復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

第1頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四教材：1.王綿森等（西安交通大學(xué)），復(fù)變函數(shù)，高等教育出版社，2008。2.張?jiān)郑|南大學(xué)），積分變換，高等教育出版社，2003年。第2頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四合理難以接受1.數(shù)的發(fā)展緒論自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)16世紀(jì)，產(chǎn)生于代數(shù)方程的求解G.Cardano(意大利)求解方程得到很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬。令人困惑，250年幾乎沒(méi)有進(jìn)展。第3頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四18世紀(jì)：1.歐拉（L.Euler）建立復(fù)數(shù)理論，并應(yīng)用于水利學(xué)，地圖制圖學(xué)。2.韋塞爾(C.Wessel),阿爾岡(R.Argand),高斯(K.F.Gauss)

等分別建立復(fù)平面。復(fù)數(shù)平面向量（點(diǎn)）第4頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.復(fù)變函數(shù)理論的產(chǎn)生實(shí)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)產(chǎn)生新現(xiàn)象、新結(jié)果提供研究實(shí)變函數(shù)的新方法1）柯西建立了復(fù)變函數(shù)的積分理論。2）黎曼給出了解析函數(shù)的條件。3）魏爾斯特拉斯建立了級(jí)數(shù)理論。40年微積分：積分變換是以復(fù)變函數(shù)為基礎(chǔ)的一種重要數(shù)學(xué)方法.第5頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四《古今數(shù)學(xué)思想》評(píng)價(jià):

從技術(shù)觀點(diǎn)來(lái)看,十九世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是單復(fù)變函數(shù)的理論.這個(gè)新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了十九世紀(jì),它也被稱(chēng)為抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。第6頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.復(fù)變函數(shù)與積分變換的應(yīng)用3)熱學(xué)研究平面熱傳導(dǎo)問(wèn)題，如：熱爐中溫度的計(jì)算.2）流體力學(xué)：

飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算,機(jī)翼的造型問(wèn)題.計(jì)算滲流問(wèn)題，如：大壩、鉆井的浸潤(rùn)曲線(xiàn).1)電磁學(xué)：研究電(磁)場(chǎng)強(qiáng)度.4）電力工程、通信和控制等領(lǐng)域信號(hào)分析、頻譜分析、圖象處理等（積分變換）第7頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一個(gè)諾貝爾獎(jiǎng)的故事從20世紀(jì)初化學(xué)家就知道，當(dāng)X射線(xiàn)穿過(guò)晶體時(shí)，光線(xiàn)碰到晶體原子而發(fā)生散射或衍射。將膠片放在晶體后面，X射線(xiàn)穿過(guò)晶體在膠片上產(chǎn)生衍射圖案?；瘜W(xué)家迷惑的是，不能準(zhǔn)確的判定晶體中原子的位置。這是因?yàn)檠苌鋱D只能探測(cè)出X射線(xiàn)的振幅，但不能探測(cè)其相位?；瘜W(xué)家對(duì)此困惑了40多年。1950年，一位數(shù)學(xué)家H.Hauptman,對(duì)此產(chǎn)生興趣。他認(rèn)識(shí)到，這事能形成一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題。他利用100年前的數(shù)學(xué)方法——傅里葉變換，解決了此問(wèn)題，1985年獲得諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。第8頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

簡(jiǎn)明深刻和諧第9頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1.復(fù)數(shù)及其運(yùn)算第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)虛數(shù)單位：1.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)：

z=x+iy,x,y為實(shí)數(shù)x=Re(z),z的實(shí)部y=Im(z),z的虛部z的共軛復(fù)數(shù)：稱(chēng)為純虛數(shù)為實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)不能比較大?。〉?0頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.代數(shù)運(yùn)算設(shè)

z1=x1+iy1和z2=x2+iy2和與差：積：商：第11頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)1).交換律2).結(jié)合律

3).分配律

共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)第12頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四記C={z|z=x+iy,x,yR}

復(fù)數(shù)域3.幾何表示1)復(fù)平面

z=x+iy一一對(duì)應(yīng)（x，y）復(fù)數(shù)集xo

y平面上的點(diǎn)的全體（xo

y平面上以o為起點(diǎn)的向量全體）一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面——以x軸為實(shí)軸,y軸為虛軸構(gòu)成的平面。第13頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2)．復(fù)數(shù)的模與輻角模三角不等式輻角——x

