2023九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

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九年級(jí)數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（每題5分，共40分）1、一同學(xué)根據(jù)下表，作了四個(gè)推測(cè)：x1x?22?3x①2?lO1.21001000100001.021.0021.0002?x?2x?2?x?0?的值隨著x的增大越來(lái)越?。虎???x?0?的值有可能等于1；xxx?2x?2③2?④2??x?0?的值隨著x的增大越來(lái)越接近于1；?x?0?的值最大值是3．

xx則推測(cè)正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C．3個(gè)D.4個(gè)

2、如圖，XX路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直。假使小明站在南京路與八一街的交織口，準(zhǔn)備去書(shū)店，按圖中的街道行走，最近的路程約為（）A500mB525mC575mD625m3、如圖，在⊙O中，CD?DA?AB，給出以下三個(gè)結(jié)論：

第3題圖

（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）當(dāng)∠BDC=30°時(shí)，∠DAB=80°．其中正確的個(gè)數(shù)是()

A0B1C2D3

4、已知非零實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a?2?b?1?a?3?a?2，則

CBOD第4題圖

a?b等于（）

A－1B0C1D5、已知二次函數(shù)y?ax2?bx?c的圖象如下圖，有以下結(jié)論：①

Aa?b?c?0；②a?b?c?1；③abc?0；④4a?2b?c?0；⑤c?a?1其中所有正確

結(jié)論的序號(hào)是（）

A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤

6、如下圖，一般書(shū)本的紙張是在原紙張屢屢對(duì)開(kāi)得到的，矩形ABCD沿EF對(duì)折后，再把矩形EFCD沿MN對(duì)開(kāi)，依此類(lèi)推，若各種開(kāi)本的矩形都相像，那么

AD?（）ABA

2B2C3D22y11xA

第6題

第7題

1

D1A1

DB

(第10題)

B1

C1

?1OC

2?x?1?1?x≤3????7、已知函數(shù)y??，則使y=k成立的x值恰好有三個(gè)，則k的值為()

2???x?5??1?x＞3?A．0B．1C．2D．3

8、如圖，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，黑、白兩個(gè)甲殼蟲(chóng)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，以相

同的速度分別沿棱向前爬行，黑甲殼蟲(chóng)爬行的路線(xiàn)是AA1→A1D1→??，白甲殼蟲(chóng)爬行的路線(xiàn)是AB→BB1→??，并且都遵循如下規(guī)則：所爬行的第n?2與第n條棱所在的直線(xiàn)必需是既不平行也不相交（其中n是正整數(shù)）．那么當(dāng)黑、白兩個(gè)甲殼蟲(chóng)各爬行完第2023條棱分別中止在所到的正方體頂點(diǎn)處時(shí)，它們之間的距離是（）

A0B1C

2D3

二、填空題（每題5分，共40分）9、若關(guān)于x，y的二元一次方程組?______．

10、設(shè)a?5?1，則代數(shù)式a?3a?2a?14的值為

11、讀一讀：式子“1+2+3+4+??+100〞表示從1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，由于式子比較長(zhǎng)，書(shū)寫(xiě)不便利，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們將其表示為

32?3x?y?1?a的解滿(mǎn)足x?y＜2，則a的取值范圍為

x?3y?3??n，這里“?n?1100〞是求和符號(hào)，

2023通過(guò)以上材料的閱讀，計(jì)算

?n?11=.

n(n?1)

12、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線(xiàn)y=x2在其次象限上的點(diǎn)，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OB⊥OA，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC。如圖，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為?則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

13、如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，DE是以點(diǎn)A為圓心2為半徑的

1時(shí)，21圓弧，4NB是以點(diǎn)M為圓心2為半徑的

為．

1圓弧，則圖中兩段弧之間的陰影部分的面積414、如圖，MN是O的直徑，MN?2，點(diǎn)A在O上，∠AMN?30，B為AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA?PB的最小值為。

ABMOP第14題

N

第12題第13題

2

15、如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A在函數(shù)y?4(x?0)的圖象上，AB?x軸于點(diǎn)B，AC?y軸于點(diǎn)xC，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D，使AD=AB，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使AE=AC。直線(xiàn)DE分別交x軸于點(diǎn)P，Q。當(dāng)QE:DP?4:9時(shí)，圖中陰影部分的面積等于_______

