初中八上全等三角形證明方法歸納經(jīng)典全

【第1部分全等基礎(chǔ)知識(shí)歸納、小結(jié)】1、全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形。兩個(gè)全等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。概念深入理解：（1）形狀一樣，大小也一樣的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。（外觀長的像）（2）經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折之后能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。（位置變化）圖3圖3圖1圖22、全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的，記作“△ABC≌△A′B′C′”其中，“≌”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。3、全等三角形的性質(zhì)：全等是工具、手段，最終是為了得到邊等或角等，從而解決某些問題。（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等。（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高，中線，角平分線對(duì)應(yīng)相等。（3）全等三角形周長，面積相等。4、尋找對(duì)應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫在對(duì)應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對(duì)應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（3）通過觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的；運(yùn)動(dòng)一般有3種：平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)；5、全等三角形的判定：（深入理解）①邊邊邊（SSS）②邊角邊（SAS）③角邊角（ASA）④角角邊（AAS）⑤斜邊，直角邊（HL）注意：（容易出錯(cuò)）（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等（邊定全等）；（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，㈠三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AAA；㈡有兩邊和其中一角對(duì)應(yīng)相等，即SSA。全等三角形是研究兩個(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。在平面幾何知識(shí)應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識(shí)。6、常見輔助線寫法：（照著輔助線說明要能做出圖、養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密的習(xí)慣）如：⑴過點(diǎn)A作BC的平行線AF交DE于F⑵過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D⑶延長AB至C，使BC＝AC⑷在AB上截取AC，使AC＝DE⑸作∠ABC的平分線，交AC于D⑹取AB中點(diǎn)C，連接CD交EF于G點(diǎn)同一條輔助線，可以說法不一樣，那么得到的條件、證明的方法也不同?！镜?部分中點(diǎn)條件的運(yùn)用】1、還原中心對(duì)稱圖形（倍長中線法）中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形知識(shí)：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。中心對(duì)稱的兩條基本性質(zhì)：（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分。（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。中心對(duì)稱圖形把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。（一個(gè)圖形）如：平行四邊形線段本身就是中心對(duì)稱圖形，中點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心，所以遇到中點(diǎn)問題，依托中點(diǎn)借助輔助線還原中點(diǎn)對(duì)稱圖形，可以把分散的條件集中起來（集散思想）。例1、AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB2，AC4，則AD的取值范圍是_________。例2、已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于F，AFEF，求證：ACBE。例3、如圖，D是△ABC的邊BC上的點(diǎn)，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中線。求證：AC=2AE例4△ABC中，AD、BE、CF是三邊對(duì)應(yīng)中線。（則O為重心）求證：①AD、BE、CF交于點(diǎn)O。（類倍長中線）；②練習(xí)1、在△ABC中，D為BC邊上的點(diǎn)，已知∠BAD∠CAD，BDCD，求證：ABAC2、如圖，已知四邊形ABCD中，ABCD，M、N分別為BC、AD中點(diǎn)，延長MN與AB、CD延長線交于E、F，求證∠BEM∠CFM3、如圖，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE=2AM（基本型：同角或等角的補(bǔ)角相等、K型）2、兩條平行線間線段的中點(diǎn)（“八字型”全等）如圖，∥，C是線段AB的中點(diǎn)，那么過點(diǎn)C的任何直線都可以和二條平行線以及AB構(gòu)造“8字型”全等例1已知梯形ABCD，AD∥BC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE、CE。求證：例2如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠CEM=40°，求∠DME的大小。（提示：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）例3已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD∠ACE=90°，連接DE，設(shè)M為DE的中點(diǎn)。⑴求證：MBMC；⑵設(shè)∠BAD∠CAE，固定Rt△ABD，讓Rt△ACE移至圖示位置，此時(shí)MBMC是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論。練習(xí)1、已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．若BD=BC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，試問：∠BAF與∠BCD的大小關(guān)系如何？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并加以證明；2、Rt△ABC中，∠BAC=90°，M為BC的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作某直線，過B作于點(diǎn)D，過C作于點(diǎn)E。（1）求證：MD=ME（2）當(dāng)直線與CB的延長線相交時(shí)，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否任然成立？