學法巧手指-圓周運動、天體運動

學法巧手指——圓周運動萬有引力定律與天體運動1.圓周運動中的速度及加速度⑴速度：對于一般的圓周運動而言，線速度的大小是變化的，方向也在時刻變化；而對于勻速圓周運動來講，僅僅是線速度的方向在變。所以，勻速圓周運動是“勻速率圓周運動”；所有的圓周運動都是變速運動，做圓周運動的物體一定具有加速度。⑵加速度：對于勻速圓周運動而言，物體所具有的加速度一定指向圓心，所以叫做向心加速度；而對于做一般的圓周運動的物體來講，加速度可以分解為半徑方向上的加速度----向心加速度和切線方向上的加速度，向心加速度改變線速度的方向，切線方向上的加速速度用來改變線速度的大小。例題1.下列說法中正確的是.圓周運動中的加速度一定指向圓心.做勻速圓周運動的物體，其線速度一定不變.做勻速圓周運動的物體，其角速度一定不變.在變速圓周運動中，向心加速度不一定改變物體線速度方向答案：2.圓周運動中向心力來源問題⑴勻速圓周運動中向心力來源例題2.下圖1中的四種情況中，各質點都在作勻速圓周運動，分別指出向心力來源（填在相應的空格處）圖甲中是＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿的合力提供小物塊所需要的向心力；圖乙中是＿＿＿＿和＿＿＿＿的合力提供小球所需要的向心力；圖丙中是＿＿＿＿和＿＿＿＿的合力提供小球所需要的向心力；圖丁中是＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿的合力提供小物塊所需要的向心力。答案：圖甲中：重力、支持力和靜摩擦力；圖乙中：重力和繩的拉力；圖丙中：重力和支持力；圖丁中：重力、支持力和靜摩擦力。⑵非勻速圓周運動中向心力來源例題3.在如圖2所示的兩種情況中，分析向心力來源并填寫在橫線上：圖甲中，懸掛在細線下端的小球以速度經過圖中的位置時，是＿＿＿＿力和＿＿＿＿力在繩方向上的合力提供小球所需要的向心力。圖乙中，水平向右的勻強電場中，帶負電的小球沿豎直放置的光滑軌道上升，以速度經過圖中的位置時，是＿＿＿＿力、＿＿＿＿力沿軌道半徑方向上的分力和＿＿＿＿力的合力提供小球所需要的向心力。解析：如圖3所示的丙和丁分別為甲、乙兩圖中小球的受力示意圖，由圓周運動知識可知，丙圖中是由繩的拉力和重力沿繩方向上分力的合力提供小球所需要的向心力；而丁圖中則是由重力、電場力分別沿軌道半徑方向上的分力和軌道的壓力這三者的合力提供小球所需要的向心力。答案圖甲中：繩的拉力重力；圖乙中：重力、電場力、軌道的壓力。可見，在勻速圓周運動中，是所有外力的合力提供了物體做勻速圓周運動所需要的向心力；而在變速圓周運動中，是所有外力在半徑方向上的分力的合力提供物體所需要的向心力。對變速圓周運動，切線方向上的合力使物體產生了切線方向上的加速度，因此線速度大小是變化的。3.圓周運動中的追及問題以前所涉及的追及問題，物體都是在一條直線上運動的，其實在曲線運動中也存在著物體之間的追及現象。例題4.甲、乙兩運動員在同一圓形軌道上從同一地點同時沿同一繞向進行比賽，可認為甲、乙二人做的都是勻速圓周運動，若甲的周期為，乙的周期為，并且＞。試求：經過多長時間甲、乙兩運動員相距最遠？經過多長時間他們相距最近？解析：設從開始運動經過時間甲、乙兩運動員相距最遠，依題意，這時他們一定是在圓形軌道同一直徑的兩端，則有，……解得，……即，經過兩運動員相距最遠。同理，若設經過時間兩運動員相距最近的話，則有，……解得，……即，經過兩運動員相距最近。命題解讀：這是一個在同一圓形軌道上的兩物體間的追及問題，兩者相距最遠時一定在同一直徑的兩端，相距最近時一定在同一地點，解決的關鍵是考慮他們各自與圓心的連線所轉過的角度關系。其實在做完這道題目之后，可以思考下面的兩個問題：①若要求兩者相距最遠或最近的最少時間呢？②若題目中兩運動員分別是在同心、但半徑不相等的兩個圓形軌道上呢？何時兩者相距最遠？何時兩者又相距最近呢？4.圓周運動中的臨界問題直線運動中我們已經做過很多臨界狀態(tài)的分析、判斷和求解的問題，在曲線運動中也會遇到“當……時，恰好……”的臨界問題。例題5.兩繩和同時系一質量為的小球，且繩長為，兩繩都拉直時與豎直方向的夾角分別為角和角，如圖4所示。當小球以繞為軸轉動時，上、下兩繩的拉力分別是多少？