彈性力學(xué)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)

彈性力學(xué)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)第1頁(yè)/共98頁(yè)§10-1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中應(yīng)力和位移§10-2扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬§10-3橢圓截面的扭轉(zhuǎn)§10-4矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)§10-5薄壁桿的扭轉(zhuǎn)§10-6扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的差分解主要內(nèi)容

第2頁(yè)/共98頁(yè)§10-1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中應(yīng)力和位移問(wèn)題：（1）等截面直桿，截面形狀可以任意；（2）兩端受有大小相等轉(zhuǎn)向相反的扭矩M；求：桿件內(nèi)的應(yīng)力與位移？1.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)求解方法：按應(yīng)力求解；半逆解法（3）兩端無(wú)約束，為自由扭轉(zhuǎn)，不計(jì)體力

；材料力學(xué)結(jié)果：（1）（∵自由扭轉(zhuǎn)）（2）側(cè)表面：（10-1）扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的未知量：——為三向應(yīng)力狀態(tài)，且不是軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題?！刹牧狭W(xué)中某些結(jié)果出發(fā)，求解。第3頁(yè)/共98頁(yè)扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的基本方程平衡方程：（8-1）將式（10-1）代入，得：（a）——扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的平衡方程相容方程：第4頁(yè)/共98頁(yè)相容方程：（9-32）——扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的相容方程（c）邊界條件：（1）側(cè)面：（2）端面：（∵n=0,）（b）（d）（e）（f）第5頁(yè)/共98頁(yè)（a）（b）——扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的相容方程——平衡方程基本方程的求解由式（a）的前二式，得——二元函數(shù)由式（a）的第三式，得由微分方程理論，可知：一定存在一函數(shù)（x，y），使得：于是有：（10-2）（x，y）——扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)也稱(chēng)普朗特爾(Prandtl)應(yīng)力函數(shù)第6頁(yè)/共98頁(yè)（10-2）（b）——扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的相容方程將式（10-2）代入相容方程（b），有（10-3）由此可解得：——用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式中：C為常數(shù)。結(jié)論：等直桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題歸結(jié)為：按相容方程（10-3）確定應(yīng)力函數(shù)（x，y），然后按式（10-2）確定應(yīng)力分量，并使其滿(mǎn)足邊界條件。第7頁(yè)/共98頁(yè)定解條件——邊界條件（1）側(cè)表面：（8-5）0000000000將、

l、m代入上述邊界條件，有第8頁(yè)/共98頁(yè)（10-2）

又由式（10-2），應(yīng)力函數(shù)差一常數(shù)不影響應(yīng)力分量的大小，表明：在桿件的側(cè)面上（橫截面的邊界上），應(yīng)力函數(shù)應(yīng)取常數(shù)。（10-4）——扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的定解條件之一。

對(duì)于多連體（空心桿）問(wèn)題，在每一邊界上均為常數(shù)，但各個(gè)常數(shù)一般不相等，因此，只能將其中的一個(gè)邊界上取s=0，而其余邊界上則取不同的常數(shù)，如：于是對(duì)單連體（實(shí)心桿）可取：Ci

——由位移單值條件確定。第9頁(yè)/共98頁(yè)（2）上端面：（8-5）00000000由圣維南原理轉(zhuǎn)化為：（c）（d）（e）第10頁(yè)/共98頁(yè)（c）（d）（e）對(duì)式（c），應(yīng)有同理，對(duì)式（d），應(yīng)有對(duì)式（e）：第11頁(yè)/共98頁(yè)分部積分，得：同理，得：將其代入式（e）：得到：（10-5）yCD第12頁(yè)/共98頁(yè)結(jié)論：等直桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題歸結(jié)為解下列方程：（10-3）泛定方程：定解條件：（10-4）（10-5）應(yīng)力分量：（10-2）——應(yīng)力函數(shù)法（10-5）對(duì)多連體情形，有其中：——分別為第i個(gè)內(nèi)邊界上φ的值和第i個(gè)內(nèi)邊界所圍的面積。第13頁(yè)/共98頁(yè)2.扭轉(zhuǎn)的位移與變形由物理方程，得：再幾何方程方程代入，有（f）積分前三式，有代入后三式，有第14頁(yè)/共98頁(yè)又由：得：從中求得：代入f1、f2和u、v得：其中：u0、v0、x、y、z