16、在△ABC中，BC=6，S?ABC?12，B1C1所在四邊形是△ABC的內(nèi)接正方形，B2C2所在四邊形是△AB1C1的內(nèi)接正方形，B3C3所在四邊形是△AB2C2的內(nèi)接正方形，依此類(lèi)推，則

BnCn的長(zhǎng)為。

三、解答題：（共70分）

17、（10分）如圖，有長(zhǎng)為24m的籬

B1AB2B3C3C2C1BC

笆，一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度a為10m)，圍成中間隔有一道籬笆(平行于AB)的矩形花圃．設(shè)花圃的一邊AB為xm，面積為Sm．（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）要圍成面積為45m的花圃，AB的長(zhǎng)是多少米？

22（3）能?chē)擅娣e比45m2更大的花圃嗎？假使

能，請(qǐng)求出最大面積，并說(shuō)明圍法；如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

18、（12分）某人在電車(chē)路軌旁與路軌平行的路上騎車(chē)行走，他留意到每隔6分鐘有一部電車(chē)從他后面駛向前面，每隔2分鐘有一部電車(chē)從對(duì)面駛向后面。假設(shè)電車(chē)和此人行駛的速度都不變（分別為v1，v2表示），請(qǐng)你根據(jù)下面的示意圖，求電車(chē)每隔幾分鐘（用t表示）從車(chē)站開(kāi)出一部？

19、（此題12分）閱讀理解：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，

∵(a?b)2≥0，∴a?2ab?b≥0，∴a?b≥2ab，只有當(dāng)a＝b時(shí)，a?b=2ab．根據(jù)上述內(nèi)容，回復(fù)以下問(wèn)題：

3

(1)若m＞0，只有當(dāng)m＝時(shí)，m?1有最小值．m（2）摸索應(yīng)用：已知，點(diǎn)Q（-3，-4）是反比例函數(shù)圖象y?k的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QA⊥xxk軸于點(diǎn)A，作QB⊥y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象y?(x＞0)上的任意一點(diǎn)，連

x接PA、PB，求四邊形AQBP面積的最小值，

（3）已知(x＞0)，則自變量x為何值時(shí)，函數(shù)y?少？

x取到最大值，最大值為多

x2?2x?2520、（12分）如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C是半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，連結(jié)BD交AC、OC于點(diǎn)E、F。

（1）在圖中與△BOF相像的三角形有個(gè)；（2）求證：BE=2AD；（3）求

21、（12分）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，

交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）。（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線(xiàn)PQ為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)G為直線(xiàn)PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上找一點(diǎn)H，使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小。求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)。

22、（12分）如圖，扇形OMN的半徑為1，圓心角是90°．點(diǎn)B是MN上一動(dòng)點(diǎn)，BA⊥OM于點(diǎn)A，BC⊥ON于點(diǎn)C，點(diǎn)D、E、F、G分別是線(xiàn)段OA、AB、BC、CO的中點(diǎn)，GF與CE相交于點(diǎn)P，DE與AG相交于點(diǎn)Q．（1）求證：四邊形EPGQ是平行四邊形；

（2）摸索當(dāng)OA的長(zhǎng)為何值時(shí)，四邊形EPGQ是矩形；（3）連結(jié)PQ，求3PQ2?OA2的值．

DE的值。BE4

九年級(jí)試題

參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：

1、B2、C3、D4、D5、C6、B7、D8、A二、填空題：

9、a＜410、202311、

nn?1202312、202313?317?13、214、15、2,??3?24?12?2?2?16、6???或

5n?5?

三、解答題：

17、（10分）解：（1）∵BC=24?3x，

∴S?x?24?3x???3x2?24x，由0＜24?3x≤10，得

14?x＜8。（3分）32（2）由s?45，得x?8x?15?0，∴x1?3（舍去），x2?5，

∴AB=5。（3分）

14?x＜8，3142∴x?時(shí)，s有最大值是46。（4分）

33142故能?chē)擅娣e比45m更大的花圃，圍法是花圃的長(zhǎng)為10m，寬為m。

3（3）S??3?x?4??48，∵

218、（12分）解：根據(jù)題意得：

?6(u1?u2)?u1t（5分），解得u1?2u2．（3）?2(u?u)?ut?121∴t?3（分鐘）（3分）

答：電車(chē)每隔3分鐘從車(chē)站開(kāi)出一部．（1分）19、（12分）(1)1，2．（4分）（2）解：由題意得，SAQBO?3?4?12，反比例函數(shù)解析式為y?連接PO，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，作PN⊥y軸于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)

