準差、變異系數(shù)，方差、標準差(二)選擇題(三)計算題第二章隨機事件與概率驗E(試驗E(試一、學習目的和要求算。二、內(nèi)容提要(一)基本概念概念號具有以下特征的觀測結(jié)果事間件(樣本件A(事件現(xiàn)哪一試驗所有可能結(jié)果組試驗的每個不可再分試驗中可能發(fā)生也可基本事件組成的樣本在試驗中一定發(fā)生的在試驗中一定不發(fā)生的事件，不含任何基本空集(二)事件間的關系關系差符號AB仁A=BA+B(AAB(AA－B事件A的發(fā)生必然事件A與B中至少有事件A與B同時發(fā)生事件A發(fā)生同時B不A是BA與BA與BA與BA與B容事件A與B不可能同A與B時發(fā)生不相交事件A不發(fā)生A的補A集(余(三)事件的運算規(guī)律式律A+B=B+A，AB=BAA+B=AB，AB=A+B(四)概率的定義類型義定義公式P(A)=mA所含的基本事件數(shù)=n本事件總數(shù)P(A)=p(≈f(A)=nA)nn事件A對應則稱P(A)為隨機事件A的概(五)概率的計算公式式若A、B互不相容(AB=)：AAP(B)式(P(B|A)=P(A)A、B相互獨立：A1,A2,…,An相互獨立：若A1,A2,…,An為完備事件iii=1若A1,A2,…,An為完備事件(貝葉*完備事{A1,A2,…,An}P(A)P(B|A)P(A|B)=jjjnP(A)P(B|A)iii=11.A1,A2,…,An互不相容且三、綜合例題解析A={從池中捉到有記號魚}到有記號魚的概率n由統(tǒng)計概率的定義知，它近似于捉到有記號魚的頻率fn(A)=，即取法作為每個基本事件，顯然本例屬于古典概型問題，可利用組合數(shù)來P(A)=28235235==0.5。解二：本例也可以先計算其對立事件A={總值不超過一角}硬幣、貳分硬幣的不同個數(shù)來計算其有利情形的組合數(shù)。則CCCCCCCCC126P(A)=1P(A)=1555533253=1=C252或C5+C1(C4+C1C3)126或P(A)=1P(A)=182535=1=0.5例例3將n個人等可能地分配到N(nN)間房中去，試求下列(1)A={某指定的n間房中各有一人}；(2)B={恰有n間房，其中各有一人}；(3)C={某指定的房中恰有m(m≤n)個人}。nAnn任n!P(A)=出n間房(共有Cn種選法)，然后對于選出的某n間房，按照上面的分N析，可知B共含有Cn·n！個基本事件，從而N(3)對于事件C，由于m個人可從n個人中任意選出，故有Cm種nNN－1)n-m種分配法，故C中共含有Cm·(N－1)n-m個基本事件，因此nCm(N1)nm11P(C)=n=Cm()m(1)nmNnnNN注意：可歸入上述“分房問題”來處理的古典概型的實際問題非常(1)生日問題：n個人的生日的可能情形，這時N=365天(n≤(2)乘客下車問題：一客車上有n名乘客，它在N個站上都停，P(AB)=P(A+B)=1P(A+B)=1[P(A)+P(B)P(AB)],例5設某地區(qū)位于河流甲、乙的交匯處，而任一何流泛濫時，該(2)該時期內(nèi)該地區(qū)被淹沒的概率。解：令A={河流甲泛濫}，B={河流乙泛濫}則(1)所求概率為P(A|B)=P(AB)(2)所求概率為因為A和B相互獨立，則9P(AB)=P(AB)P(AB)=P(AB)，PBAP(A)P(AB)=P(B)P(AB)P(A)=P(B)9P(A)=3即P(A)=1P(A)=。3無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求(1)顧客買下該箱的概率α；(2)在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率β。