大物上屆講課07-5能量均分新

能量均分定理理想氣體的內(nèi)能在熱力學(xué)中，從宏觀上把系統(tǒng)與熱現(xiàn)象有關(guān)的那部分能量稱為內(nèi)能，并知道內(nèi)能是系統(tǒng)的狀態(tài)量在研究氣體的能量問題時(shí)，不能簡(jiǎn)單地把分子看作為質(zhì)點(diǎn)。分子具有一定的形狀和結(jié)構(gòu)，分子的熱運(yùn)動(dòng)也不僅僅是平動(dòng)，還應(yīng)該包括轉(zhuǎn)動(dòng)以及振動(dòng)。

§7-5

能量均分定理理想氣體的內(nèi)能

一.

什么叫自由度？在數(shù)學(xué)上，確定一個(gè)物體在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。稱為該物體的自由度數(shù)。分子能量中獨(dú)立的速度和坐標(biāo)的二次方項(xiàng)數(shù)目叫做分子能量自由度的數(shù)目,簡(jiǎn)稱自由度?！癷

”在氣體動(dòng)理論中確定質(zhì)點(diǎn)位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)是三個(gè)x、y、z∴自由度i＝3xyzo（x、y、z）1.

質(zhì)點(diǎn)的自由度約束條件：2.

剛性桿子的自由度2MM1ly111=xzzxy()))((222222++l6個(gè)坐標(biāo)中只有5個(gè)是獨(dú)立的。剛性桿子1111M)(xyz、2222M()xyz、、、飛機(jī)：自由度為3（經(jīng)度、緯度、高度）xyzoPG：

x、

y、

z約束條件：剛體自由度數(shù)=

63.

剛體的自由度獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)：βγaγβcoscoscos2221=++aGP:

a、β、γ繞GP轉(zhuǎn)角：θ平動(dòng)自由度3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度3個(gè)

7－1=6331+)7G.θ（經(jīng)度、緯度）被限制在一曲面上運(yùn)動(dòng)，自由度為2，輪船被限制在一曲線上運(yùn)動(dòng)，自由度為1，火車

平動(dòng)

轉(zhuǎn)動(dòng)

振動(dòng)氣體分子的自由度用“i

”表示υrti=

自由度數(shù)目＋＋理想氣體分子有單原子組成、雙原子組成三原子以及多原子組成?；瘜W(xué)鍵（有彈性）剛性桿（無彈性）為研究問題方便：把理想氣體分子視為剛性分子處理。自由度轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)4.

剛性分子的自由度i單原子分子多原子分子雙原子分子單原子分子303i雙原子分子523i三原子(多原子)分子633i12kT1mvyzmvmv22211=x2kTkT22+++1122+xmvmvzy21mv==2222211=12kT二.能量按自由度均分定理v2++zxyvv22=v2v2==zxyvv22∵由理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和溫度的關(guān)系：2=kTmv21=23εk按統(tǒng)計(jì)規(guī)律=32kT這也是單原子分子的平均能量∵它無轉(zhuǎn)動(dòng)、不考慮振動(dòng)。單原子分子平均能量kT213=e×剛性雙原子分子分子平均平動(dòng)動(dòng)能222kt212121CzCyCxmmmvvv+=e+分子平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2kr2121zyJJw+=wyz2εm1m2c·m1m2c·xyz分子熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能ε=2kTi三.理想氣體的內(nèi)能理想氣體內(nèi)能：（不包括分子間相互作用的能量）系統(tǒng)中所有分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之總和。能量按自由度均分原理：處于平衡態(tài)的氣體kT21分子每一自由度所占有的能量都為xmvmvzy21mv==2222211=12kTi＝3平動(dòng)自由度i＝5（平動(dòng)自由度3＋轉(zhuǎn)動(dòng)自由度2）1.

內(nèi)能是氣體狀態(tài)的單值函數(shù)理想氣體：E=E(

T

)2.