3、如圖（1），在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，M是AE的中點(diǎn)，（1）探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）將圖（1）中的正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形CGEF的對(duì)角線CE恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變。（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明。（結(jié)合前面“8字型”全等，仔細(xì)思考）3、構(gòu)造中位線三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．重點(diǎn)區(qū)分：要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開，三角形中線是連結(jié)一頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)；而三角形中位線是連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段。（全等法）在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，證明：DE∥BC，DE=BC證明：延長DE至F點(diǎn)，使DE=EF，連接CF（倍長中線）三角形的中位線在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系二方面把三角形有關(guān)線段聯(lián)系起來，將題目給出的分散條件集中起來（集散思想）。注：題目中給出多個(gè)中點(diǎn)時(shí)，往往中點(diǎn)還是不夠用的。例1在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。例2已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=BD，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于點(diǎn)E、F.你能說出OE與OF的大小關(guān)系并加以證明嗎？練習(xí)1、三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分線，BD⊥AD，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，如果AB=6，AC=14，求DE的長。2、AB∥CD，BC∥AD，DE⊥BE，DF=EF，甲從B出發(fā)，沿著BA->AD->DF的方向運(yùn)動(dòng)，乙B出發(fā)，沿著BC->CE->EF的方向運(yùn)動(dòng)，如果兩人的速度是相同的，且同時(shí)從B出發(fā)，則誰先到達(dá)F點(diǎn)？3、等腰Rt△ABC與等腰Rt△CDE中，∠ACB=∠EDC=90°，連AE、BE，點(diǎn)M為BE的中點(diǎn)，連DM。（1）當(dāng)D點(diǎn)在BC上時(shí)，求的值（2）當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角時(shí)，上結(jié)論是否任然成立，試證明4、△ABC、△CEF都為等腰直角三角形，當(dāng)E、F在AC、BC上，∠ACB=90°，連BE、AF，點(diǎn)M、N分別為AF、BE的中點(diǎn)（1）MN與AE的數(shù)量關(guān)系（2）將△CEF繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，MN與AE的數(shù)量關(guān)系4、與等面積相關(guān)的圖形轉(zhuǎn)換在涉及三角形的面積問題時(shí)，中點(diǎn)提供了底邊相等的條件，這里有個(gè)基本幾何圖形如圖，△ABC中，E為BC邊的中點(diǎn)，那么顯然△ABE和△AEC有相同的高AD，底邊也相等，故面積相等。例E、F是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G，則=擴(kuò)展如圖，等腰Rt△ACD與Rt△ABC組成一個(gè)四邊形ABCD，AC=4，對(duì)角線BD把四邊形ABCD分成了二部分，求的值。【5、等腰三角形中的“三線合一”】“三線合一”是相當(dāng)重要的結(jié)論和解題工具，它告訴我們等腰三角形與直角三角形有著極為親密的關(guān)系。例△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，問∠CBD和∠BAC的關(guān)系？分析：∠CBD和∠BAC分別位于不同類型的三角形中，可以考慮轉(zhuǎn)為同類三角形。例在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，則MN=_____【6、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半】這可以作為一個(gè)定理直接運(yùn)用，關(guān)于這個(gè)定理的證明有多種方法，包括利用前面所講中點(diǎn)的一些知識(shí)。例如圖Rt△ABC中，∠ACD=90°，CD為斜邊AB上的中線求證：CD=AB（1）利用垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任一點(diǎn)到線段的二個(gè)端點(diǎn)的距離相等。取AC的中點(diǎn)E，連接DE。則DE∥BC（中位線性質(zhì)）∠ACB=90°BC⊥AC，DE⊥AC則DE是線段AC的垂直平分線AD=CD（2）全等法，證法略。例在三角形ABC中，AD是三角形的高，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGD是等腰梯形。練習(xí)1、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB，M、N分別在AC、AB上，且AN=BM。O為斜邊BC的中點(diǎn)。試判斷△OMN的形狀，并說明理由。2、ΔABC中，∠A=90°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF。求證:（集散思想）3、ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，E在AB上，且BD=DE，點(diǎn)P、M、N分別為AD、BE、BC的中點(diǎn)（1）若∠BAC=90°，則∠PMN=_______，并證明（2）若∠BAC=60°，則∠PMN=_______（3）若∠BAC=，則∠PMN=_______【中點(diǎn)問題練習(xí)題】1、假設(shè)給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形．請(qǐng)解答下列問題：（1）寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；（2）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且CD=CA，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長交AB于點(diǎn)G．求證：四邊形AGEC是等鄰角四邊形；（3）如圖2，若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，（2）中的其他條件不變，EF與CD交于點(diǎn)H，是否存在等鄰角四邊形，若存在，是哪個(gè)四邊形，不必證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．2、已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，連接BM（1）如圖①，點(diǎn)D在AB上，連接DM，并延長DM交BC于點(diǎn)N，可探究得出BD與BM的數(shù)量關(guān)系為_________________，寫出證明過程。