2013年上海高考數(shù)學(xué)理科試卷及答案

2013年上海市秋季高考理科數(shù)學(xué)一、填空題1.計算：limn-8n1.計算：limn-8n+203n+13【解答】依據(jù)極限運算法則，limn-8n+20 13n+13—32.設(shè)meR,m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m=Im2+m—2=0 人【解答】:m2-120=m=-2.3.若x3.若x2y2-11xx【解答】X2+y2=-2盯nx+y=0..已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)邊分別為a、b、c,若3a2+2ab+3b2-3c2=0,則角C則角C的大小是(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)2【解答】 3a2+2ab+3b2-3c2=0nc2=a2+b2+—ab11cosC=—-,C=兀-arccos—.3 3的二項綻開式中x7項的系數(shù)為-10的二項綻開式中x7項的系數(shù)為-10，則a=.設(shè)常數(shù)aeR，若x2+-Ix)【解答】T=Cr(x2)5-r(a)r,2(5-r)-r=7nr=1,故C1a=-10na=-2.r+1 5 x 531.萬程;;+-=3x-1的實數(shù)解為 3x-13【解答】原方程整理后變?yōu)?2x-2?3x-8=0n3x=4nx=log4.3.在極坐標(biāo)系中，曲線P=cos9+1與pcos9=1的公共點到極點的間隔為1±%：5 1+\;5【解答】聯(lián)立方程組得P(P-1)=1np=f-，又p>0，故所求為一^..盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個球,從中隨意取出兩個,則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是 (結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)C213【解答】9個數(shù)5個奇數(shù)，4個偶數(shù)，依據(jù)題意所求概率為1-f=-.C218

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.設(shè)AB是橢圓「的長軸，點C在「上，且NCBA=:，若AB=4,BC=",則=的4兩個焦點之間的間隔為X2V2【解答】不妨設(shè)橢圓r的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+1=1,于是可算得c(U),得4b2TOC\o"1-5"\h\z7 4 4<6b2=,2c=——.3 310.設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列x,x,x，…,x的公差，隨機(jī)變量己等可能地取值1 2 3 19x1，x2,x3,…,x19，則方差寬二【解答】成To,Dg=：d1(92+82+.??+12+02+12+...+92)=.<30|d【解答】成To,? . 1 .c?C2 ./ 、.若cosxcosy+sinxsiny=—,sin2x+sin2y=，貝|sin(x+y)=2 3/ 、1.c 、/ 、2 ./ 、2【解答】cos(x-y)=—,sin2x+sin2y=2sin(x+y)cos(x-y)=—,故sin(x+y)=—.2 3 3a2.設(shè)a為實常數(shù)，y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=9x+—+7,x若f(x)>a+1對一切x>0成立，則a的取值范圍為a2一一【解答】f(0)=0,故0>a+1na<-1；當(dāng)x>0時，f(x)=9x+--7>a+1x一.?一 8即61aI>a+8,又a?-1,故a<--.7.在xOy平面上，將兩個半圓弧(x-1)2+y2=1(x>1)和(x-3)2+y2=1(x>3)、兩條直線y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D,如圖中陰影局部.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為。，過(0,y)(|y|<1)作。的程度截面，所得截面面積為4兀、,1-y2+8兀，試?yán)米鏁溤?、一個平放的圓柱和一個長方體，得出。的體積值為【解答】依據(jù)提示，一個半徑為1,高為2兀的圓柱平放，一個高為2,底面面積8兀的長方體，這兩個幾何體與。放在一起，依據(jù)祖暅原理，每個平行程度面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即。的體積值為兀1?2兀+2?8兀=2兀2+16兀..對區(qū)間I上有定義的函數(shù)g(X),記g(I)={yIy=g(X),XeI},已知定義域為[0,3]的函數(shù)y=f(X)有反函數(shù)y=f-1(X),且f-i([0,D)=[I,2),f-1((2,4])=[0,1),若方程f(x)-X=0有解X0,則X0=——【解答】依據(jù)反函數(shù)定義，當(dāng)Xe[0,1)時，f(X)e(2,4]；xe[1,2)時，f(x)e[0,1),而y=f(X)的定義域為[0,3],故當(dāng)Xe[2,3]時，f(x)的取值應(yīng)在集合(-8,0)^[1,2]u(4,+8)，故若f(X)=X，只有X=2.00 0二、選擇題.設(shè)常數(shù)aeR，集合A={xI(x-1)(x-a)>0},B={xIx>a-1},若AuB=R，則a的取值范圍為()(A)(-8,2) (B)(-8,2] (C)(2,+8) (D)[2,+8)a>1fa<1【解答】集合A探討后利用數(shù)軸可知，《I,1或1 ，解答選項為B.a一1<1 [a-1<a.錢大姐常說“廉價沒好貨”，她這句話的意思是：“不廉價”是“好貨”的()(A)充分條件 (B)必要條件 (C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件【解答】依據(jù)等價命題，廉價n沒好貨，等價于，好貨n不廉價，故選B..在數(shù)列{a}中，a=2n-1,若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素nna=a?a+a+a,(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個i,jijij數(shù)為()(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【解答】a=a?a+a+a=2i+j-1，而i+j=2,3,???,19,故不同數(shù)值個數(shù)為18個，i,j ijij選A..在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為ZT,ZT,晨屋,a；以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為憶/，萬,/,d.若m,M分TOC\o"1-5"\h\z12345 1 2 3 4 5別為(7+^+不)?(這+7+于)的最小值、最大值，其中ijkrst{i,j,k}o{1,2,3,4,5},{廠,s,t}o{1,2,3,4,5},則m,M滿意( ).(A)m=0,M>0 (B)m<0,M>0 (C)m<0,M=0 (D)m<0,M<0