在實(shí)際上當(dāng)T=0,E0！11mol理想氣體的內(nèi)能：=kTEiNmolA2=iRT2mkg理想氣體的內(nèi)能：′=mimolM2ERT′特別提示：在o度時(shí)分子也有熱運(yùn)動(dòng),也還具有能量例題：一瓶氦氣和一瓶氮?dú)?，它們的分子?shù)密度相同,

分子平均平動(dòng)動(dòng)能相同,

而且它們都處于平衡狀態(tài),

則它們（教材P205習(xí)題1）（A）溫度相同、壓強(qiáng)相同.（B）溫度、壓強(qiáng)都不同.（C）溫度相同,但氦氣的壓強(qiáng)大于氮?dú)獾膲簭?qiáng).（D）溫度相同,但氦氣的壓強(qiáng)小于氮?dú)獾膲簭?qiáng).例題：根據(jù)能量按自由度均分原理,設(shè)氣體分子為剛性分子,分子自由度數(shù)為i

則當(dāng)溫度為T

時(shí),（1）一個(gè)分子的平均動(dòng)能為

.（2）一摩爾氧氣分子的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能總和為

.RT2ikT例題：兩種氣體自由度數(shù)目不同,溫度相同,

摩爾數(shù)相同,下面哪種敘述正確:（A）它們的平均平動(dòng)動(dòng)能、平均動(dòng)能、內(nèi)能都相同.

（B）它們的平均平動(dòng)動(dòng)能、平均動(dòng)能、內(nèi)能都不同.（C）它們平均平動(dòng)動(dòng)能相同、平均動(dòng)能、內(nèi)能都不同.

（D）它們內(nèi)能都相同、平均平動(dòng)動(dòng)能、平均動(dòng)能都不同例題：有兩個(gè)相同的容器，容積不變.

一個(gè)盛有氦氣

,另一個(gè)盛有氫氣（看成剛性分子）,

它們的壓強(qiáng)和溫度都相等,

現(xiàn)將5J

的熱量傳給氫氣,

使氫氣的溫度升高,

如果使氦氣也升高同樣的溫度,

則應(yīng)向氦氣傳遞的熱量是：（A）

6J（B）

6J（C）

3J（D）

2J例題：請(qǐng)說出下列各式的物理意義：理想氣體分子在一個(gè)自由度上的均分能量kT23理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能或單原子分子的平均動(dòng)能自由度為i的理想氣體分子的平均動(dòng)能一個(gè)摩爾理想氣體的內(nèi)能m千克理想氣體的內(nèi)能iRT510

個(gè)摩爾理想氣體的內(nèi)能kT21kT2iRT2iMmmolRT2i解:=RTPVv(1)（1）

氣體的壓強(qiáng)是否變化？為什么？（2）

容器內(nèi)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是否變化？為什么？

（3）

氣體的內(nèi)能是否變化？為什么？例題：設(shè)有一個(gè)恒溫容器其內(nèi)儲(chǔ)有某種理想氣體，若容器發(fā)生緩慢漏氣，問：vP不變\=,23kTQ(2)ke=RTiE2(3)vvE例題：在一個(gè)以勻速率v=100

米/秒直線運(yùn)動(dòng)的體積是0.01米3容器中,盛有溫度為27oC、分子質(zhì)量為0.1kg

的氮?dú)?若使容器突然停止運(yùn)動(dòng),定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，則氣體狀態(tài)達(dá)到平衡后,其溫度的增量

△T

和壓強(qiáng)增量△P各為多少

?容器突然停止運(yùn)動(dòng)后，氣體作宏觀定向運(yùn)動(dòng)其動(dòng)能轉(zhuǎn)化為分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)能量，因而溫度升高。分析：在常溫下，可以把氮?dú)庖暈閯傂噪p原子分子=mimolM2ERT′由：=m5molM2△ER△T′得：(練習(xí)冊(cè)P18計(jì)算題1)而定向直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為：2=mv12εk′由題意得：2v12=m5molM2R△T′m′△T＝1002×28×10－35×8.31＝6.7（k）溫度的增量

TMpV=RT′m由：△p＝MR△T′mV＝0.1×8.31×6.728×10－3×0.01＝19884.6（Pa）壓強(qiáng)增量△PMpV=RT′m△△得：而定向直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為：2=mv12εk′例題：（練習(xí)冊(cè)P17選擇題2）溫度、壓強(qiáng)相同的氦氣和氧氣，它們的分子的平均動(dòng)能和平均平動(dòng)動(dòng)能