員取的那一箱可以是這三類中的任一箱，顧客是在售貨員取的一箱中檢這類問題的概率計算一般可用全概率公式解決，第二問是貝葉斯公式也首先令A={顧客買下所查看一箱}；P(B)=0.8,P(B)=0.1,P(B)=0.1,012P(AB)=1,P(AB)=19=20(1)由全概率公式，有ii519i=0(2)由逆概率公式，得=P(BA)=P(B0)P(AB0)0.810.850P(A)0.94證：令Ai={第i次試驗中事件A發(fā)生},i=1,2,3,…AAnP(A+A+…+A)=1－P(AA…A)12n12n12n12nn+四、習題二解答事件A={1，3，5}；B={4，5，6}。(3)三個都出現(xiàn)；(4)三個中至少有一個出現(xiàn)；(5)三個中至少有兩個出現(xiàn)；(6)三個都不出現(xiàn)；(7)只有一個出現(xiàn)；(8)不多于一個出現(xiàn)；(9)不多于兩個出現(xiàn)。解：(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4)ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC(5)ABC+ABC+ABC+ABC(6)ABC或－(A+B+C)或A+B+C(7)ABCABCABC32(8)ABCABCABCABC(9)ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC或－ABC或ABC現(xiàn)從26個英文字母中任取兩個字母排成一個字母對，求它恰是上述字解：現(xiàn)將從26個英文字母中任取兩個字母件的每種取法作為每個古典概型問題。m5555P====0.0846。或P(B)=m==0.5088；nC3(3)P(C)=m=C=0.0035；(4)P(D)=m=C=0.4912。AB大號碼為5}(1)對事件A，所選的三人只能從5~10中選取，而且5號必定被選中。P(A)=m==1=0.0833；(2)對事件B，所選的三人只能從1~5中選取，而且5號必定被選中。P(B)==14==0.05。7．某大學學生中近視眼學生占22%，色盲學生占2%，其中既是近視眼又是色解：設A={被抽查者是近視眼}，B={被抽查者是色盲}；(1)利用加法公式，所求概率為(2)所求概率為注意：上述計算利用了德·摩根對偶律、對立事件公式和(1)的結(jié)果。式、差積轉(zhuǎn)換律、對立事件公式和事件之差公式。則即故P(A)則即故P(A)P(A)P(AB)P(AB)P(BA)P(B)P(AB)9．假設接受一批藥品時，檢驗其中一半，若不合格品不超過2％，則接收，否解：設A={50件抽檢藥品中不合格品不超過1件}，據(jù)題意，僅當事件A發(fā)生時，該批藥品才被接收，故所求概率為PA595=0.1811。(1)若A與B互不相容，則A和B不獨立；AAB(2)由已知P(B|A)=P(B|A)，又P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)==(2)又證：由已知P(AB)P(BA)P(B)P(AB)P(AB)P(BA)P(B)P(AB)(3)P(B|A)=P(AB)概率P(AB)P(B)0.4P(B|A)====0.5。P(A)P(A)0.8解：設A={甲譯出該密碼}，B={乙譯出該密碼}，C={丙譯出該密碼}.的概率為534或或=P(A)+P(B)+P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)+P(A)12112112112145345354345345解：設A={甲種籽能發(fā)芽},B={乙種籽能發(fā)芽}(1)所求概率為=1－P(A)P(A)…P(A)=1－(P(A))n=1－(1－p)n；12n1(2)設甲、乙兩城間至多只能設n個中繼站，由題意，應滿足2n有若干門這樣的炮獨立地同時發(fā)射一發(fā)炮彈，問欲以99%的把握擊中飛Ak={第k門炮擊中飛機},k=1,2,…,n，AAAn有1AAA3分別表示從甲袋中任取一球為白球、紅球、黑球；兩球顏色相同的概率為31076159207252525252525625解：由題中已知條件可得示患甲種疾病。