結(jié)構(gòu)動力學(xué)學(xué)習(xí)總結(jié)

振動慮圖1所示的單自由度系統(tǒng)的力學(xué)模型(彈簧-質(zhì)量系統(tǒng))，它由剛體質(zhì)量kF(t)emc圖1單自由度系統(tǒng)(彈簧-質(zhì)量系統(tǒng))FF(t)e·F(t)rF(t)daFkxt)，彈簧恢復(fù)力與運動方向rb)阻尼力：若采用粘性阻尼模型，則阻尼力為F=cx(t)，阻尼力與運動方向dee根據(jù)施加在質(zhì)量塊上的外力F(t)的類型不同，可以結(jié)構(gòu)的振動分析分為模eAA=0,A=x120無外力(F=0)e瞬變力(能夠使用函數(shù)表示)隨機力(只能用統(tǒng)計的方式描述)1.1.1無阻尼的自由振動令方程(1-4)的解的形式為：mx(t)=Acost+Asint12將初始條件x(t)=x,x(t)=v代入(1-5)中，可以得到t=00t=00v則vx(t)=xcost+0sint01.1.2有阻尼的自由振動單自由度系統(tǒng)考慮阻尼作用的自由振動方程為其中ce=。常微分方程(1-9)的特征方程為1)當(dāng)e>時，為超臨界阻尼系統(tǒng)，微分方程(1-9)的通解為2將初始條件x(t)=x,x(t)=v代入(1-13)中，可以得到t=00t=00(e+e2一2)x+vx(t)=00e(一e+e2一2)t+t2)當(dāng)e=時，為臨界阻尼系統(tǒng)，微分方程(1-9)的通解為x(t)=e一et(c+ct)由初始條件x(t)=x,x(t=v，可得)t=00t=00)0003)當(dāng)e時，為低阻尼臨界系統(tǒng)，這時特征方程的根為e解為1e2e(1-15)(1-16).2簡諧載荷作用下的強迫振動1.2.1無阻尼強迫振動在無阻尼的情況下，假定載荷F(t)為如下的簡諧形式eF(t)=Pcos9tePx(t)+2x(t)=cos9t(1-21)m方程(1-21)的通解可由齊次方程的通解和非齊次方程的特解疊加而得。由F(t)的ePx(t)=Asint+Acost+cos9t12m(292)vP由初始條件x(t)=x,x(t)=v，可求得A=0,A=x，t=00t=00120m(292)vPPx(t)=0sint+xcostcost+cos9t(1-24)0m(292)m(292)尼的強迫振動由度系統(tǒng)考慮阻尼作用的運動方程為可知上式的通解為x(t)=e-ct(BsinOt+BcosOt)+Asin(9t-0)1c2c件代入上式，可得到Oc0ctcOcc荷下的強迫振動。(mx(t)+cx(t)+kx(t)=P(t)〈0lx(0)=x,x(0)0(mx(t)+cx(t)+kx(t)=P(t)〈lx(0)=0,x(0)=0和和(mx(t)+cx(t)+kx(t)=0〈(1-30)00lx(0)=x,x(0)=00載荷轉(zhuǎn)化為初始TTe|e-etsinh(t)=x(t)=〈meP(T)dT的疊加，所以載(t)在時刻t的總響應(yīng)為xtjtPTeetsinOtdT(1-33)0meOe0ee式(1-34)相加，得到方程(1-28)的解為Oe0e0meeKΦ=2MΦiii振動統(tǒng)來處理，本章將主要討論多自由度系統(tǒng)的振動。對于多自由度系統(tǒng)，如果考慮阻尼，在外力的作用下的運動方程為2.1多自由度系統(tǒng)的固有頻率和主振型MXtKXt(2-2)2-2)中，有KMA=0(2-5)KM(2-6)對應(yīng)的頻率為f=。如果將特征向量用Φ來表示，很顯然Φ滿足方程2iii各階自然圓頻率o后，再將某一階固有頻率代入方程(2-5)中，ii2.2主振型的正交性ij應(yīng)于n自由度系統(tǒng)自振頻率o與o的兩個振型，且o豐o。