和以前相同，代表剛體位移。

若不計(jì)剛體位移，只保留與變形有關(guān)的位移，則有（10-6）將其用極坐標(biāo)表示：由將式（10-6）代入，有：由此可見(jiàn)：對(duì)每個(gè)橫截面（z=常數(shù)）它在xy面上的投影形狀不變，而只是轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度=Kz。K

——單位長(zhǎng)度桿件的扭轉(zhuǎn)角

。第15頁(yè)/共98頁(yè)（10-6）將其代入：有：將兩式相減，得：（10-7）（10-8）將其對(duì)照式（10-3）：（10-3）可見(jiàn)：（10-9）實(shí)際問(wèn)題中，K可通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得。第16頁(yè)/共98頁(yè)小結(jié)：平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.扭轉(zhuǎn)問(wèn)題應(yīng)力的求解（10-2）（x，y）——扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)——(Prandtl)應(yīng)力函數(shù)（10-3）（10-4）（10-5）應(yīng)力函數(shù)的確定——側(cè)面邊界條件——桿端邊界條件——相容方程1.扭轉(zhuǎn)問(wèn)題按應(yīng)力求解的基本方程——應(yīng)力函數(shù)法應(yīng)力的確定第17頁(yè)/共98頁(yè)（10-6）K

——單位長(zhǎng)度桿件的扭轉(zhuǎn)角（10-7）3.扭轉(zhuǎn)問(wèn)題桿件位移與變形——桿件的抗扭剛度或：——扭轉(zhuǎn)桿件的變形——扭轉(zhuǎn)桿件的位移第18頁(yè)/共98頁(yè)本章前面內(nèi)容回顧：平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.扭轉(zhuǎn)問(wèn)題應(yīng)力的求解（10-2）（x，y）——扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)——(Prandtl)應(yīng)力函數(shù)（10-3）（10-4）（10-5）應(yīng)力函數(shù)的確定——側(cè)面邊界條件——桿端邊界條件——相容方程1.扭轉(zhuǎn)問(wèn)題按應(yīng)力求解的基本方程——應(yīng)力函數(shù)法應(yīng)力的確定第19頁(yè)/共98頁(yè)（10-6）K

——單位長(zhǎng)度桿件的扭轉(zhuǎn)角（10-7）3.扭轉(zhuǎn)問(wèn)題桿件位移與變形——桿件的抗扭剛度或：——扭轉(zhuǎn)桿件的變形——扭轉(zhuǎn)桿件的位移第20頁(yè)/共98頁(yè)§10-3橢圓截面的扭轉(zhuǎn)xyOab1.問(wèn)題的描述橢圓截面直桿：長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b，受扭矩M

作用。求：桿中的應(yīng)力與位移。2.問(wèn)題的求解求應(yīng)力函數(shù)根據(jù)：（10-4）及橢圓截面方程：可假設(shè)：（a）（b）式中：m為待定常數(shù)。將其代入方程（10-3）：得到：（c）利用方程（10-5）：第21頁(yè)/共98頁(yè)xyOab（c）利用方程（10-5）：（d）式中：代入式（d）,有：可求得：（e）第22頁(yè)/共98頁(yè)xyOab（e）（c）將其代入式（e）,得：（f）至此，滿(mǎn)足所有的條件：（10-4）（10-3）（10-5）求剪應(yīng)力（1）剪應(yīng)力分量：（10-12）（2）合剪應(yīng)力：（10-13）第23頁(yè)/共98頁(yè)求剪應(yīng)力（1）剪應(yīng)力分量：（10-12）（2）合剪應(yīng)力：（10-13）（3）最大、最小剪應(yīng)力：對(duì)上式求極值，當(dāng)xyOabABCD（10-14）

當(dāng)a=b時(shí)，與材料力學(xué)中圓截面結(jié)果相同。第24頁(yè)/共98頁(yè)求桿的形變與位移xyOabABCD由得到：（10-15）——桿件單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角位移分量由（10-6）（10-16）（10-7）可求得：由式（10-7）和式（f）:（f）第25頁(yè)/共98頁(yè)xyOabABCD比較兩式，得：對(duì)其分別積分，得：式中：w0為常數(shù)，代表剛體位移。若不計(jì)剛體位移，則有：（10-17）表明：（1）扭桿的橫截面并不保持平面，而翹曲成曲面。（2）曲面的等高線(xiàn)在xy面上的投影為雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)為x、y軸。（3）僅當(dāng)a=b時(shí)（圓截面桿），才有w=0，橫截面保持平面。第26頁(yè)/共98頁(yè)xyOabABCD討論：