則由題意知P(A1)=9，P(A2)=7，P(A3甲種疾病的發(fā)病概率為4202020B(1)該地成年人患高血壓的概率為(2)若已知某人患高血壓病，他屬于肥胖者(A1)、中等者(A2)、瘦小者(A3)概率分別為P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)=0.820.1=0.7736P(B)0.106P(A2|B)>P(A1|B)>P(A3|B)機是三人擊中的概機被擊落。則A1、A2、A3相互獨立，且由題意可得23123P(B1)=P(AAA+AAA+A23123P(B1)=P(AAA+AAA+AAA)=P(AAA)+P(AAA)+P(AAA)123123123123123123=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)23123123123123123123P(B2)=P(AAA+AAA+AAA)=123123123123123123=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)23123123(1)敵機被擊落的概率為(2)所求概率為五、思考與練習(一)填充題(3)若A仁B，則P(A+B)=，P(B－A)=。P(AB)=。在每次試驗中事件A出現(xiàn)的概率是。(二)選擇題1.下列說法正確的是()A.任一事件的概率總在(0,1)之內(nèi)B.不可能事件的概率不A.甲，乙兩種藥品均暢銷B.甲種藥品滯銷，乙種藥品暢銷CD.甲種藥品滯銷或乙種藥品暢銷倍數(shù)的概率為()77A.B.5010015C.D.1004.設A和B互不相容,且P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是()A.P(B|A)>0B.P(A)=P(A|B)C.P(A|B)=0D.P(AB)=P(A)P(B)(三)計算題件:(1)AB；(2)A+B。(1)數(shù)字各不相同的電話號碼(事件A)；(2)不含2和7的電話號碼(事件B)；(3)5恰好出現(xiàn)兩次的電話號碼(事件C)。(1)第一卷出現(xiàn)在兩邊；(2)第一卷及第五卷出現(xiàn)在兩邊；(3)第一卷或第五卷出現(xiàn)在兩邊；(4)第三卷正好在正中。求(1)該藥品是次品的概率；(2)若已知任取的藥品是次品，求該次品是由三廠生產(chǎn)的概率。是新球，求第一次取到的都是新球的概六、思考與練習參考答案(一)填充題(二)選擇題 1 3(三)計算題(1)AB={1,6,7}；(2)A+B={1，3，4，5，6，7}PBAPA|B3PBAPA|B3P(B3)(2)P(B)=88=0.1678C1A42A2A313.(1)P=24==0.4；(2)P=23==0.1；A55A5105AA51055P23323==0.7P23323==0.7A105A41 (4)P=4==0.2A555(2)()PABP(B)+P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)1122330.400.40===B={第二次取出的球都是新球}。12kk212PAPBAP(B)iii=0第三章隨機變量及其分布離散型、連續(xù)型隨機變量的分布及性質(zhì)；布等的性質(zhì)及概率計算；二、內(nèi)容提要(一)隨機變量及常用分布1.離散型隨機變量及常用分布名稱律定義x1x2…xkxp1p2…Ppk…0X1qPpP{X=k}=性質(zhì)或背景備注1.pk≥0，k=1,2,…p=1k二項分布X為n重貝努EX=npBn,p)，nk=0,1,…,ne入e，,,里試驗中Ank!EX=入D(X)=入p較小)何MNMNk=1,2,…,min(M,n)MpNCkCnklimNNM=CkpkqnkN+CnnNEX=nMNnM(Nn)(NM)D(X)=N2(N1)2.連續(xù)型隨機變量及常用分布名稱定義性質(zhì)或背備注數(shù)f(x)布有P{a<X≤af(x)=(景1.f(x)≥0P{a<X≤b}=ba()ba2.