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多元函數(shù)求極值步驟高等數(shù)學(xué)——多元函數(shù)極值及其求法本篇文章要講的是多元函數(shù)極值及其求法,主要包含三個內(nèi)容:多元函數(shù)的極值、最值的應(yīng)用問題、條件極值。一:多元函數(shù)的極值引入:二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值,使得函數(shù)取得極值的點稱為極值點。例:多元函數(shù)取得極值的條件:定理一:(又稱為極值的必要條件)必要條件就是指后面的可以推出前面的,在這里就是一個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在一點處為0,則函數(shù)在該點出必有極值。推廣到三元:在這里補充一個小定義(主要是下面會用到)。駐點:定理二:(也稱為極值的充分條件)充分條件就是前面可以推到后面,這里就是講函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)滿足那些條件時,極值的情況。其實我們在考試中,包括平時用到的都是這個充分條件,用來判斷極值點。方法小結(jié):第一步:求駐點第二步:判別,求二階偏導(dǎo)數(shù)的各個點(主要是能把A、B、C分清)例如:解:第一步:第二步:然后用充分條件來判別。對于點1:對于點2:對于點3:對于點4:最后對此題目做一個小結(jié)即可。二:極值應(yīng)用問題例子:解答:一般這種應(yīng)用類的題目的話,主要問題是找到各個變量之間的關(guān)系,列方程。最后按照解題步驟解題即可。三:條件極值極值問題可分為無條件極值(對自變量只有定義域限制)和條件極值(對自變量除了定義域限制外,還有其它的條件限制)求解這類問題一般是以下兩種方法:(1)帶入法:這種方法是針對m(x,y)=0,可以寫成y=f(x)的形式。對于x和y關(guān)系比較復(fù)雜,很難寫成y=f(x)的形式時,比如開幾次方之類的,就不太合適了。就會用到下面的方法:(2)拉格朗日乘數(shù)法:(證明略)按此法列出方程后,解出相應(yīng)的x,y即可得
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