多元函數(shù)微分學(xué)一

多元函數(shù)微分學(xué)一1第1頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四一、主要內(nèi)容定義2(點(diǎn)函數(shù))設(shè)D是n維空間中的一個點(diǎn)集,如果對于D中的每一個點(diǎn)P,按照一定的法則有確定的數(shù)u與之對應(yīng),則稱對應(yīng)法則是定義在D上的函數(shù).記為點(diǎn)集D稱為這個函數(shù)的定義域.第1節(jié)多元函數(shù)一.定義2第2頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四二.多元函數(shù)定義域定義域為符合實際意義的自變量取值的全體.實際問題中的函數(shù):自變量取值的全體.純數(shù)學(xué)問題的函數(shù):定義域為使運(yùn)算有意義的規(guī)定:分母不為0;負(fù)數(shù)不能開偶次方;0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù);正弦,余弦的絕對值不超過1;00無意義.3第3頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四記作定義2有成立.的極限.設(shè)二元函數(shù)P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).的定義義域為D,如果存在常數(shù)A,也記作三.多元函數(shù)的極限4第4頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四說明(1)定義中(2)二元函數(shù)的極限也叫(doublelimit)的方式是任意的；二重極限.5第5頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四

相同點(diǎn)多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要?定義相同.差異為必需是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨而多元函數(shù)于P0時,相同點(diǎn)和差異是什么條件是左右極限都存在且相等;都有極限,且相等.6第6頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四確定極限

關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)上去.不存在的方法則可斷言極限不存在;若極限值與k有關(guān),(1)(2)此時也可斷言找兩種不同趨近方式,但兩者不相等,處極限不存在.存在,沿直線7第7頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四四、多元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)二元函數(shù)則稱函數(shù)定義3P0(x0,y0)為D的聚點(diǎn),且P0∈D.如果連續(xù).如果函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(閉區(qū)域)D內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù),則稱函數(shù)在D內(nèi)連續(xù),或稱函數(shù)是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù).的定義域為D,8第8頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì)至少取得它的最大值和最小值各一次．介于這兩值之間的任何值至少一次．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值,則它在D上取得9第9頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四第2節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法定義存在,內(nèi)有定義，函數(shù)有相應(yīng)的增量如果極限則稱此極限為函數(shù)(稱為關(guān)于x的偏增量).記為對x的偏導(dǎo)數(shù),10第10頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四記為或同理,可定義函數(shù)為記為或?qū)的偏導(dǎo)數(shù),對y的偏導(dǎo)數(shù),11第11頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四那么這個偏導(dǎo)數(shù)仍是的二元函數(shù),它就稱為函數(shù)如果函數(shù)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡稱偏導(dǎo)數(shù)),記作或同理,可定義函數(shù)對自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)(簡稱偏導(dǎo)數(shù)),記作或在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,12第12頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論:

13第13頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)設(shè)則求多元函數(shù)對某個變元的偏導(dǎo)數(shù)時,作關(guān)于該變元的一元函數(shù)來求導(dǎo)即可.只要把其他變元當(dāng)作常量,而把函數(shù)當(dāng)14第14頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)有如圖,為曲面偏導(dǎo)數(shù).上的一點(diǎn),過點(diǎn)作平面此平面與曲面相交得一曲線,曲線的方程為由于偏導(dǎo)數(shù)等于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)故由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義15第15頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四可知:偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線對x軸的斜率;偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線對y軸的斜率.16第16頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義三、高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為17第17頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)如果連一般地,續(xù)就與求導(dǎo)次序無關(guān).如果函數(shù)的兩個二階混合偏在區(qū)域D內(nèi)定理連續(xù)，那么在導(dǎo)數(shù)該區(qū)域內(nèi)18第18頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四第3節(jié)全微分及其應(yīng)用處的全微分.可表示為可微分,在點(diǎn)則稱函數(shù)稱為函數(shù)記作即函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時,則稱可微函數(shù).這函數(shù)在D內(nèi)的而不依賴于一、全微分的定義19第19頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四可微與偏導(dǎo)數(shù)存在有何關(guān)系呢？?微分系數(shù)注全微分有類似一元函數(shù)微分的A=?B=?兩個性質(zhì):全微分全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).的線性函數(shù);高階無窮小.20第20頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四1.可微分的必要條件(可微一定有偏導(dǎo)數(shù)存在).定理1(可微必要條件)如果函數(shù)可微分,且函數(shù)的全微分為二、可微的條件21第21頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四都不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).多元函數(shù)在某點(diǎn)可微是否保證事實上,顯然,答:由全微分的定義有可得多元函數(shù)可微必連續(xù)