（2）如圖②，點(diǎn)D不在AB上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說明理由。3、在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．連接AD、BC，點(diǎn)M、N、P分別為OA、OD、BC的中點(diǎn)．若A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，∠ABO=60°，則△PMN的形狀是___________，此時(shí)=____________4、已知：如圖①，正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．（1）求證：EG=CG；（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均要求證明）全等三角形綜合二知識(shí)點(diǎn)：全等三角形的判定及性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)與判定：常用輔助線：例題講解例1、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F(xiàn)是BE上一點(diǎn)，且BF=CE，求證：FK∥AB．例2、如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC，

（1）D為AC的中點(diǎn)，連BD，過A點(diǎn)作AE⊥BD于E點(diǎn)，交BC于F點(diǎn)，連DF，求證：∠ADB=∠CDF．

（2）若D，M為AC上的三等分點(diǎn)，如圖2，連BD，過A作AE⊥BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連MF，判斷∠ADB與∠CMF的大小關(guān)系并證明．

例3、如圖，在△ABC中，∠C=90°，M為AB的中點(diǎn)，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求證：MD=AM．例4、在△ABC中，∠ACB為銳角，動(dòng)點(diǎn)D（異于點(diǎn)B）在射線BC上，連接AD，以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么①如圖一，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，線段CF與BD之間的位置、大小關(guān)系是_________（直接寫出結(jié)論）②如圖二，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．點(diǎn)D在線段BC上，那么當(dāng)∠ACB等于多少度時(shí)？線段CF與BD之間的位置關(guān)系仍然成立．請(qǐng)畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．例5、如圖①所示，已知A，B為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上方一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，分別以AC、BC為直角邊向△ABC外作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，滿足∠CAD=∠CBE=90°，過點(diǎn)D作DD1⊥l于點(diǎn)D1，過點(diǎn)E作EE1⊥l于點(diǎn)E1．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線l上時(shí)，試說明DD1=AB；（2）在圖①中，當(dāng)D，E兩點(diǎn)都在直線l的上方時(shí)，試探求三條線段DD1，EE1，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．例6、如圖1，已知點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B（0，b），且a、b滿足（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且∠OCB=45°，過點(diǎn)A作AD⊥OC于點(diǎn)F，求證：FA=FC；（3）如圖2，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），過點(diǎn)A作AE⊥AD，且AE=AD，連接BE交x軸于點(diǎn)G，求G點(diǎn)的坐標(biāo)．鞏固：1、如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于點(diǎn)F．試說明AE=CF．2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長．3、如圖，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA=EC。求證：EB⊥AB．4、如圖，在△ABC中，∠ACB=90゜，P為AC上一點(diǎn)，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延長線于M，MN⊥AC于N，AQ=MN．（1）求證：AP=AM；（2）求證：PC=AN．5、如圖，△ABC內(nèi)，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP．將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖（1）方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F．（1）求證：CF=EF；（2）若將圖（1）中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角a，且0°＜a＜60°，其他條件不變，如圖（2）．請(qǐng)你直接寫出AF+EF與DE的大小關(guān)系：AF+EF______DE．（填“＞”或“=”或“＜”）（3）若將圖（1）中△DBE的繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖（3）．請(qǐng)你寫出此時(shí)AF、EF與DE之間的關(guān)系，并加以證明．7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，5），B（-5，0），C（2，0），BD⊥AC于D且交y軸于E，連接CE．（1）求△ABC的面積；（2）求的值及△ACE的面積．8、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形OBAC=16．（1）∠COA的值為________；（2）求∠CAB的度數(shù)；（3）如圖2，點(diǎn)M、N分別是x軸正半軸及射線OA上一點(diǎn)，且OH⊥MN的延長線于H，滿足∠HON=∠NMO，請(qǐng)?zhí)骄績蓷l線段MN、OH之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．9、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn)C（0.2）；（1）請(qǐng)寫出OB的長度：OB=________；（2）如圖：若點(diǎn)D在x軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，0），求證：△AOB≌△COD；（3）若點(diǎn)D在第二象限，且△AOB≌△COD，則這時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是________（直接寫答案）．10、已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分線的交點(diǎn)O在AB上，M、N分別在直線AC、BC上，∠MON=∠A=45°（1）如圖1，若點(diǎn)M、N分別在邊A