應(yīng)力函數(shù)的選取——可利用桿截面的邊界方程，如：（a）橢圓：——邊界曲線(xiàn)方程——應(yīng)力函數(shù)（b）等邊三角形：=常數(shù)（c）帶半圓槽的桿：小圓：大圓：=常數(shù)第27頁(yè)/共98頁(yè)（d）矩形截面桿：yxOAa/2a/24條邊界的方程為：假設(shè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)為：≠常數(shù)表明：——上述函數(shù)不能作為扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)。第28頁(yè)/共98頁(yè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的求解方法小結(jié):根據(jù)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)在側(cè)面邊界上應(yīng)滿(mǎn)足：半逆解法:由扭轉(zhuǎn)桿件截面邊界給出的方程：設(shè)定:扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)為：——顯然，滿(mǎn)足側(cè)面的邊界條件判斷：扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)是否滿(mǎn)足：若滿(mǎn)足，則由此確定待定常數(shù)m，得應(yīng)力函數(shù)(x,y)。如：橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)(x,y)xyOab橢圓截面方程：可假設(shè)：第29頁(yè)/共98頁(yè)如：等邊三角形截面桿的應(yīng)力函數(shù)(x,y)等邊三角形截面邊界方程：可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y)：=常數(shù)如：帶半圓槽截面桿的應(yīng)力函數(shù)(x,y)小圓：大圓：=常數(shù)可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y)：注意：半逆解法不是對(duì)所有情形都適用。如：對(duì)矩形截面桿不適用。第30頁(yè)/共98頁(yè)（10-3）（10-4）（10-5）——側(cè)面邊界條件——桿端邊界條件——相容方程第31頁(yè)/共98頁(yè)例：圖示空心圓截面桿件，外半徑為a，內(nèi)半徑為b，試求其扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力及位移。解：求應(yīng)力函數(shù)abxy

為使在外邊界上的值為零，內(nèi)邊界上的值為常數(shù)，可?。海?）

由端部邊界條件式（10-5）′得：于是，得（2）第32頁(yè)/共98頁(yè)abxy（3）求剪應(yīng)力（4）（5）求變形與位移單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：第33頁(yè)/共98頁(yè)abxy位移分量：（10-6）（10-7）由：——?jiǎng)傮w位移由于變形引起的軸向位移：即平面保持平面假設(shè)成立。第34頁(yè)/共98頁(yè)例：圖示空心橢圓截面桿件，邊界的方程分別為：試求其扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力及位移。內(nèi)邊界：外邊界：（作為作業(yè)題）第35頁(yè)/共98頁(yè)T§10-2扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬1.薄膜比擬概念比擬的概念：如果兩個(gè)物理現(xiàn)象，具有以下相似點(diǎn)：（1）泛定方程；（2）定解條件；

則可舍去其物理量本身的物理意義，互相求解確定。扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬：——由普朗特爾（Prandtl.,L.）提出

薄膜在均勻壓力下的垂度z

，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中的應(yīng)力函數(shù)，在數(shù)學(xué)上相似（泛定方程相似、定解條件相似）。z因此，可用求薄膜垂度z變化規(guī)律的方法來(lái)解等截面桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題。——扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬方法。——為扭轉(zhuǎn)問(wèn)題提供了一種實(shí)驗(yàn)方法2.薄膜比擬方法第36頁(yè)/共98頁(yè)zT

設(shè)一均勻薄膜，張?jiān)谒竭吔缟?，水平邊界與某受扭桿件截面的邊界具有相同的形狀和大小，薄膜在微小的均勻壓力下，各點(diǎn)發(fā)生微小的垂度z

。有關(guān)薄膜假定：

不能受彎矩、扭矩、剪力作用，只能受張力T

（單位寬度的拉力）作用。2.薄膜比擬方法方法說(shuō)明：

取薄膜的一微小部分（abcd矩形），其受力如圖，ab邊上拉力：ab邊上拉力在

z

軸上投影：cd邊上拉力：cd邊上拉力在

z

軸上投影：ad邊上拉力：ab邊上拉力在

z

軸上投影：bc邊上拉力：bc邊上拉力在

z

軸上投影：第37頁(yè)/共98頁(yè)zT在

z

方向上外力：兩邊同除以dxdy，整理得：或：（10-10）邊界條件：（10-11）對(duì)于均布?jí)毫?，有：式?0-10）和（10-11）變?yōu)椋海╝）第38頁(yè)/共98頁(yè)zT（a）另一方面，扭轉(zhuǎn)問(wèn)題有：（10-8）（10-4）將式（10-8）、（10-4）改寫(xiě)為：（b）比較式（a）、（b）可見(jiàn)：