連續(xù)的定義?不連續(xù)的函數(shù)上一節(jié)指出,多元函數(shù)在某點(diǎn)各個偏導(dǎo)數(shù)即使都存在,函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)如果函數(shù)可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).一定是不可微的.22第22頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)可微的定義有下面結(jié)論:23第23頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四2.可微分的充分條件定理2(微分充分條件)偏導(dǎo)數(shù)通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．如三元函數(shù)則24第24頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條性質(zhì):選擇題①f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處連續(xù),②f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),③f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處可微,④f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在.若用“”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.25第25頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四二、典型例題例1求下面函數(shù)的定義域26第26頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)函數(shù)證明:當(dāng)P(x,y)沿x軸的方向當(dāng)P(x,y)沿y軸的方向也有證函數(shù)的極限不存在.無限接近點(diǎn)(0,0)時,同樣,無限接近點(diǎn)(0,0)時,例227第27頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四函數(shù)的極限存在且相等.當(dāng)P(x,y)沿直線y=kx的方向其值隨k的不同而變化.所以,極限不存在．說明函數(shù)取上面兩個無限接近于點(diǎn)(0,0)時,另一方面,無限接近點(diǎn)(0,0)時,設(shè)函數(shù)證明:函數(shù)的極限不存在.特殊方向28第28頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四極限是否存在？練習(xí)取解當(dāng)P(x,y)沿x軸的方向無限接近點(diǎn)(0,0)時,當(dāng)P(x,y)沿y軸的方向無限接近點(diǎn)(0,0)時,29第29頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四

極限不存在.取極限是否存在？30第30頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四例3證明函數(shù)分別對于每個自變量x和y都連續(xù),但作為二元函數(shù)在點(diǎn)卻不連續(xù).31第31頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四例4求極限解其中32第32頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四例5求極限解將分母有理化,得

33第33頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

例6求的偏導(dǎo)數(shù).利用一元函數(shù)只需將y的求導(dǎo)法對x求導(dǎo)即可.看作常量,并不需要新的方法,例7求的偏導(dǎo)數(shù).34第34頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四三個偏導(dǎo)數(shù).解

求某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時,例8變?yōu)橐辉瘮?shù),代入,在點(diǎn)(1,0,2)處的可將其它變量的值再求導(dǎo),常常較簡單.35第35頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四證

偏導(dǎo)數(shù)的記號只是一個整體記號,不能像一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)那樣可看成是分子與分母的微分的商.例936第36頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四思考曲線在點(diǎn)(2,4,5)處的切線與x軸正向所成的傾角是多少?解在點(diǎn)(2,4,5)處的切線與y軸正向所成的傾角是多少?思考曲線37第37頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四解例10按定義得38第38頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四注

但前面已證,此函數(shù)在點(diǎn)(0,0)是不連續(xù)的.按定義得

由以上計算可知,

在點(diǎn)

處可偏導(dǎo),39第39頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四

二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0),f

y(x0,y0)存在是f(x,y)在該點(diǎn)連續(xù)的().A.充分條件而非必要條件B.必要條件而非充分條件C.充分必要條件D.既非充分條件又非必要條件D40第40頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四偏導(dǎo)數(shù)例11驗證函數(shù)滿足拉普拉斯方程:41第41頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四例12解有42第42頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四按定義得43第43頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四例1344第44頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四例14.設(shè)函數(shù)證明:(1)函數(shù)例15.設(shè)函數(shù)證明:(1)函數(shù)(2)函數(shù)45第45頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四三、堂上練習(xí)1.函數(shù)的連續(xù)范圍是____.2.已知函數(shù)3.函數(shù)在_________處間斷.46第46頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四4.討論函數(shù)的連續(xù)性.

5.設(shè)47第47頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四

答案:0解6.設(shè)48第48頁，共51頁，20