12，（1分）xy12P的坐標(biāo)為(x，)

x111218?，∴S△AOP??AO?PM??3?22xx11S△BOP??BO?PN??4?x?2x

2218SAQBP?SAQBO?S△AOP?S△BOP?2x??12

xBAQNOPxM

5

18，時(shí)SAQBP的面積最小，解得x1?3,x2??3(舍去）x18?12?24∴當(dāng)x=3時(shí)，SAQBP?2?3?3當(dāng)2x?∴四邊形AQBP面積的最小值為24。（3分）

x2?2x?2525?x?2?（3）設(shè)y??（2分）xx當(dāng)x?251?，∴當(dāng)x=5時(shí)，y最小?=8∴當(dāng)x=5時(shí)，y最大?（2分）時(shí)y最小8x20、（12分）解：（1）△BAD；△EAD；△BEC。（3分）

（2）延長(zhǎng)AD與BC相交于G，∵點(diǎn)C是半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，∴∠CBE=∠GAC，∠BCE=∠ACG=90°，AC=BC，則△ACG≌△BCE

∴BE=AG，而AG=2AD，∴BE=2AD。（5分）（3）連結(jié)OD交AC于點(diǎn)H，則OD⊥AC，∴DH∥BC，∴△DHE≌△BCE，∴

DEDH=BEBC設(shè)BC=2，則OD=OB=2，∴OH=1，DH=2?1，

∴

2?1DE=。（4分）BE22

21、（12分）解：（1）設(shè)y＝a(x－1)＋4，將點(diǎn)B（3，0）代入解得：a＝－1∴所求拋物線(xiàn)的解析式為：y＝－(x－1)＋4（4分）（2）如圖，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，在x軸上取一點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF＝HI①設(shè)過(guò)A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y＝kx＋b（k≠0），

∵點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，將x＝2代入拋物線(xiàn)y＝－(x－1)＋4，得

2

2

y＝－(2－1)2＋4＝3∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3）

又∵拋物線(xiàn)y＝－(x－1)＋4圖像分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B、D∴當(dāng)y＝0時(shí)，－(x－1)＋4＝0，∴x＝－1或x＝3當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－1＋4＝3,

∴點(diǎn)A（－1，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D（0，3）（2分）又∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：直線(xiàn)x＝1，

∴點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱(chēng)，GD＝GE②分別將點(diǎn)A（－1，0）、點(diǎn)E（2，3）代入y＝kx＋b，得：?22

yPCDEFAOIHGBQx

??k?b?0?k?1解得：?

?b?1?2k?b?36

圖6

過(guò)A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y＝x＋1（2分）∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）

∴DF?2③，又∵點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

∴點(diǎn)I坐標(biāo)為（0，－1），∴EI?DE2?DI2?22?42?25④又∵要使四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小，由于DF是一個(gè)定值，∴只要使DG＋GH＋HI最小即可由圖形的對(duì)稱(chēng)性和①、②、③，可知，DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI，只有當(dāng)EI為一條直線(xiàn)時(shí)，EG＋GH＋HI最小

設(shè)過(guò)E（2，3）、I（0，－1）兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為：y＝k1x＋b1（k1≠0），分別將點(diǎn)E（2，3）、點(diǎn)I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：

yC?2k?b?3?k?2?11解得：?1?b1??1?b1??1過(guò)I、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y＝2x－1∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝

TDN1；2AO1∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)H坐標(biāo)為（，0）

2∴四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI由③和④，可知：DF＋EI＝2?25∴四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為2?25。（4分）

N

22、（12分）解：（1）證明：如圖①，∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，∴四邊形OABC是矩形．∴AB//OC,AB?OC．∵E、G分別是AB、CO的中點(diǎn)，∴AE//GC,AE?GC.

∴四邊形AECG為平行四邊形.

∴CE//AG.???????????4分連接OB，

∵點(diǎn)D、E、F、G分別是線(xiàn)段OA、AB、BC、CO的中點(diǎn)，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，

∴四邊形EPGQ是平行四邊形；（4分）（2）如