解析：由于兩根長度不同，小球繞為軸轉動的角速度由0逐漸增大時，最先被拉直的應該是繩，當角速度增大到某一數值時，會出現繩剛好被拉直（繩中無張力）的情況，此時是重力和繩的拉力提供了小球做勻速圓周運動的向心力，如圖5所示，由圓周運動知識得解得同理可以求得，當角速度繼續(xù)增大到某一數值時，又會出現剛好被拉直的情況，則有顯然，這兩個臨界狀態(tài)下的角速度值與題中所給的加速度有如下的關系，即＜＜由此可以判斷題中所求的是兩繩和都被拉直并且都存在拉力的情況，設此時兩繩和對小球的拉力分別為和，如圖6所示，則有解以上兩式，得，即，繩和對小球的拉力分別為和。命題解讀：此題中，由于＜＜，所以判斷的結果是兩繩都被拉直，并且都產生了對小球的拉力。若出現＜或＞的情況時，兩繩和與豎直方向的夾角就將分別小于角或大于角了，就會出現其中一繩不產生拉力，這時要根據具體的受力分析列出相應的關系式進行求解。例題6.如圖7所示，一質量的小球從光滑斜面上某處由靜止?jié)L下，斜面底端與一個半徑的豎直放置的光滑圓環(huán)相接，試求：⑴小球至少應從多高處由靜止?jié)L下才能越過圓環(huán)的最高點？⑵若小球從處由靜止?jié)L下時將在何處脫離圓環(huán)？解析：⑴設小球至少應從高為處由靜止?jié)L下，如圖所示，由機械能守恒定律和圓周運動知識可得解得⑵由于＜，所以小球在從圓形軌道的右側向上滾動的過程中將不會到達圓形軌道的最高點，在到達最高點之前就已經脫離軌道。如圖9所示，設小球在處剛好脫離軌道（對軌道壓力為零），此時小球的速度為，由機械能守恒定律和圓周運動知識，得解得命題解讀：此題的第一問中，問“至少應從多高處由靜止?jié)L下才能越過圓環(huán)的最高點?”,意思就是要求小球剛好到達圓周的最高點，第二問中，軌道對小球壓力恰好為零的位置就是小球脫離軌道的地方，這都是臨界狀態(tài)問題。5.萬有引力定律和圓周運動規(guī)律的結合宇宙中星體的運動是比較復雜的，但在研究討論某些星體的運動時，都是當成最簡單、也是最典型的勻速圓周運動來處理。例題7.某載人飛船在繞地球飛行的第5圈進行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨鹊膱A形軌道。已知地球半徑，地球表面處的重力加速度。試推導出飛船在上述圓形軌道上運行的周期的表達式（用、、表示），然后計算周期的數值（保留兩位有效數字）。解析：飛船繞地球做近似的勻速圓周運動，需要的向心力由地球對它的萬有引力提供，則有地球表面處的物體的重力等于萬有引力，即又解以上三式的得代入數據，得命題解讀：這類有關衛(wèi)星或飛船繞天體做圓周運動的計算問題中，一般只需把握兩個方面就可以了，第一個（也是最重要的）就是萬有引力恰好提供向心力，第二個則是天體表面物體所受的的重力等于萬有引力。6.運用運動學知識求解（任意星體）第一宇宙速度所謂第一宇宙速度，就是在某一星體表面發(fā)射一顆繞該星體表面飛行的衛(wèi)星所需要的發(fā)射速度，即在該星體表面發(fā)射衛(wèi)星所需要的最小速度。例題8.宇航員在某一星球上以速度豎直上拋物體，經落回手中。已知地球的半徑為，該星球的半徑為地球半徑的一半。那么，至少要用多大的速度沿星球表面拋出物體，它才不至于再落回該星球表面？解析：設地球表面的重力加速度為，該星球表面的重力加速度為，則由豎直上拋運動規(guī)律和萬有引力定律得其中、分別為地球和該星球的質量。要想使沿星球表面拋出的物體不至于再落回該星球表面，設最小的速度為（即第一宇宙速度），則根據圓周運動知識，得再代入，解得命題解讀：這是一道萬有引力定律和運動學知識結合的題目，解題的關鍵就是把聯系萬有引力定律和運動學知識的“橋梁”——重力加速度求出來，另外，還要理解第一宇宙速度的真正含義。7.宇宙飛行中的超重和失重宇宙飛行中的超重和失重通常有兩種情況，一是近似做勻速圓周運動的星體或宇航器，萬有引力恰好提供了它們所需要的向心力，這是一種完全失重的情況；二就是在宇航器起飛或降落過程，或是由于高度變化引起重力加速度變化，而造成的超重或失重。例題9.飛船以加速度（為地球表面的重力加速度）勻加速上升，測得在地面上的物體重力為，由此可求出此時飛船里地的高度為多少？（地球半徑）解析：設此時飛船離地高度為，該位置處的重力加速度為，如圖9所示為該物體的受力