運用“三點法”求解動點路徑長問題

初中數(shù)學(xué)中動點路徑問題，一般有兩種情:段或圓弧本文提出一種求點路徑長的方法——三點法點指動點的起點，終點與過程點方法分為三步:(1)準作圖，運用刻度尺，圓規(guī)及量角器等工具作出位置較為精準的“三點”大猜測，若“三點”共線則動點路徑為線段;三點不共線則動點路徑為圓弧(3)小心驗證據(jù)畫出三點圖用似三角形角長定圓”等方法對猜想進行嚴格的證一知準、基本概念如圖1在

RtABC

中，

AC

，

90

點

P

是邊

AB

上一動點，點

D是AC延線上的一個定點PD點D作PD結(jié)

25

，當點從運動到點B時點運的路徑長為

在圖中，點

P

是“主動”在邊

AB

上開始動的點，稱為“主動點點

E

是跟著點

P在運動的點，稱為“從動點.點P從運動到點B，點與重合時記作點，稱為“主動點的起點時

稱為“從動點的起點時作出符合要求的圖如圖，稱該圖為“起點圖;當點P與重時作點，稱為“主動點的終點E稱為“從動點的終點出合要求的圖如圖3)，稱該圖為“終點圖區(qū)別于起點

，終點，圖1中點稱“動點的過程點時E稱“從動點的過程點應(yīng)把圖1稱“程圖將起點圖終圖過程圖放在同一個圖形中，將這個圖形稱三點圖”(如圖4).、定角定長定圓固定度數(shù)的角對著固定長度的線段時隱含著一個固定大小的圓線段為定圓的一條弦，定角為弦所對的一個圓周引例如線段是面上的一個動點

ACB

作出點

C1

的運動路徑.由“角所的弦是直徑”可以得到點

的運動路徑是以

AB

為直徑的圓，且不與點A

、點

B

重合(如圖6).引例如線段

AB

點

是平面上的一個動點ACB45

作出頂點

的運動路徑.當點

位置不同時，

ACB

度數(shù)不變，根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等可以將

ACB

看作弦

AB

所對的一個圓周角，圓心

O

必在弦

AB

的垂直平分線上，且AOB

，計算可得半徑

2

所以，點C的動路徑是優(yōu)弧ACB，且不與點A點B合(圖引例如，線段AB，點是面上的一個動點，C的運動路徑.

120

，作出頂點作出的角AC'為AC'

的位置不同時度數(shù)為定值類比引例可將

AC看作弦所的一個周角，圓心O必在弦AB的直平分線上，且B120

OA

43

3

在所以點

的運動路徑是劣弧

，2

且不與點A點B合(圖二方歸例l如在

Rt

中，

AC

，

點

P

是邊

AB

上一動點，點

D

是

延長上的一個定，連結(jié)

PD

，過

D

作

DEPD

，連

PE

，且2tan，點從運動到點時點運的路徑長為.5精準作因為

tan

25

，所以通過計算很難得到DPE的度數(shù)不借計算器，但可以運用量角器測量圖12中

22

在11的礎(chǔ)上作起點圖當點與重合時記作點

，在圖中作出

DPQ圖，點作DEPD1

交射線

AQ

于點

(如圖當點

P

與點

B

重合時記作點，用類似方法在圖13的礎(chǔ)上作出終點圖，并去掉多余部分，得到一幅完整的三點(如圖、大膽猜測通過三點圖發(fā)現(xiàn)點

，點

E

，點

E

2

基本在一條直線(如圖，所以可以大膽的猜測點的運動路徑是一條線段E運的路徑長就是線段

E1

2

的長度于提出猜想在三點圖中，從動點的起點，終點，過程點三點共線時，從動點的運動路徑為線段3

在三點圖中，從動點的起點，終點，過程點三點不共線時，就初中數(shù)學(xué)而言，不共線的三點確定一個圓，這里提出猜想二“在三點圖中，從動點的起點，終點，過程點三點不共線時，從動點的運動路徑為圓弧”.當運動路徑為圓弧時，考慮尋找固定度的角與固定長度的線段，運用“定角定長定圓”的方法作出運動路.3.小心驗證在圖15中因為

EPDEPDPPDE901111

，∴

1

又∵

DEDE21DPDP51

，∴∴

:PDP1DPP11

，同理

DEDP可得DPP22

又∵

18012

，∴

18012

∴點，E，三共.2∵∴∵∴∴

EPDE9011PDPDE12DEDE2，DP52DE:，12EE2PP

，

PDE11

，4

∵∴

，通過上述論證得到結(jié)論一:當主動點在一條線段上運動，從動點也在一條線段上運動時，主動點的起點、終點、某個定點構(gòu)成的三角形和從動點的起點、終點、某個定點構(gòu)成的三角形相似”.因此可以先求出主動點的運動路徑長再乘以相似比得到從動點的運動路徑長三運求例如16在

Rt

中90

OCOD

以

O

為圓心，

AB

為直徑的圓經(jīng)過點，D結(jié)AD,BC交于點P，Rt從OA與OC重的位置開始，繞著點

O

順時針旋轉(zhuǎn)，則交點

P

所經(jīng)過的路徑長是

在圖16的礎(chǔ)上先作起點圖，當C

與點

A

重合時記作點

C

，此時點

D

在點

1

，位置，，，交于點P，時點，點111

重合(圖17).作終點圖，此時點

與點重合記作點，D與重合記作點D，與交于點，與點B合12222(如圖通過三點圖發(fā)現(xiàn)點

點

P

點

三點不共線考慮從動點的運動徑為圓弧，但需要運用“定角定長定圓”的方法加以證在

PAB

中，

AB

為定長，因為

，所以

COADOB90

，又“同弧所對的圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半得到

CBA

12

，5

所以

APB135

為定角所以點在以AB為，135

為圓周角的定圓上運類比引例，

APB

的補角

B45

也為定角，可將

AP

看作弦

AB

所對的一個圓周角，圓心

必在弦

AB

的垂直平分線上，且

AP'B

又因為“直徑所對的圓周角為所以

是弦

AB

的垂直平分線與圓

O

的一個交點所以半徑

A

所以點的運動路徑是劣弧(如，根據(jù)弧長公式得到

l

902180

通過上述論證可以發(fā)現(xiàn)，主動點，點C與O構(gòu)的扇形COC1

圓心角為90o，半徑為從動點P，與0構(gòu)的扇形2

1

的圓心角為90o半徑為2因兩個扇形的圓心角都為90o所以扇形

C:2

扇形

1

，相似比為12

，因此扇形的弧長之比也為

1:2