2023九年級數(shù)學(xué)競賽試題

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九年級數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（每題5分，共40分）1、一同學(xué)根據(jù)下表，作了四個推測：x1x?22?3x①2?lO1.21001000100001.021.0021.0002?x?2x?2?x?0?的值隨著x的增大越來越?。虎???x?0?的值有可能等于1；xxx?2x?2③2?④2??x?0?的值隨著x的增大越來越接近于1；?x?0?的值最大值是3．

xx則推測正確的有（）

A.1個B.2個C．3個D.4個

2、如圖，XX路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直。假使小明站在南京路與八一街的交織口，準(zhǔn)備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為（）A500mB525mC575mD625m3、如圖，在⊙O中，CD?DA?AB，給出以下三個結(jié)論：

第3題圖

（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）當(dāng)∠BDC=30°時，∠DAB=80°．其中正確的個數(shù)是()

A0B1C2D3

4、已知非零實數(shù)a，b滿足a?2?b?1?a?3?a?2，則

CBOD第4題圖

a?b等于（）

A－1B0C1D5、已知二次函數(shù)y?ax2?bx?c的圖象如下圖，有以下結(jié)論：①

Aa?b?c?0；②a?b?c?1；③abc?0；④4a?2b?c?0；⑤c?a?1其中所有正確

結(jié)論的序號是（）

A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤

6、如下圖，一般書本的紙張是在原紙張屢屢對開得到的，矩形ABCD沿EF對折后，再把矩形EFCD沿MN對開，依此類推，若各種開本的矩形都相像，那么

AD?（）ABA

2B2C3D22y11xA

第6題

第7題

1

D1A1

DB

(第10題)

B1

C1

?1OC

2?x?1?1?x≤3????7、已知函數(shù)y??，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為()

2???x?5??1?x＞3?A．0B．1C．2D．3

8、如圖，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，黑、白兩個甲殼蟲同時從A點出發(fā)，以相

同的速度分別沿棱向前爬行，黑甲殼蟲爬行的路線是AA1→A1D1→??，白甲殼蟲爬行的路線是AB→BB1→??，并且都遵循如下規(guī)則：所爬行的第n?2與第n條棱所在的直線必需是既不平行也不相交（其中n是正整數(shù)）．那么當(dāng)黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2023條棱分別中止在所到的正方體頂點處時，它們之間的距離是（）

A0B1C

2D3

二、填空題（每題5分，共40分）9、若關(guān)于x，y的二元一次方程組?______．

10、設(shè)a?5?1，則代數(shù)式a?3a?2a?14的值為

11、讀一讀：式子“1+2+3+4+??+100〞表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和，由于式子比較長，書寫不便利，為了簡便起見，我們將其表示為

32?3x?y?1?a的解滿足x?y＜2，則a的取值范圍為

x?3y?3??n，這里“?n?1100〞是求和符號，

2023通過以上材料的閱讀，計算

?n?11=.

n(n?1)

12、在直角坐標(biāo)系中，點A是拋物線y=x2在其次象限上的點，連接OA，過點O作OB⊥OA，交拋物線于點B，以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC。如圖，當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為?則點B的坐標(biāo)為；

13、如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，DE是以點A為圓心2為半徑的

1時，21圓弧，4NB是以點M為圓心2為半徑的

為．

1圓弧，則圖中兩段弧之間的陰影部分的面積414、如圖，MN是O的直徑，MN?2，點A在O上，∠AMN?30，B為AN的中點，P是直徑MN上一動點，則PA?PB的最小值為。

ABMOP第14題

N

第12題第13題

2

15、如圖，已知動點A在函數(shù)y?4(x?0)的圖象上，AB?x軸于點B，AC?y軸于點xC，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點E，使AE=AC。直線DE分別交x軸于點P，Q。當(dāng)QE:DP?4:9時，圖中陰影部分的面積等于_______

16、在△ABC中，BC=6，S?ABC?12，B1C1所在四邊形是△ABC的內(nèi)接正方形，B2C2所在四邊形是△AB1C1的內(nèi)接正方形，B3C3所在四邊形是△AB2C2的內(nèi)接正方形，依此類推，則