當(dāng)薄膜與扭桿橫截面具有相同的邊界時(shí)，變量：與決定于同樣的微分方程與邊界條件，因而，兩者應(yīng)有相同的解答。并有：（c）第39頁(yè)/共98頁(yè)zT3.扭矩M、截面上的剪應(yīng)力與薄膜體積、斜率的關(guān)系薄膜與邊界平面間的體積為：由式（c）:（c）得到:代入上式，有:由式（10-5）：得到：（d）

或扭矩M與薄膜體積的關(guān)系第40頁(yè)/共98頁(yè)截面剪應(yīng)力與薄膜斜率的關(guān)系z(mì)T

由可得：其中：薄膜垂度z

沿y方向的斜率。（e）（f）結(jié)論：

當(dāng)薄膜受均布?jí)毫作用時(shí)，使得：則得：（1）（2）（3）第41頁(yè)/共98頁(yè)zT結(jié)論：當(dāng)薄膜受均布?jí)毫作用時(shí)，使得：則得:（1）（2）（3）

由于x、y軸方向是可以取在扭桿橫截面上任意兩互相垂直的方向，因而可得到如下推論：

（1）在扭桿橫截面的某一點(diǎn)處，沿任一方向的剪應(yīng)力，就等于該薄膜在該點(diǎn)處沿垂直方向的斜率。

（2）扭桿橫截面的最大剪應(yīng)力，等于該薄膜的最大斜率。

注：最大剪應(yīng)力的方向，與該薄膜的最大斜率的方向垂直。第42頁(yè)/共98頁(yè)剪應(yīng)力環(huán)流公式：C

圖中曲線(xiàn)C為薄膜變形后的某一條等高線(xiàn)，B為等高線(xiàn)上某一點(diǎn)，C上有：=常數(shù)即，垂度z對(duì)曲線(xiàn)C的切向?qū)?shù)為零：對(duì)于扭轉(zhuǎn)桿件，沿曲線(xiàn)C有而：（10-2）(a)

等高線(xiàn)C上任一點(diǎn)B的剪應(yīng)力在法向上投影之和為零，即，B點(diǎn)的剪應(yīng)力方向必沿此等高線(xiàn)的切線(xiàn)方向。表明：

薄膜上的等高線(xiàn)C在邊界平面上投影，即為扭轉(zhuǎn)截面上剪應(yīng)力流線(xiàn)。——法向剪應(yīng)力——切向剪應(yīng)力第43頁(yè)/共98頁(yè)C由薄膜垂度與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系，得到：各點(diǎn)剪應(yīng)力與對(duì)應(yīng)薄膜在該點(diǎn)的最大斜率成正比，

等高線(xiàn)C上任一點(diǎn)B的剪應(yīng)力在法向上投影之和為零，即，B點(diǎn)的剪應(yīng)力方向必沿此等高線(xiàn)的切線(xiàn)方向。表明：

薄膜上的等高線(xiàn)C在邊界平面上投影，即為扭轉(zhuǎn)截面上剪應(yīng)力流線(xiàn)。——切向剪應(yīng)力而最大剪應(yīng)力的方向與薄膜在該點(diǎn)的最大斜率方向互相垂直。用等高線(xiàn)所在的平面截割薄膜，由其z方向平衡，其中：A為所截處等高線(xiàn)所圍的面積；為所截薄膜在等高線(xiàn)處的斜率。C第44頁(yè)/共98頁(yè)因?yàn)椋核裕校夯颍篊用等高線(xiàn)所在的平面截割薄膜，由其z方向平衡，其中：A為所截處等高線(xiàn)所圍的面積；為所截薄膜在等高線(xiàn)處的斜率。(b)將其代入式（b）,有(c)化簡(jiǎn)式（c）,有(d)——剪應(yīng)力環(huán)流公式