(x)可等價定XF(x)=xf(t)dt,EXD(X)=1布E()布)f(x)ex其它,f(x)ba,f(x)=數(shù)常用作“壽命”分布若X服從分布LN則lnX~EXD(X)=1/2E(X)=22r,a2r,a2f(x)=m=1且分布函數(shù)為F(x)=定義性﹣∞＜x＜2.F(﹣F(a)+∞∞)=0,F(+型X型XF(x)=xp,iiixjxftdt,3.F(x)對x4.F(x)為右pP{X=x}kkkkf(x)=F,(x)P{a<X≤a(二)隨機變量的數(shù)字特征類定義性質(zhì)備注型離散型1.E(C)＝C(C描述隨E(X)kk連續(xù)型E(X)±E(Y)水平獨立,則E(X)·E(Y)方差D(X)=E[(X1.D(C)＝0(CD(X)差(X)(X)=D(X)=E[(XEX)2]獨立,則XEX差pXY=E[(X－E(X))(Y－E(Y))]E(X)·E(Y)Cov(X,Y)pXY=D(X)D(Y)b使得與Y的度與Y間pXY=0，3.X與Y獨立稱X與X與Y不相Y不相(三)隨機變量函數(shù)的分布X的分布離散型X連續(xù)型XX的分P{X=xk…X的密fX(x)yjf(x)dx{x:g(x)y}XY=g(X)的密度：fY(y)=F′Y(y)若y=g(x)在fX(x)非零區(qū)調(diào)，h(y)是E(Y)=E[g(X)]=g(x)pkkE(Y)=E[g(X)](四)二維隨機向量及分布1.二維離散型隨機向量名稱律X的ijijiijij=1jijji=1ij注(概率分布加”加”性一iji..j分布完全確定其聯(lián)合分2.二維連續(xù)型隨機向量度f(x,y)X的邊Df(x)=j+wf(x,y)dyX_wf(x)=j+wf(x,y)dxY_w1.f(x,y)≥01注1212xy_w_w隨機變量XfX(x)=FX,(x)隨機變量YfY(y)=FY,(y)獨立一f(x,y)=f(x)f(y)XY布(X,Y)~12分布完全確定其聯(lián)合分X~N(,2)2實用中由試p是X與Y的名稱3.二維隨機向量的分布函數(shù)定義性質(zhì)或試驗背景F(x,y)＝P{XF(x,y)=pijijxxyyij注f(x,y)=?x?y型型X的F(x)=limF(x,y)Xy+F(x)=limF(x,y)Yx+FYyY的分布確定FX(x)(五)大數(shù)定律和中心極限定理名稱條件結(jié)論備注xnxn夫夫律X的E(X)、D(X)均限設{Xk}為分布的又222(1nnlim(1nnn)+wlnk=1xX即xXkkkJP)山均值和方差時，估計XE(X)的偏差大(小)于c的X1nXkk依概率收斂nn)律勒維-林D(Xk)=a2)均存在設rn~Bnp); (或rn為n重貝件A發(fā)生設{Xk}為對任意ε＞0，有n)的(n)即A發(fā)生的頻率rnP)pn令xnX-nr，則YkYkn以嚴格數(shù)學“頻率的穩(wěn)在試驗次數(shù)很大時，用率作為其概k從N(nr,na德莫佛-理分布的又E(Xk)=,D(Xk)=2)均存在設n~Bnp); (或n為n重貝Yn~N(0,1)(近YnYnlimPYx(x)nnY~N(0,1)(近n似),或n~N(np,npq)(近當n很大n()().()().情形中件A發(fā)生似)三、綜合例題解析，Aii口首次遇到紅燈}，i=1，2，3,則事件A1，A2，A3相互獨立，且P(Ai)=P(Ai)=(i=1，2，3)，P{X=0}=P(A1)=121P{X=1}=P(A)P(A)=12221P{X=2}=P(AAA)=P(A)P(A)P(A)=123123231P{X=3}=P(AAA)=P(A)P(A)P(A)=123123230X231P12111注意：利用性質(zhì)：xp=1，可檢查離散型概率分布律的正確與否。iiP{X=x}=1-xp。0i23求：(1)常數(shù)A、B；(2)概率密度函數(shù)f(x)。