軸正向與向量OP的夾角（轉(zhuǎn)角）的主值幅角不確定注意：幅角的多值性！第14頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第15頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3）復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示根據(jù)極坐標(biāo)有得三角表示式再利用Euler公式得指數(shù)表示式第16頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1）積與商的模與幅角4復(fù)數(shù)的乘冪與方根設(shè)則其中第17頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四從而得兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們模的乘積；兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。注意

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,

兩邊都是無(wú)限集合。第18頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的幾何意義先將z1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度,再將模變到原來(lái)的r2倍o1第19頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四類(lèi)似得從而兩個(gè)復(fù)數(shù)商的模等于它們模的商；兩個(gè)復(fù)數(shù)商的輻角等于它們輻角的差.第20頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）復(fù)數(shù)的乘冪與方根n次冪棣莫佛（DeMovie）公式（r=1）n次方根（方程wn=z的解）第21頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)則即故得注：有n個(gè)根，幾何上看，就是以原點(diǎn)為中心、半徑為的圓的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn).第22頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例1.計(jì)算，并說(shuō)明幾何意義。解：2幾何意義如圖記第23頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例2.化簡(jiǎn)，其中x為實(shí)數(shù)，|x|>1.

設(shè)解：則故解得所以第24頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例3.證明并說(shuō)明幾何意義證：同理（1）（2）（1）+（2）得幾何意義平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的平方和等于兩鄰邊平方和的二倍。第25頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例4.設(shè)證明證：設(shè)由條件所以得從而第26頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例5.用復(fù)數(shù)方程表示曲線(xiàn)：解：1）所以，1）的方程為2）所以，2）的方程為方程較復(fù)雜時(shí)，一般用：第27頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例6說(shuō)明下列方程所表示的平面圖形.解：幾何上,該方程表示到點(diǎn)2i和-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡,22i-2其實(shí)數(shù)方程為：故方程表示的是連接點(diǎn)2i和-2的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。第28頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1表示除去的上半平面。第29頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5.復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)數(shù)集復(fù)平面？球面?zhèn)鹊赝队胺–Q可見(jiàn)CQ\N并且故引入：復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（唯一，與N對(duì)應(yīng)）相應(yīng)的復(fù)數(shù)無(wú)窮大，記為第30頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四擴(kuò)充復(fù)平面：(1)加減法(2)乘法(3)除法

對(duì)于,其實(shí)部、虛部,輻角均無(wú)意義,規(guī)定它的模為正無(wú)窮大.第31頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2復(fù)變函數(shù)及其極限與連續(xù)1復(fù)平面上的區(qū)域鄰域:去心鄰域:特別區(qū)域鄰域內(nèi)點(diǎn):開(kāi)集:設(shè)，若，則稱(chēng)是G的內(nèi)點(diǎn)。1）平面點(diǎn)集設(shè)若G的每個(gè)點(diǎn)都是G的內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)G為開(kāi)集。區(qū)域連通的開(kāi)集。連通集:設(shè)若G中任意兩點(diǎn)都可以用G中的一條折線(xiàn)連接起來(lái)，則稱(chēng)G為連通集。第32頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四邊界點(diǎn):設(shè)D為區(qū)域，,若有,則稱(chēng)為邊界點(diǎn)。邊界:區(qū)域D的邊界點(diǎn)的全體。記為，。邊界點(diǎn)邊界邊界邊界點(diǎn)閉區(qū)域有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域設(shè)D為區(qū)域，若則D稱(chēng)為有界區(qū)域。否則稱(chēng)為無(wú)界區(qū)域。第33頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1討論下列點(diǎn)集的性態(tài)1)2)3)解：1)D1為無(wú)界區(qū)域，稱(chēng)角形域其邊界由兩條半直線(xiàn)組成：2)O.D2為有界區(qū)域，稱(chēng)圓環(huán)域其邊界由兩圓周組成：第34頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四O3).-2+iD3為無(wú)界閉區(qū)域，其邊界為圓周：第35頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）平面曲線(xiàn)其中x=x(t),y=y(t)連續(xù)復(fù)數(shù)形式光滑曲線(xiàn)均連續(xù)，且則稱(chēng)曲線(xiàn)是光滑的.簡(jiǎn)單曲線(xiàn)（若當(dāng)曲線(xiàn)）：沒(méi)有重點(diǎn)的曲線(xiàn).重點(diǎn)：設(shè)則稱(chēng)為的重點(diǎn)。第36頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若當(dāng)定理：任一簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)Г把復(fù)平面分為三個(gè)不相交的點(diǎn)集：1）Г的內(nèi)部，2）Г的外部，3）Г本身。單連通域與多連通域設(shè)D為區(qū)域。若D內(nèi)任意作一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)Г，Г的內(nèi)部均屬于D，則稱(chēng)D為單連通域。否則稱(chēng)D為多連通域。單連通域多連通域第37頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四練習(xí)：指出下列不等式所確定的點(diǎn)集,是否有界?是否區(qū)域?如果是區(qū)域,單連通的還是多連通的?第38頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2復(fù)變函數(shù)的概念1）定義設(shè)若對(duì)應(yīng)法則f惟一的,通常討論則稱(chēng)f是G上的單值函數(shù)。若對(duì)應(yīng)法則f多于一個(gè),則稱(chēng)f是G上的多值函數(shù)。記為w=f(z).