表明：

剪應(yīng)力沿流線(xiàn)的積分與桿件的單位扭轉(zhuǎn)角K、剪應(yīng)力流線(xiàn)所圍面積A成正比。第45頁(yè)/共98頁(yè)結(jié)論：扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)性質(zhì)1：截面內(nèi)任一點(diǎn)的總剪應(yīng)力必指向該點(diǎn)處應(yīng)力函數(shù)等值線(xiàn)的切線(xiàn)，其大小等于應(yīng)力函數(shù)的負(fù)梯度，即沿內(nèi)法線(xiàn)方向的導(dǎo)數(shù)值：性質(zhì)2：在應(yīng)力函數(shù)的閉合等值線(xiàn)上，剪應(yīng)力環(huán)量和等值線(xiàn)所圍的面積A成正比，即：——剪應(yīng)力環(huán)流公式剪應(yīng)力環(huán)量第46頁(yè)/共98頁(yè)§10-4矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)yxOAa/2a/21.問(wèn)題：圖示矩形截面桿：a、b、M

（1）

（2）兩種情形：a>>b；求：桿的應(yīng)力與位移。2.問(wèn)題的求解（1）a>>b情形：——狹長(zhǎng)矩形一般情形；求應(yīng)力函數(shù)∵a>>b，由薄膜比擬可以推斷，應(yīng)力函數(shù)

絕大部分截面幾乎不隨x變化，即不受短邊約束的影響，對(duì)應(yīng)的薄膜幾乎為一柱面?！嗫梢越频厝。憾鹤?yōu)椋簩?duì)上式積分，有利用邊界條件：第47頁(yè)/共98頁(yè)yxOAa/2a/2可求得：（a）利用式（10-5）：積分求得：（b）（c）求剪應(yīng)力（1）剪應(yīng)力分量：（10-18）（2）最大剪應(yīng)力：（10-19）第48頁(yè)/共98頁(yè)yxOAa/2a/2桿件的變形單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：由式（10-9）：（10-20）此時(shí)應(yīng)力函數(shù)可表示為：（d）（2）任意情形（a/b=任意值

）：求應(yīng)力函數(shù)基本方程與邊界條件：此時(shí)應(yīng)力函數(shù)為一般函數(shù)：求解思路：對(duì)狹長(zhǎng)矩形結(jié)果，進(jìn)行修正。將分解成兩部分，即：其中：1為狹長(zhǎng)矩形的應(yīng)力函數(shù)，即：（e）（f）（g）第49頁(yè)/共98頁(yè)yxOAa/2a/2（g）調(diào)整函數(shù)F，使其滿(mǎn)足邊界條件：將式（g）代入方程：得到：因?yàn)椋骸嘤校海╤）表明：F

應(yīng)為一調(diào)和函數(shù)。原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（i）

由問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性，F(xiàn)應(yīng)為x、y的偶函數(shù)。滿(mǎn)足上述條件的函數(shù)只能是：（j）第50頁(yè)/共98頁(yè)yxOAa/2a/2將式（j）代入式（i）第二式，得：原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（i）滿(mǎn)足上述條件的函數(shù)只能是：（j）將上式右邊為級(jí)數(shù)，并比較兩邊系數(shù)，有第51頁(yè)/共98頁(yè)yxOAa/2a/2代入函數(shù)F，有最后確定應(yīng)力函數(shù)為：（k）第52頁(yè)/共98頁(yè)求最大剪應(yīng)力：yxOAa/2a/2

由薄膜比擬可以斷定，最大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形橫截面長(zhǎng)邊的中點(diǎn)（如點(diǎn)A：x=0,y=b/2）,其大小為：（l）單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角K：應(yīng)用式（10-5）：第53頁(yè)/共98頁(yè)（m）代入式（l）,得最大剪應(yīng)力公式：yxOAa/2a/2（n）將上述兩公式表示成：(10-21)(10-22)式中：、1僅與a/b

有關(guān)，可列表查得。第54頁(yè)/共98頁(yè)系數(shù)、1

表：a/b1a/b11.00.1410.2083.00.2630.2671.20.1660.2194.00.2810.2821.50.1960.2315.00.2910.2912.00.2290.24610.00.3120.3122.50.2490.258∞0.3330.333正方形截面桿（a=b）翹曲后截面變形的等高線(xiàn)如圖：實(shí)線(xiàn)表示向上翹曲（凸）；虛線(xiàn)表示向下翹曲（凹）。第55頁(yè)/共98頁(yè)前面內(nèi)容小結(jié)：1.扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的基本方程平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.求解扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)法（10-2）（x，y）——扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)——(Prandtl)應(yīng)力函數(shù)引入一應(yīng)力函數(shù)（10-3）（10-4）（10-5）應(yīng)力函數(shù)的確定——側(cè)面邊界條件——桿端邊界條件——相容方程第56頁(yè)/共98頁(yè)（10-6）K