【解答】作圖知，只有衣?瓦=9?成>0，其余均有7?7?。，故選D.ir解答題.(本題滿分12分)如圖，在長方體ABCD-A1B1c1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1,證明直線BC1平行于平面DA1c，并求直線BC1到平面D1AC的間隔.【解答】因為ABCD-A1B1C1D1為長方體，故AB〃C1D1,AB=C1D1，故ABC1D1為平行四邊形，故BC//AD，明顯B不在平面D^AC上，11 1 1 1于是直線BC1平行于平面DA1C；直線BC1到平面D1AC的間隔即為點B到平面D1AC的間隔設(shè)為h考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得V=—x(―x1x2)x1=—TOC\o"1-5"\h\zu 一 3而AADC中，AC=DC=、0AD=、Q，故S=-1 1 1 AAD1C213 1 2 2所以，V=TX-xh=-^h=-，即直線BC1到平面D1AC的間隔為大.J乙 J J J.(6分+8分)甲廠以x千克/小時的速度運輸消費某種產(chǎn)品(消費條件要求1<%<10),3每小時可獲得利潤是100(5%+1-—)元.%⑴要使消費該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使消費900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)當(dāng)選取何種消費速度？并求最大利潤.33【解答】(1)依據(jù)題意，200(5%+1--)>3000n5%-14-->0%%又1<%<10，可解得3<%<10(2)設(shè)利潤為y元，貝ijy=900?100(5%+1-3)=9x104［-3(1-1)2+61］% % %6 12故%=6時，y=457500元.max.(6分+8分)已知函數(shù)f(%)=2sin(3%)，其中常數(shù)3>0；兀2兀(1)若y=f(%)在［--,—］上單調(diào)遞增，求3的取值范圍；八 兀(2)令3=2，將函數(shù)y=f(%)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函6數(shù)y=g(%)的圖像，區(qū)間［a,b］(a,b￡R且a<b)滿意：y=g(%)在［a,b］上至少含有30個零點，在全部滿意上述條件的［a,b］中，求b-a的最小值.