ijijji和ji對于n自由度系統(tǒng)，每一自振頻率和振型都應(yīng)能滿足式(2-5)，把它們依次nnnn用?T左乘式(2-11)的兩端，可得110]0|0]0|||||0...K」「K0... K 「M...0「M|1|11M||... ||...可以看出K，M分別為對角矩陣。2.3模態(tài)分析法現(xiàn)應(yīng)用模態(tài)分析法來計算多自由度系統(tǒng)在外力F(t)作用下的響應(yīng)，為了使e為MXt)+KX(t)=F(t)e解出系統(tǒng)的各階固有頻率o,o,...,o和相應(yīng)的主振型Φ,Φ,...,Φ，并n12n2)用模態(tài)矩陣，對原方程作如下的坐標變換：|11|11|e3)按單自由度系統(tǒng)的方法分別求解模態(tài)方程中n個互相獨立的方程，求得n12n的這一組物理坐標X(t)就是系統(tǒng)運動方程的解。2.3.1無阻尼強迫振動尼多自由度系統(tǒng)的運動方程為MXt)+KX(t)=F(t)e0)Xtq來表示，即1122qqxqutCut)11i1u(t)2..u(t)]TqC=(CC12...C)=q000...0]標系中的廣義位移u(t)，將式(2-21)代入方程，可得MΦX(t)+KΦX(t)=F(t)e MM(2-29)e「M...0「M|11|11MΦTMΦ=ΦTMΦ=M=|0|...|...「K...0]|11|11KΦTKΦ=ΦTKΦ=K=|0|...「M|11|0||... 2 2Φ2...Φq)TMu(t)+Ku(t)=xn0F(t)iiiiiijijj=1或utou(t)=xn0jiFj(t)iiiMj=1iitiihipiiiiip1)，得iiiiiipii=1i=1式(2-32)等號右端第一項是運動方程(2-20)的齊次通解，第二項是方程(2-20)的特iiii1i12i2qiqTMX(t)=TMΦu(t)=Mu(t)(2-34)iiiiiii則TMX(t)u(t)=iiMiiu(t)=Acost+Bsint+u(t)iiiiiipMiiM()M()iiiiiii+u(t)=iipMiiTMX(0)A=iu(0)iMipiiB=iipB=iipiMiiii2.3.2有阻尼強迫振動考慮阻尼的多自由度系統(tǒng)，其在外力作用下的運動方程為MX(t)+CX(t)+KX(t)=F(t)e將位移向量X(t)用前q階振型的組合來表示，即1122qq11i=1)，可得MΦu(t)+CΦu(t)+KΦu(t)=F(t)eΦTMΦu(t)+ΦTCΦu(t)+ΦTKΦu(t)=ΦTF(t)e 或teiiiiii(2-48)=M+K(2-48)iiii=(+2)Miii方程(2-44)可展開為如下q個獨立的方程MutCutKutnF(t)i=1,2,..,q(2-49)iiiiiiiiijijj=1或u(t)+(a+o2)u(t)+o2u(t)=n0jiFj(t)i=1,2,..,q(2-50)iiiiiMj=1iiiiBCp)為三、結(jié)構(gòu)振動的有限元計算性，又能便于數(shù)學(xué)上的求解。振動的基本方程iijij一般將其記為u(t),c(t),(t)。iijij(1)平衡方程利用達朗貝爾原理將慣性力和阻尼力等效到靜力平衡方程中，有ij,jiii1c(t)=(u(t)+u(t))ij2i,jj,i(3)物理方程(t)=Dc(t)ijijklkl其中D為彈性系數(shù)矩陣。ijkl(4)邊界和初始條件ututonS(3-4)iiuQ(t)nQ(t)n=p(t)onSijjiQiiii 3.2虛功原理效積分形式ij,jiiiijjiS p 一項進