——單位長(zhǎng)度桿件的扭轉(zhuǎn)角（10-7）扭轉(zhuǎn)桿件位移及變形的確定——桿件的抗扭剛度3.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的求解方法根據(jù)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)在側(cè)面邊界上應(yīng)滿(mǎn)足：半逆解法：由扭轉(zhuǎn)桿件截面邊界給出的方程：第57頁(yè)/共98頁(yè)3.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的求解方法根據(jù)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)在側(cè)面邊界上應(yīng)滿(mǎn)足：半逆解法:由扭轉(zhuǎn)桿件截面邊界給出的方程：設(shè)定:扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)為：——顯然，滿(mǎn)足側(cè)面的邊界條件判斷：扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)是否滿(mǎn)足：若滿(mǎn)足，則由此確定待定常數(shù)m，得應(yīng)力函數(shù)(x,y)。如：橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)(x,y)xyOab橢圓截面方程：可假設(shè)：第58頁(yè)/共98頁(yè)如：等邊三角形截面桿的應(yīng)力函數(shù)(x,y)等邊三角形截面邊界方程：可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y)：=常數(shù)如：帶半圓槽截面桿的應(yīng)力函數(shù)(x,y)小圓：大圓：=常數(shù)可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y)：注意：半逆解法不是對(duì)所有情形都適用。如：對(duì)矩形截面桿不適用。第59頁(yè)/共98頁(yè)4.扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬理論理論依據(jù)薄膜的垂度z：（10-10）（10-11）應(yīng)力函數(shù):（10-3）（10-4）對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)薄膜受均布?jí)毫作用時(shí)，有（1）（2）（3）Tz（1）在扭桿橫截面的某一點(diǎn)處，沿任一方向的剪應(yīng)力，就等于該薄膜在該點(diǎn)處沿垂直方向的斜率。（2）扭桿橫截面的最大剪應(yīng)力，等于該薄膜的最大斜率。注：最大剪應(yīng)力的方向，與該薄膜的最大斜率的方向垂直。第60頁(yè)/共98頁(yè)5.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)性質(zhì)1：截面內(nèi)任一點(diǎn)的總剪應(yīng)力必指向該點(diǎn)處應(yīng)力函數(shù)等值線(xiàn)的切線(xiàn)，其大小等于應(yīng)力函數(shù)的負(fù)梯度，即沿內(nèi)法線(xiàn)方向的導(dǎo)數(shù)值：性質(zhì)2：在應(yīng)力函數(shù)的閉合等值線(xiàn)上，剪應(yīng)力環(huán)量和等值線(xiàn)所圍的面積A成正比，即：——剪應(yīng)力環(huán)流公式剪應(yīng)力環(huán)量C第61頁(yè)/共98頁(yè)6.矩形截面桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的確定（1）a>>b情形：剪應(yīng)力：（10-18）（2）最大剪應(yīng)力：（10-19）應(yīng)力函數(shù)：桿件的變形（10-20）第62頁(yè)/共98頁(yè)（2）a、b為一般情形：應(yīng)力函數(shù)剪應(yīng)力分量：(10-21)(10-22)桿件的變形式中：由有關(guān)手冊(cè)查表得。第63頁(yè)/共98頁(yè)矩形截面扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)求解（討論）：yxOAa/2a/2（對(duì)a、b為一般情況）（1）以狹長(zhǎng)矩形解為基礎(chǔ)：（2）在狹長(zhǎng)矩形解上疊加上調(diào)和函數(shù)：求出調(diào)和函數(shù)則所求應(yīng)力函數(shù)即為：分析：從微分方程求解方法的角度看：為非齊次方程（10-3）的一特解；求應(yīng)力函數(shù)（10-3）（10-4）（10-5）為對(duì)應(yīng)齊次方程：的通解。扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)求解的逆解法：第64頁(yè)/共98頁(yè)求應(yīng)力函數(shù)（10-3）（10-4）（10-5）扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)求解的逆解法：（1）求方程（10-3）的特解1，即在域內(nèi)滿(mǎn)足：如：（2）求方程（10-3）的齊次通解F(x,y)，即在域滿(mǎn)足：——F(x,y)為一調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)F(x,y)

的選?。河蓮?fù)變函數(shù)理論可知，復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部以及它們的任意線(xiàn)性組合均為調(diào)和函數(shù)（∵zn