【解答】(1)因為3>0，依據(jù)題意有12兀 ?！獁<-[3 2(2)f((2)f(x)=2sin(2x),g(x)=2sin(2(x++1=2sin(2x+y)+1g(x)—0——〉sin(2x+—)—————〉x—k?！猑或x—k?！?，k￡Z,3 2 3 12兀一2兀即g(x)的零點相離間隔依次為y和—,2兀一兀43兀故若y=g(x)在［a,b］上至少含有30個零點，則b-a的最小值為14x—+15x——工—.

.(3分+5分+8分)如圖，已知曲線。：二-W=1,曲線12cyyi=ixi+i,p是平面上一點，若存在過點p的直線與c,c都有公1 2共點，則稱P為“C1—C2型點”⑴在正確證明C1的左焦點是“C1—C2型點”時，要運用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證)；⑵設(shè)直線y=kx與C2有公共點，求證Ik1>1,進(jìn)而證明原點不是“C1—C2型點”,、一 1一，…i,, …⑶求證：圓X2+y2=內(nèi)的點都不是“C1—C2型點”2 1 2【解答】：(1)C1的左焦點為F(―\；'3,0)，過F的直線X=—\"與C1交于(―%”,土,與c2交于(一4；3,士q3+1))，故C1的左焦點為“C1-C2型點”且直線可以為X=7；(2)直線y=kx與c2有交點，則fy=kx〈?】n(IkI-1)IxI=1，若方程組有解，則必需IkI>1；IIyI=IxI+1直線y=kx與C2有交點，則y=kx 1x2-2y2=2n(1-222)x2=2，若方程組有解,則必需k2V2故直線y=kx至多與曲線C1和C2中的一條有交點，即原點不是“C1-C2型點”?！?1，(3)明顯過圓x2+y2=內(nèi)一點的直線l若與曲線C1有交點，則斜率必存在;依據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線l斜率存在且與曲線c2交于點(t,t+1)(t>0),則l:y=(t+1)=k(x-1)nkx-y+(1+1-kt)=07 1 I1+1-ktIv;2直線l與圓x2+y2=-內(nèi)部有交點，故一. <—2 v,k2+1 2化簡得，(1+1-tk)2<—(k2+1)。。。。。。。。。。。。①若直線l與曲線C1有交點，則y=kx-kt+1+1<x2 n(k2--)x2+2k(1+1—kt)x+(1+1—kt)2+1=0-y2=1 22A=4k2(1+1-kt)2—4(k2—1)[(1+1-kt)2+1]>0n(1+t-kt)2>2(k2—1)2化簡得，(1+1-kt)2>2(k2-1)…。。②由①②得，2(k2-1)<(1+1-tk)2<1(k2+1)nk2<12但此時，因為t>0,[1+t(1-k)]2>1,：(k2+1)<1,即①式不成立；當(dāng)k2=2時，①式也不成立1綜上，直線l若與圓x2+y2=內(nèi)有交點，則不行能同時與曲線C1和C2有交點，即圓x2+y2=1內(nèi)的點都不是“CrC2型點”.23.(3分+6分+9分)給定常數(shù)c>0,定義函數(shù)f(x)=21x+c+41-1x+cI,數(shù)列TOC\o"1-5"\h\za,a,a，…滿意a=f(a),n￡N*.123 n+1 n(1)若a=-c-2，求a及a；(2)求證：對隨意n￡N*,a-a>c,；1 2 3 n+1 n(3)是否存在a,使得a,a，…a，…成等差數(shù)列？若存在，求出全部這樣的a，若不存1 1 2 1在，說明理由.【解答】：(1)因為c>0,a=-(c+2)，故a=f(a)=2Ia+c+4I-1a+cI=2,1 2 1 1 1a=f(a)=21a+c+41-1a+cI=c+1031 2 2(2)要證明原命題，只需證明f(x)>x+c對隨意x￡R都成立，f(x)>x+co21x+c+41-1x+cI>x+c即只需證明