有如下關(guān)系：εεk（A）和都相等εkε（B）相等，而不相等εkε（C）相等，而不相等εkε（D）條件不夠，不能確定。分析：氦氣是單原子分子它的自由度為3（平動(dòng)自由度）氧氣是雙原子組成的分子，它的自由度為5（3個(gè)平動(dòng)自由度＋2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度）εkε∴它們的平均平動(dòng)動(dòng)能相等平均動(dòng)能不相等。所以選擇（B）★例題：（練習(xí)冊(cè)P17選擇題3）水蒸氣分解為相同溫度的氫氣和氧氣，其內(nèi)能增加了百分之幾？（看做剛性分子，不計(jì)振動(dòng)自由度）（A）66.7%（B）50%（C）25%（D）0%解：由化學(xué)分解式H022H220+2E1m=Mmol2iRT＋E2m=M2iRTH2H2m2iRT02M02=2×52RT＋=1×52RT152RTE1E2E1－=152RT－6RT6RT=2×62RT6RT==61.5×100%=25%所以選擇（C）例題：（練習(xí)冊(cè)P17填充題4）三個(gè)容器內(nèi)分別儲(chǔ)有1mol的氦氣（He）

、1mol的氫氣（H2）

、1mol的氨氣（NH3）

（均視為剛性分子的理想氣體）。若它們的溫度都升高1k，則三種氣體內(nèi)能的增量分別是多少？分析：由1mol理想氣體的內(nèi)能公式可知RTi2氦氣（He）是單原子分子：Ri2（）T＋1－RTi2＝Ri2△E＝△E＝23R氫氣（H2）是雙原子分子：△E＝25R氨氣（NH3）是多原子分子：△E＝26R＝3R例題：（練習(xí)冊(cè)P30填充題11）

已知一個(gè)容器內(nèi)儲(chǔ)有質(zhì)量為m，摩爾質(zhì)量為μ壓強(qiáng)為P，溫度為T的雙原子理想氣體，以及氣體普適常量為R，阿伏加德羅常數(shù)為N0

。試用上述參量來表示（1）氣體的內(nèi)能

（2）分子數(shù)密度

（3）氣體的密度

（4）氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。（1）氣體的內(nèi)能mμ25RT（2）分子數(shù)密度RTPN0（理由：通過和得來）＝PnkTk＝N0R（3）氣體的密度μRTP（理由：通過得來）MpV=RTmμpV=RTmμpV=RTm（4）氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能23kT=23RN0T

例題：某容器內(nèi)有0.3mol

的氣體T=273k,P

=101.3Pa,密度為1.25g/m3求：

（1）該氣體的摩爾質(zhì)量（2）氣體分子運(yùn)動(dòng)的均方根速率（3）氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能、平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能（4）單位體積內(nèi)氣體的總平均動(dòng)能（5）內(nèi)能。解：由ρ＝mV和MpV=RTm＝MρRTpVV得：＝1.25×10－3×8.31×273101.3＝28×10－3

（kg/mol）可知是氮?dú)?。?）該氣體的摩爾質(zhì)量（2）氣體分子運(yùn)動(dòng)的均方根速率v23=RTMmol=3×8.31×27328×10－3=493

（m/s）（3）氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能kT23k=ε=1.5×1.38×10－23×273=5.65×10－21

（J）2εkT2r==1.38×10－23×273=3.77×10－21

（J）（4）單位體積內(nèi)氣體的總平均動(dòng)能氣體的總平均動(dòng)能5kT2=ε=2.5×1.38×10－23×273=9.42×10－21

（J）單位體積內(nèi)氣體的總分子數(shù)：pn=kT由得n=pkT=1.38×10－23×273101.3=2.69×1022/m3（4）單位體積內(nèi)氣體的總平均動(dòng)能E=nε=2.69×1022×9.42×10－21=253.4

（J/m3）（5）內(nèi)能E=M=RTm2i……=1701.5(J)（完）επρστω×ξΩΨΦψm+=<>()?1234567890.òòβγδaqaABCDEFGKMNPRSTUVWHLOQIJgzxnsfhmqrtuvwyelpcbdkjiozhmncXYZΔΣh1203acbdijkzxyoacbdsincsctgcosctgsecμ?1￡3?′?￥§∵∴∝lm∞()=++×(