例1：是單值函數(shù)是多值函數(shù)第39頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)之間的關(guān)系設(shè)則例2：一個(gè)復(fù)變函數(shù)等價(jià)于兩個(gè)實(shí)變函數(shù)。第40頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）幾何意義兩個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系——映射w稱(chēng)為z的像,z稱(chēng)為w的原像.例3設(shè)，1）2）3）4）求的像；求區(qū)域的像；求二雙曲線(xiàn)族與的像；求二直線(xiàn)x=3

與y=5

的像.第41頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：1）1...-1-2i1.i-i.1-i.第42頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）即又11第43頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3）二直線(xiàn)x=3

與y=5

.由得-255i93第44頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4）二雙曲線(xiàn)族由得101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10第45頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3)反函數(shù)（逆映射）設(shè)函數(shù)則（一個(gè)或多個(gè)）記為，稱(chēng)為的反函數(shù)（逆映射）。若與都是單值函數(shù)，若f是G到G*的一一映射，則稱(chēng)是單葉函數(shù)。則稱(chēng)f是G到G*的一一映射。單葉函數(shù)第46頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1)

2)

例討論下列函數(shù)的單葉性：解：1)故不是單葉函數(shù)。因?yàn)槭怯野肫矫妫?)O值域?yàn)椋貉刎?fù)實(shí)軸剪開(kāi)的w平面。故是單葉函數(shù)。第47頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3極限與連續(xù)1）極限設(shè)w=f(z)在有定義,A是常數(shù)。則稱(chēng)當(dāng)z趨于z0時(shí),f(z)以A為極限。記為或若使得當(dāng)0<|z-z0|<

時(shí),有分析:

1）定義形式上與一元實(shí)函數(shù)相同；2）zz0是在平面上變化的。第48頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理1設(shè)證：語(yǔ)言極限的性質(zhì)（1）唯一性：存在，則極限值唯一。（2）有界性存在，則

f(z)在某有界。（3）四則運(yùn)算性質(zhì)成立。第49頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1設(shè)，問(wèn)是否存在？解：z沿直線(xiàn)趨于零時(shí)不存在。第50頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）連續(xù)設(shè)f(z)在z0的鄰域內(nèi)有定義,且

則稱(chēng)f(z)在z0處連續(xù)。若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)f(z)在區(qū)域D上連續(xù)。定理2

在處連續(xù)都在處連續(xù).性質(zhì)：（1）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍連續(xù);（2）連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍連續(xù).第51頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四曲線(xiàn)和閉區(qū)域上的連續(xù)性設(shè)f(z)在曲線(xiàn)Г上有定義,，若則稱(chēng)f(z)在曲線(xiàn)Г的

z0處連續(xù)。設(shè)f(z)在閉區(qū)域上有定義,，若則稱(chēng)f(z)在閉區(qū)域的z0處連續(xù)。性質(zhì)：若f(z)在包括端點(diǎn)的曲線(xiàn)或閉曲線(xiàn)Г上連續(xù),則f(z)在Г上有界。若f(z)在閉區(qū)域上連續(xù),則f(z)在

上有界。第52頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2討論函數(shù)的連續(xù)性。解：已知記.記則角形域與Г不相交取則當(dāng)