BnCn的長為。

三、解答題：（共70分）

17、（10分）如圖，有長為24m的籬

B1AB2B3C3C2C1BC

笆，一面利用墻(墻的最大可用長度a為10m)，圍成中間隔有一道籬笆(平行于AB)的矩形花圃．設(shè)花圃的一邊AB為xm，面積為Sm．（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）要圍成面積為45m的花圃，AB的長是多少米？

22（3）能圍成面積比45m2更大的花圃嗎？假使

能，請求出最大面積，并說明圍法；如不能，請說明理由。

18、（12分）某人在電車路軌旁與路軌平行的路上騎車行走，他留意到每隔6分鐘有一部電車從他后面駛向前面，每隔2分鐘有一部電車從對面駛向后面。假設(shè)電車和此人行駛的速度都不變（分別為v1，v2表示），請你根據(jù)下面的示意圖，求電車每隔幾分鐘（用t表示）從車站開出一部？

19、（此題12分）閱讀理解：對于任意正實數(shù)a、b，

∵(a?b)2≥0，∴a?2ab?b≥0，∴a?b≥2ab，只有當(dāng)a＝b時，a?b=2ab．根據(jù)上述內(nèi)容，回復(fù)以下問題：

3

(1)若m＞0，只有當(dāng)m＝時，m?1有最小值．m（2）摸索應(yīng)用：已知，點Q（-3，-4）是反比例函數(shù)圖象y?k的一點，過點Q作QA⊥xxk軸于點A，作QB⊥y軸于點B,點P為反比例函數(shù)圖象y?(x＞0)上的任意一點，連

x接PA、PB，求四邊形AQBP面積的最小值，

（3）已知(x＞0)，則自變量x為何值時，函數(shù)y?少？

x取到最大值，最大值為多

x2?2x?2520、（12分）如圖，AB是半⊙O的直徑，點C是半圓弧的中點，點D是弧AC的中點，連結(jié)BD交AC、OC于點E、F。

（1）在圖中與△BOF相像的三角形有個；（2）求證：BE=2AD；（3）求

21、（12分）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點為C（1，4），交x軸于A、B兩點，

交y軸于點D，其中點B的坐標(biāo)為（3，0）。（1）求拋物線的解析式；

（2）過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，在x軸上找一點H，使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小。求出這個最小值及點G、H的坐標(biāo)。

22、（12分）如圖，扇形OMN的半徑為1，圓心角是90°．點B是MN上一動點，BA⊥OM于點A，BC⊥ON于點C，點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，GF與CE相交于點P，DE與AG相交于點Q．（1）求證：四邊形EPGQ是平行四邊形；

（2）摸索當(dāng)OA的長為何值時，四邊形EPGQ是矩形；（3）連結(jié)PQ，求3PQ2?OA2的值．

DE的值。BE4

九年級試題

參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：

1、B2、C3、D4、D5、C6、B7、D8、A二、填空題：

9、a＜410、202311、

nn?1202312、202313?317?13、214、15、2,??3?24?12?2?2?16、6???或

5n?5?

三、解答題：

17、（10分）解：（1）∵BC=24?3x，

∴S?x?24?3x???3x2?24x，由0＜24?3x≤10，得

14?x＜8。（3分）32（2）由s?45，得x?8x?15?0，∴x1?3（舍去），x2?5，

∴AB=5。（3分）

14?x＜8，3142∴x?時，s有最大值是46。（4分）

33142故能圍成面積比45m更大的花圃，圍法是花圃的長為10m，寬為m。

3（3）S??3?x?4??48，∵

218、（12分）解：根據(jù)題意得：

?6(u1?u2)?u1t（5分），解得u1?2u2．（3）?2(u?u)?ut?121∴t?3（分鐘）（3分）

答：電車每隔3分鐘從車站開出一部．（1分）19、（12分）(1)1，2．（4分）（2）解：由題意得，SAQBO?3?4?12，反比例函數(shù)解析式為y?連接PO，過點P作PM⊥x軸于點M，作PN⊥y軸于點N,設(shè)點