為解析函數(shù)），（3）將特解1與齊次通解F(x,y)疊加，使其滿(mǎn)足邊界條件：均可作為方程（10-3）的齊次通解F(x,y)

。第65頁(yè)/共98頁(yè)如：橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)(x,y)：xyOab特解通解?。浩渲校築、m待定常數(shù)。全解適當(dāng)選取C、B，使其滿(mǎn)足：可求得：代入得：——同前面所求結(jié)果即：第66頁(yè)/共98頁(yè)扭轉(zhuǎn)問(wèn)題解題小結(jié)：（1）求應(yīng)力函數(shù)（10-3）（10-4）（10-5）

由式（10-4）及邊界的幾何形狀設(shè)定應(yīng)力函數(shù)，然后由式（10-3）、（10-5）確定待定常數(shù)。對(duì)多連體截面桿：（10-3）（10-4）′（10-5）′其中：（1）Ai

為第i個(gè)內(nèi)邊界所圍的面積;（2）i

為第i個(gè)內(nèi)邊界的值;第67頁(yè)/共98頁(yè)（3）求變形與位移單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：（10-9）位移分量：（10-6）（10-7）（2）求應(yīng)力分量和最大剪應(yīng)力（10-2）合剪應(yīng)力：第68頁(yè)/共98頁(yè)§10-5薄壁桿的扭轉(zhuǎn)1.開(kāi)口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)分類(lèi)：（1）開(kāi)口薄壁桿件；（2）閉口薄壁桿件?！獌H討論其自由扭轉(zhuǎn)。假定：（1）由于桿件壁厚b

很薄，可近似視其為狹長(zhǎng)矩形的組合；（2）曲的狹長(zhǎng)矩形與同長(zhǎng)度、寬度的直狹長(zhǎng)矩形差別不大。扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力與變形：

設(shè)ai、bi

分別為扭桿橫截面的第i個(gè)狹長(zhǎng)矩形的長(zhǎng)度和寬度，Mi為該矩形面積上承受的扭矩（為整個(gè)橫截面上扭矩的一部分），i

代表該矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力，K代表該扭桿的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，則狹長(zhǎng)矩形的結(jié)果，有第69頁(yè)/共98頁(yè)扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力與變形：

設(shè)ai、bi

分別為扭桿橫截面的第i個(gè)狹長(zhǎng)矩形的長(zhǎng)度和寬度，Mi為為該矩形面積上承受的扭矩（為整個(gè)橫截面上扭矩的一部分），i

代表該矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力，K代表該扭桿的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，則狹長(zhǎng)矩形的結(jié)果，有（a）（b）由式（b）得：（c）整個(gè)橫截面上的扭矩為：（d）比較式（c）與式（d），有：將上式代回式（a）（b），有：該矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力及桿件的扭轉(zhuǎn)角：第70頁(yè)/共98頁(yè)（10-23）（10-24）

由于每個(gè)狹長(zhǎng)矩形的扭轉(zhuǎn)角相同，所以整個(gè)橫截面的抗扭剛度為：

說(shuō)明：（1）式（10-23）給出的狹長(zhǎng)矩形中點(diǎn)處的應(yīng)力值精度較高；但兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形的連接處誤差較大，可能發(fā)生遠(yuǎn)大于中點(diǎn)處的應(yīng)力。——應(yīng)力集中。（2）連接處應(yīng)力隨連接圓角的半徑而變化，圖中給出胡斯（J.H.Huth）用差分法計(jì)算得到的結(jié)果。第71頁(yè)/共98頁(yè)2.閉口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力：——由薄膜比擬方法分析。方法說(shuō)明：

在薄壁桿橫截面的外邊界上張一薄膜，使得薄膜在外邊界上的垂度為零；

為使薄壁桿橫截面的內(nèi)邊界上的垂度為常量，假想在薄膜上粘一無(wú)重不變形的平板，平板的大小、形狀與橫截面的內(nèi)邊界相同；

由于桿壁的厚度很小，可以預(yù)料，沿壁的厚度方向薄膜的斜率可視為常量，如圖所示。

于是，桿壁厚度為處的剪應(yīng)力大?。ǖ扔诒∧さ男甭剩椋海╡）

由桿橫截面上的扭矩M與薄膜、桿橫截面所圍的體積間關(guān)系，有：（f）

式中：A為橫截面內(nèi)外界所圍面積的平均值。

由此得：

將其代入式（e），有：（10-25）第72頁(yè)/共98頁(yè)（10-25）顯然，其最大值發(fā)生在壁厚最小處，即：扭轉(zhuǎn)變形——單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角K考慮平板CD的平衡：

