2022-2023學(xué)年云南省楚雄州高二年級上冊學(xué)期期末教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年云南省楚雄州高二上學(xué)期期末教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合交集的定義即可求解.【詳解】由，得，故選：B2．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限.故選：D3．已知數(shù)列，，，，…則該數(shù)列的第211項為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，觀察規(guī)律，寫出數(shù)列通項公式，可得答案.【詳解】由題意，該數(shù)列可表示為，該數(shù)列的通項公式為，所以，故選：A.4．已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，且，則的最小值為（

）A．8 B．16 C．11 D．26【答案】C【分析】根據(jù)，再結(jié)合圖形求解即可.【詳解】因為拋物線：，所以拋物線的準(zhǔn)線為，記拋物線的準(zhǔn)線為，作于，如圖所示：因為，，所以當(dāng)，，共線時，有最小值，最小值為.故選：C.5．已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用特殊值代入和函數(shù)的單調(diào)性判斷選項即可得到答案.【詳解】令，則，排除A，C選項；當(dāng)時，，，所以在為減函數(shù)，排除B選項.故選：D6．將自然數(shù)1，2，3，4，5，…按照下圖排列，我們將2，4，7，11，16，…都稱為“拐角數(shù)”，則第100個“拐角數(shù)”為（

）A．5050 B．5051 C．10100 D．10101【答案】B【分析】找出拐角數(shù)的規(guī)律：第1個“拐角數(shù)”為，第2個“拐角數(shù)”為，第3個“拐角數(shù)”為，按此規(guī)律即可求.【詳解】第1個“拐角數(shù)”為，第2個“拐角數(shù)”為，第3個“拐角數(shù)”為，……故第100個“拐角數(shù)”為，故選：B7．已知雙曲線：的頂點到一條漸近線的距離為實軸長的倍，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)點到直線距離公式可得，然后可得.【詳解】由題可知，點到直線為，所以所以，所以雙曲線的離心率故選：A8．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，若，則正整數(shù)的值為（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】B【分析】構(gòu)造等比數(shù)列，先求通項后求和，最后利用和放縮得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，化為.因為，所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，所以令因為，所以因為，所以所以.因為，所以正整數(shù)的值為2020.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：這道題通過構(gòu)造等比數(shù)列求得通項公式后，并不能按常規(guī)方法求和，利用和放縮最終得出結(jié)果.二、多選題9．2022年第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾舉行，這是第一次在阿拉伯地區(qū)舉辦，第一次在北半球冬季舉辦，也是最后一屆32支球隊參加的世界杯賽，它吸引了全世界的目光.現(xiàn)使用分層抽樣的方法，從到場觀看世界杯某場比賽的球迷中隨機抽取名，其中亞洲、歐洲、非洲、美洲球迷人數(shù)的比例為，若亞洲球迷抽到12人，則下列選項不正確的是（

）A．非洲球迷抽到15人 B．美洲球迷抽到8人C． D．歐洲球迷比美洲球迷多18人【答案】ABC【分析】根據(jù)題意得到，從而得到，在利用分層抽樣求解即可.【詳解】由，解得人，所以歐洲抽到人，非洲抽到人，美洲抽到人，歐洲球迷比美洲球迷多18人.故選：ABC10．已知橢圓：的焦點分別為，，為上的動點，則（

）A．的周長為 B．的最大值為C．的長軸長為 D．的離心率為【答案】CD【分析】依據(jù)橢圓方程計算，根據(jù)橢圓的性質(zhì)逐一計算各個選項可得結(jié)果.【詳解】對A，因為，，所以，，.因為焦點在軸上，所以的周長為，故A選項錯誤；對B，根據(jù)結(jié)論知的最大值為，故B選項錯誤；對C，長軸長為，故C選項正確；對D，離心率為，故D正確.故選：CD11．已知為偶函數(shù)，其圖象與直線的其中兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，，的最小值為，將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列選項正確的是（