x)+wx)0+0x0x0(2)所求密度函數(shù)為f(x)F(x)2e2,x0x0布，故所求問題轉(zhuǎn)化為：已知~U[1，6]，求P{||≥2}。現(xiàn)因在[1，6]上服從均勻分布，則的概率密度為221555解：由于X~N(2,2)，故P{2X4}(42)(22)(2)(0)0.3σσσ2注意：在正態(tài)分布的概率計算中，首先要將它標準化，轉(zhuǎn)化為利用由題設知，X~N(1，2)，Y~N(0，1)。則由期望和方差的性質(zhì)得Z也為正態(tài)隨機變量，即Z~N(,2)，且f(z)e29,z。Z32注意：本題主要考察的性質(zhì)是：一是獨立正態(tài)分布的線性組合仍為試求Ysin(X)的概率分布律。2 X123456602-1…P12122123124125126127…則Y=sin(X)只以﹣1，0，1為其取值，其取值概率為2111112=+++…==；2327211222426413422529218 (或P{Y=1}=1－P{X=﹣1}－P{X=0}=1一一=)15 Y1P2183例7設(X，Y)的聯(lián)合分布律為 X-10 21/6a31312222求：(1)常數(shù)a；(2)聯(lián)合分布函數(shù)在點(,)處的值2222ijp=1ijij知1ij4461=p=1+1+ij446ij (2)(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)在點(,)處的值應為223131111FPXYPXY一1}+P{X=1,Y=0}=+=。2222442的點(xi，yj)的概率pij找出來，然后求和就可以了。12121122度分別為11f11f(x)=1,X1f(y)=f(y)=2,Y2=e=e2(2.e2(221(必要性)若已知X與Y相互獨立，則對任意x，y，有f(x,y)=fX(x).fY(y),1212布函數(shù))。Xi的第i箱的重量(千克)，n為最多可以裝的箱ii1i=D(Xii2n(1)設X表示1000次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，用中心極限解(1)因X~B(1000，0.7)，由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理得P{650X750}P650npXnp750npnpqnpqnpqnn方法三：當n方法三：當n較大，而p不太小時，用中心極限定理作正態(tài)近似計算的可靠性(即部件正常工作的概率)為0.9，且必須至少有80%的部件 0.21n) 0.21n)，i(2)二項分布概率的計算，可總結(jié)為下述三種方法；方法一：X~B(n,p)，且不太大(n≤20)時，直接計算。n方法二：當n較大，且p較小(n≥20，p＜0.1)時，由泊松定理，X12P靠性不低于0.95？(2)若該系統(tǒng)由85個部件組成，則該系統(tǒng)的可靠性Xn件數(shù)}，則X~B(n,0.9)。(1)由題意應求出n，使得nnn能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95。3(2)所求可靠性為四、習題三解答X2﹣0.50.9P0.6kk=1PX=5=0.1，5X5X5X0125(2)求X取偶數(shù)的概率。133P{X=k}=()k一1=133444k(2)X取偶數(shù)的概率3 424442k142-11542 X0123 k3故p3=1－0.7=0.3。當x<0時，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=0；當2≤x<3時，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}+xFxPXxPX0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3} X-202kkkk 百分比(%) 5kkkkkkkkP(X=k)=a,k=1,2,…,NNkNNNNk=1kkNNN22NNNNkkNNN66DXEXEX=N2112又則又則xpkpqkpkqkpqqqkkE(X)－qE(X)=p(1+q+q2+…)=plim1qn=p1=1;故E(X)=1=1。