12，（1分）xy12P的坐標(biāo)為(x，)

x111218?，∴S△AOP??AO?PM??3?22xx11S△BOP??BO?PN??4?x?2x

2218SAQBP?SAQBO?S△AOP?S△BOP?2x??12

xBAQNOPxM

5

18，時SAQBP的面積最小，解得x1?3,x2??3(舍去）x18?12?24∴當(dāng)x=3時，SAQBP?2?3?3當(dāng)2x?∴四邊形AQBP面積的最小值為24。（3分）

x2?2x?2525?x?2?（3）設(shè)y??（2分）xx當(dāng)x?251?，∴當(dāng)x=5時，y最小?=8∴當(dāng)x=5時，y最大?（2分）時y最小8x20、（12分）解：（1）△BAD；△EAD；△BEC。（3分）

（2）延長AD與BC相交于G，∵點C是半圓弧的中點，點D是弧AC的中點，∴∠CBE=∠GAC，∠BCE=∠ACG=90°，AC=BC，則△ACG≌△BCE

∴BE=AG，而AG=2AD，∴BE=2AD。（5分）（3）連結(jié)OD交AC于點H，則OD⊥AC，∴DH∥BC，∴△DHE≌△BCE，∴

DEDH=BEBC設(shè)BC=2，則OD=OB=2，∴OH=1，DH=2?1，

∴

2?1DE=。（4分）BE22

21、（12分）解：（1）設(shè)y＝a(x－1)＋4，將點B（3，0）代入解得：a＝－1∴所求拋物線的解析式為：y＝－(x－1)＋4（4分）（2）如圖，在y軸的負(fù)半軸上取一點I，使得點F與點I關(guān)于x軸對稱，在x軸上取一點H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF＝HI①設(shè)過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y＝kx＋b（k≠0），

∵點E在拋物線上且點E的橫坐標(biāo)為2，將x＝2代入拋物線y＝－(x－1)＋4，得

2

2

y＝－(2－1)2＋4＝3∴點E坐標(biāo)為（2，3）

又∵拋物線y＝－(x－1)＋4圖像分別與x軸、y軸交于點A、B、D∴當(dāng)y＝0時，－(x－1)＋4＝0，∴x＝－1或x＝3當(dāng)x＝0時，y＝－1＋4＝3,

∴點A（－1，0），點B（3，0），點D（0，3）（2分）又∵拋物線的對稱軸為：直線x＝1，

∴點D與點E關(guān)于PQ對稱，GD＝GE②分別將點A（－1，0）、點E（2，3）代入y＝kx＋b，得：?22

yPCDEFAOIHGBQx

??k?b?0?k?1解得：?

?b?1?2k?b?36

圖6

過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y＝x＋1（2分）∴當(dāng)x＝0時，y＝1∴點F坐標(biāo)為（0，1）

∴DF?2③，又∵點F與點I關(guān)于x軸對稱，

∴點I坐標(biāo)為（0，－1），∴EI?DE2?DI2?22?42?25④又∵要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，∴只要使DG＋GH＋HI最小即可由圖形的對稱性和①、②、③，可知，DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI，只有當(dāng)EI為一條直線時，EG＋GH＋HI最小

設(shè)過E（2，3）、I（0，－1）兩點的函數(shù)解析式為：y＝k1x＋b1（k1≠0），分別將點E（2，3）、點I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：

yC?2k?b?3?k?2?11解得：?1?b1??1?b1??1過I、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y＝2x－1∴當(dāng)x＝1時，y＝1；當(dāng)y＝0時，x＝

TDN1；2AO1∴點G坐標(biāo)為（1，1），點H坐標(biāo)為（，0）

2∴四邊形DFHG的周長最小為：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI由③和④，可知：DF＋EI＝2?25∴四邊形DFHG的周長最小為2?25。（4分）

N

22、（12分）解：（1）證明：如圖①，∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，∴四邊形OABC是矩形．∴AB//OC,AB?OC．∵E、G分別是AB、CO的中點，∴AE//GC,AE?GC.

∴四邊形AECG為平行四邊形.

∴CE//AG.???????????4分連接OB，

∵點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，

∴四邊形EPGQ是平行四邊形；（4分）（2）如