）A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．是函數(shù)圖象的一個對稱中心D．若方程在上有兩個不等實根，則【答案】BD【分析】首先根據(jù)已知條件得到，對選項A，根據(jù)三角函數(shù)平移變換即可判斷A錯誤，對選項B，根據(jù)即可判斷B正確，對選項C，根據(jù)即可判斷C錯誤，對選項D，畫出的圖象即可得到答案.【詳解】因為的圖象與直線的兩個交點為兩個最高點，且的最小值為，所以的最小正周期，所以.因為為偶函數(shù)，且，所以，故.因為，所以A錯誤；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；因為，所以C錯誤；對選項D，當(dāng)時，，，即，，如圖所示：結(jié)合圖象可知，要使方程在上有兩個不等實根，則，所以D正確.故選：BD12．已知是數(shù)列的前項和，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由，可求得，時，，兩式相減可得，即可判斷A；由，可得，兩式相減即可判斷C；由，可得，從而可求得數(shù)列的通項公式，即可判斷B，求出即可判斷D.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，因為，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，兩式相減得，當(dāng)時，，所以，故A錯誤；因為，所以，當(dāng)時，，所以，故C錯誤；因為，所以，因為，所以從第二項起是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以，故B正確；，，所以，故D正確.故選：BD.三、填空題13．已知向量，滿足，，且，的夾角為45°，則______【答案】【分析】，結(jié)合數(shù)量積的公式代入數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】因為向量，滿足，，且，的夾角為45°，所以.故答案為：14．設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，.若，則______【答案】##0.4【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，，所以,故答案為：四、雙空題15．過直線：上一點向圓：作切線，切點為，則______；圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】

4

【分析】利用勾股定理即可求出切線長，求出圓心關(guān)于直線的對稱點，結(jié)合半徑一樣即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】圓：即，圓心，半徑為2，則圓心到直線的距離，又，所以當(dāng)時，.設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點為，則解得即，半徑為2，故圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：4；五、填空題16．若直線與單位圓（圓心在原點）和曲線均相切，則直線的一個方程可以是______【答案】（或，，，只需寫出一個答案即可）【分析】根據(jù)直線與圓，以及雙曲線相切，可根據(jù)點到直線的距離以及判別式進行聯(lián)立方程求解滿足題意的直線.【詳解】顯然直線存在斜率，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組,得因為直線與曲線相切，所以，即.因為直線與單位圓相切，所以聯(lián)立方程組解得，故直線的方程可能是，，，故答案為：六、解答題17．已知拋物線：的焦點為，是拋物線上的點，且.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于，兩點，且的中點為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線定義求值得拋物線的方程；（2）將，兩點的坐標(biāo)代入拋物線方程兩式相減結(jié)合的中點為求得直線的斜率為即可.【詳解】（1）因為，所以，故拋物線的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在，的中點不可能為，故直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的斜率為，，，，則兩式相減得，整理得因為的中點為，所以，所以，所以直線的方程為，即.18．設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，，.(1)求的面積及；(2)求.【答案】(1)面積為，(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角形的面積公式、余弦定理求得正確答案.（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角差的余弦公式求得正確答案.【詳解】（1）因為，則為銳角，所以，所以的面積為，因為，所以.（2）因為，，且，，為銳角，所以，，所以.19．已知在等差數(shù)列中，，.(1)求的通項公式；(2)正項數(shù)列的前項和為，若，，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】(1)設(shè)的公差為，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得.從而寫出通項公式.(2)由，，可推導(dǎo)出是首項，公比的等比數(shù)列，從而利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由，可得.因為，所以，所以.又因為，所以故.即.（2）因為，所以當(dāng)時，，所以，即.因為，所以是首項，公比的等比數(shù)列，故因為，所以，，兩式相減，可得，故.【點睛】錯位相減相減是本道題的核心考點和難點，準(zhǔn)確計算錯位相減后的求和是本題的易錯點.20．如圖，在四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，，.(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用題設(shè)條件與勾股定理證得，，從而由線面垂直判定定理證得平面，由此得證；（2）結(jié)合（1）中條件證得面，又求得到的距離，從而建立空間直角坐標(biāo)系得到各點的坐標(biāo)，先分別得到平面與平面的法向量，由此利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】（1）過作于點，連結(jié)，如圖，又因為，，則四邊形為矩形，在中，，，，因為為等邊三角形，所以，在中，，則，所以，在中，，，所以在中，，所以，又，平面，所以平面，又平面，故.（2）由（1）得，又，面，所以面，又平面，平面，所以，在中，，，，則到的距離為，以為坐標(biāo)原點，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，因為，，所以，令，得，取平面的一個法向量為，設(shè)二面角為，易知為銳角，則，故二面角的余弦值為.21．已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，其前項和為，求使成立的最小正整數(shù).【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得，進而知是等差數(shù)列，即可求解，（2）根據(jù)裂項求和可得，進而結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因為，所以因為，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，故（2）因為所以因為，所以，整理得因為在上單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時，，故使成立的最小正整數(shù)為6.22．已知橢圓：的右焦點為，為橢圓上一動點，的最大值為3，最小值為1，過的直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點.(1)若，求直線的斜率.(2)當(dāng)直線的斜率存在時，試判斷軸上是否存在一點，使.若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）直線方程與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立消，由韋達定理得到，，又，代入化簡，即可得到本題答案；（2）若，則，轉(zhuǎn)化并逐步化簡，即可得到本題答案.【詳解】（1）解：由題意知，解得，.因為，所以，所