故1qpEXkpqk1pkqk1對此級數(shù)逐項求導，得dqdq從而E(從而E(X)p(1q)2pp2p。Cx,0x1f(x)0,其他E(X)。0202(2)|,|0.30.30.3x-w-w-w-w00-w-w010|||-w0303試求：(1)P{X＜4}，P{X＞1}；(2)概率密度函數(shù)f(x)。其他試求(1)分布函數(shù)F(x);(2)數(shù)學期望E(X)。-w-w-w-w02-的-的0120212222-的-的0122021||,|-()(-的01303112．設隨機變量X在(0，5)上服從均勻分布，求方程4t2+4Xt+|,|,X－X－2≥0=P{X≥2}+P{X≤﹣1}=j51dx+0=3=0.6。255若供給車間9單位電力，則因電力不足而耽誤生產(chǎn)的概率等于多少？(3)供給車間(1)因為(2)所求概率為(查附表2)(3)設供給車間m單位電力,則電力不足的概率為kmk=m+1pYBpP{X≥1}=1－P{X=0}=1－(1－p)2=99333P{Y≥1}=1－P{Y=0}=1－(1－p)3=1－(2)3=19。15．某地胃癌的發(fā)病率為0.01％，現(xiàn)普查5萬人，試求(1)沒有胃癌患者的概(1)所求概率為(1)所求概率為k!P{X=k}=4ke4，k=1，2，…；k! k!22222解：(1)因X~N(90,0.52),則X (2)依題意應有即則故d≥80+0.5×2.33=81.165。產(chǎn)的螺栓長度(cm)服從參數(shù)=10.05,=0.06的正態(tài)分布，如果規(guī)解：螺栓為合格品的概率的概率則故則故CC則即故又31415p，p2==P{X<x1}=(x1一60)=p=1=0.25,314334x一605731212-w00(2)2-w00303X－04P1/81/41/81/61/32﹣X0.54X22P40一200 20(1)則2X+1的分布律為 (2)則X2的分布律為X00.25416 (3)則sin(X)的分布律為2一一2f(y)=F(y)=(jf(x)dx)=f(y)(y)=1f(y)=1y；Y0XX222X22Y|0其它解二：考察Y=2X的對應函數(shù)y=2x，在fX(x)的非零區(qū)間(0，1)f(x則則則f(y)=F(y)=0；Yf(y)=F(y)=0。Yy'=2>0，則y=2x為嚴格單調(diào)增加函數(shù)，其取值范圍是(0，2)，故可利用定理公式法。x=h(y)=y,h'(y)=1，22Y0,|0,|y,|0,0y2其它25．已知球體直徑X在(a，b)內(nèi)服從均勻分布，其中0<a<b，試"求：(1)球體積Y的概率密度；(2)P{0<Y<C}的值(0<C<b3)。(1)球體積為326顯然對應函數(shù)y=1"x3在(a，b)上為嚴格單調(diào)增加函數(shù)，其對應取值范圍是6 66由y=1"x3得其反函數(shù)為6"3"，"3"，Yl0,|l0,|l0,其它|6"6"取2支，若X、Y分別表示抽出的蘭筆數(shù)和紅筆數(shù)，試求(X，Y)的聯(lián)P{X=i,Y=j}=p=CiCjC2ij323,i,j=0,1,2;0i+j2ijC28 X203 16 9 1 6 02 3 0027．已知(X，Y)的聯(lián)合概率分布為YX12311613191a21 1 btjij69183abp969189a92lXY解：(1)因j+wj+wf(x,y)dxdy=j1j1Axydxdy一w一w0000224(2)X的邊緣密度為X一wl0|l0l0,其它Y一wl0|l0l0,其它(3)由(2)解得的邊緣密度可得29．設隨機向量(X，Y)服從正態(tài)分布，并且已知求(X,Y)的概率密度f(x,y)。