在桿壁中線(xiàn)取一微小長(zhǎng)度ds，該微段薄膜對(duì)平板的拉力為：Tds，它在z軸方向的投影：平板所受的壓力（z軸方向）為：由z軸方向力的平衡，即由式（f）可得：而:由此可得：第73頁(yè)/共98頁(yè)因而，可求得：（10-26）對(duì)于均勻厚度的閉口薄壁桿，

為常量，上式即變?yōu)椋海?0-27）式中：s為桿壁中線(xiàn)的全長(zhǎng)。

說(shuō)明：

（1）在截面的凹角處，局部的最大應(yīng)力max可能發(fā)生遠(yuǎn)大于式（10-25）給出的應(yīng)力值。

（2）局部最大應(yīng)力隨凹角處的圓弧半徑的增大而減小。桿的抗扭剛度：第74頁(yè)/共98頁(yè)例：如圖所示，開(kāi)口和閉口薄壁桿件，兩者的壁厚相同，試比較受扭時(shí)的剪應(yīng)與抗扭剛度。解：（1）開(kāi)口薄壁桿件剪應(yīng)力：由式（10-23）：得：抗扭剛度：由式：（2）閉口薄壁桿件剪應(yīng)力：由式（10-25）：由式（10-25）：抗扭剛度：第75頁(yè)/共98頁(yè)（3）兩者比較：剪應(yīng)力：設(shè)：抗扭剛度：可見(jiàn)：對(duì)于截面積大致相同的兩種薄壁桿，開(kāi)口剪應(yīng)力是閉口的15倍；閉口的抗扭剛度是開(kāi)口情形的75倍；結(jié)論：開(kāi)口薄壁桿件比閉口薄壁桿件的抗扭能力差。第76頁(yè)/共98頁(yè)橫截面有兩個(gè)孔的多連通域情況：由薄膜比擬方法，設(shè)1、2、3都很小，有（a）（b）由薄膜所圍體積與扭矩的關(guān)系，有（c）其中，A1、A2為閉曲線(xiàn)（虛線(xiàn)）C1、C2所圍的面積。又由剪應(yīng)力環(huán)流公式：得到：亦為常量，且有對(duì)于1、2、3為常量，（d）其中：第77頁(yè)/共98頁(yè)（b）（c）（d）其中：s1、s2、s3

分別為中心線(xiàn)ACB、BDA、BA的長(zhǎng)度。聯(lián)立求解式（b）、（c）、（d）得第78頁(yè)/共98頁(yè)聯(lián)立求解式（b）、（c）、（d）得或：其中：第79頁(yè)/共98頁(yè)例：如圖所示，均勻厚度

的閉口薄壁管，承受扭矩M作用，試求管中的剪應(yīng)力

與單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角K。解：ABCDEFA1A2s3s1s2由題意可知：第80頁(yè)/共98頁(yè)說(shuō)明：（1）當(dāng)截面形狀對(duì)隔板AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，隔板上剪應(yīng)力3=0。即扭矩

M

完全由蒙皮CDEF承受，隔板AB僅起保護(hù)截面形狀的作用。（2）例：如圖所示，均勻厚度

的閉口薄壁管，承受扭矩M作用，試求管中的剪應(yīng)力

與單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角K。解：ABCDEFA1A2s3s2由題意可知：s1用類(lèi)似方法可求截面上有多個(gè)孔洞的扭轉(zhuǎn)達(dá)問(wèn)題。第81頁(yè)/共98頁(yè)

小結(jié)：（1）開(kāi)口薄壁桿件：（10-23）（10-24）剪應(yīng)力：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：抗扭剛度：（2）閉口薄壁桿件：剪應(yīng)力：（10-25）單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：（10-26）（10-27）抗扭剛度：對(duì)于均勻厚度的閉口薄壁桿：對(duì)于均勻厚度的閉口薄壁桿：第82頁(yè)/共98頁(yè)例：如圖所示，為等厚雙連薄壁桿件，其右側(cè)豎壁開(kāi)一水平縫口，受有扭矩M作用，試求其最大剪應(yīng)力與單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角K。解：（1）閉口部分剪應(yīng)力：由式（10-23）：得：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：由式（10-25）：由式（10-26）：得：（2）開(kāi)口部分剪應(yīng)力：其中：M1為閉口部分上作用的扭矩，1、K1為閉