解：因隨機向量(X，Y)服從正態(tài)分布，則其聯(lián)合分布密度為則1 2則故則故pXY=D(X)D(Y)，XE(X)=12，D(X)=9，用切比雪夫不等式估計解：由切比雪夫不等式得3632．某炮群對空中目標進行80次射擊中，每次炮彈命中顆數(shù)的目擊中命中目標的炮彈總顆數(shù)X=80X~N(n,n2)(近似)k值為44npqnpq75(一)填充題|0.3|0.3X-113P5．設隨機變量(X，Y)取下列數(shù)組(0，0)，(－1，1)，(－1，2)，2cc4c4cccXnn的時，Yn=xnX于。(二)選擇題A.b是大于零的任意實數(shù)B.b=a+1C.C1人，則患病人數(shù)的數(shù)學期望和方差分別為()正確的有()A.4個B.3個C.2個D.1個A.μ越大B.越大C.μ越小D.越小C.必有E(XY)=E(X)E(Y)D.必有D(X+Y)=D(X)+D(Y)A.有相同的數(shù)學期望B.有相同的方差C.服從同一指數(shù)分布D.服從同一離散型分布(三)計算題(1)pkP{X=4}。3276P{X=x}=,P{X=x}=,E(X)=，D(X)32761525525001。設各元件是否發(fā)生故障是相互獨立的，且只要有一元件發(fā)生故障，儀器就(1)在一次射擊中X絕對值不超過15m的概率；(2)在兩次射擊中至少有一次X絕對值不超過15m的概率。,又1,x為奇數(shù)時,,又1,x為奇數(shù)時,yyYP{X=y1y3Xxi}=py1y3Xx1181xP{Y=yj}(1)寫出X的概率分布；(2)利用德莫佛-拉普拉斯定理，求被盜的索賠戶數(shù)不少于14戶且(一)填充題故 1 P0.24.65.322242(二)選擇題2.D4.B5.A(三)計算題 33.E(X3.E(X2)=D(X)+E(X)2=+=，由題中條件得方程組327E(X)=x+x=152553211E(X2)=x2+x2=15255X12P200k! (2)P{X≥2}≈x2000.2ke-0.2=0.0175。(查表得)k!k=2000裝裝裝0000裝0則-w0101011105yxyx X-11Pq1p=p,p=p，p=p=1i.ij.jiji..jjiijp=p.piji..j116824111而p68241111.6241.4YP{X=Xy3x1111134814P{Y=1613121利用德莫佛-拉普拉斯定理知利用德莫佛-拉普拉斯定理知所求概率為第四章抽樣分布一、學習目的和要求二、內(nèi)容提要(一)數(shù)理統(tǒng)計的基本概念名稱定義特性意義總體X研究對象的將總體理解利用隨機n(X1,X滿足X滿足：n樣本X1,為服從某一分布的隨機變量X樣本具有二量(理論分(2)觀察值 泛指時為隨機變量，特變量X的性質(zhì)來研樣本是從機抽取部分個體組推斷總體有關統(tǒng)計對樣本所含信息進Xn)知參數(shù)的函數(shù)指時為相應行加工提估計推斷(二)常用統(tǒng)計量Xnii=11=1n(XX)21ii=1ii=1應用用于分析總體均值有E(X)=E(X),D(X)D(X)=n用于分析總體方差D(X)，且有義察值的平均水樣本觀察值偏離樣本均值的差S誤SxSCV=100%|X|SxnxD(X)度量單位反映樣本的相對離散程度的無量綱統(tǒng)反映樣本均值的變刻畫樣本觀察值偏離樣本均且與取值數(shù)據(jù)刻畫樣本觀察值偏離樣本均可用于比較不同均值樣本相用來衡量以樣本均值來推斷估計總體均值布)t分布t(n)義TTN(0,1)，則X2=nX2~ii=1設X~N(0,1)，Y~X~t(n)=1.X~X2(n)，則E(X)2.X~X2(n1)，Y~X2則X+Y~X2(n1+n2)F分布F(n1設X1~X2(n1)，X2~X2(n2)，且X1F=X1/n1~F(n1,n2)X/n22F(1，n)1/F~F(n2,n1)1F(n,n)=112F(n,n)21(四)正態(tài)總體的抽樣分布總體類型抽樣分布X作為正態(tài)變量值X2X~N(,)2nX/n